exochap3

Séries entières.

Exer i e 3.1 Déterminer lerayon de onvergen e dessériesentières

+ ∞

X

n=0

n ⁿ n! z ⁿ

+ ∞

X

n=0

n!

1.3 . . . (2n + 1) z ^{2 n+1}

∞

X

n=1

z ⁿ

√ n ^{√ n}

+ ∞

X

n=0

n!z ⁿ

+ ∞

X

n=1

 1 + 1

n

 n ²

z ⁿ

+ ∞

X

n=1



1 + (−1) ⁿ n

 n ²

z ⁿ

Exer i e 3.2

Cal ulerlerayon de onvergen e etlasommedelasérie

P + ∞

n=0 n ² x ⁿ

^{(pourle al ulde}

lasomme oné rira

n ² = n(n − 1) + n

^).

Exer i e 3.3 Démontrer que la série

P + ∞ n=1

x ²

n e ^−nx

^{onverge pour tout réel}

x

^positif

et al uler sasomme.

Exer i e 3.4 Soit

P a n z ⁿ

^{une série entière de rayon de} onvergen e

R > 0

^{. Déter-}

minerles rayonsde onvergen e desséries :

X a ² _n z ⁿ , X a n

n! z ⁿ , X n! a n

n ⁿ z ⁿ .

Pour la troisème série on pourra utiliser la formule de Stirling :

n! ∼ n ⁿ e ⁻ⁿ √ 2πn

lorsque

n

^{tendvers l'inni.}

Exer i e 3.5 Cal uler lerayonde onvergen e etlasomme dessériesentières:

+ ∞

X

n=0

x ⁿ

2n + 1

^et

+ ∞

X

n=0

2n + 3

2n + 1 x ⁿ .

Exer i e 3.6 Onpose

a _n = 1 + 1/2 + 1/3 . . . + 1/n.

1. Rayon de onvergen e de lasérie

P + ∞ n=1 a _n x ⁿ ?

2. Soit

f (x)

^{la somme de ette série. En utilisant la relation}

a _n = a _n−1 + 1/n,

montrer que

xf (x) − f(x)

^{estlasomme d'unesérieentièresimple.}

3. En déduire

f (x).

Exer i e 3.7 Rayon de onvergen e etsomme de

+ ∞

X

n=1

1 n(n + 1) z ⁿ .

Réponse:

1 −

 1 − 1

z



log(1 − z)

^.

Exer i e 3.8 (Vrai ou faux)

Les armationssuivantes sont ellesvraies oufausses?

1. Lesséries

P _∞

n=0 a _n z ⁿ

^et

P _∞

n=0 (−1) ⁿ a _n z ⁿ

^{ont même rayon de} onvergen e.

2. Les séries

P _∞

n=0 a _n z ⁿ

^et

P _∞

n=0 (−1) ⁿ a _n z ⁿ

^{ont même domaine de} onvergen e, autrement dit,

P _∞

n=0 a _n z ⁿ

^est onvergentesietseulement si

P _∞

n=0 (−1) ⁿ a _n z ⁿ

^est

onvergente.

3. Si la série

P _∞

n=0 a _n z ⁿ

^{a un rayon de} onvergen e inni, alors elle onverge uni- formément sur

R

.

4. Il existe une série entière

P _∞

n=0 a _n x ⁿ

^{de rayon de} onvergen e

R

^,

0 < R < ∞

^,

qui ne onverge en au undes points delafrontièredu disquede onvergen e.

5. Il existe une série entière

P _∞

n=0 a _n x ⁿ

^{de rayon de} onvergen e

R

^,

0 < R < ∞

^,

qui onvergeen tousles points dela frontière dudisquede onvergen e.

6. Soit

+ ∞

X

n=0

a _n x ⁿ

^{une série entière à oe ients positifs ou nuls, qui n'est pas un}

ponynme et

f (x) = P + ∞

n=0 a _n x ⁿ

^{. Alors pour tout}

α > 0

^,

x ^α = o(f (x))

^au

voisinage de

+∞

^.

Exer i e 3.9 Montrerque

X

n≥0

1

2 ⁿ (n + 2) = 4 log 2 − 2.

Exer i e 3.10

1. Quel est lerayonde onvergen e de lasérieentière

+ ∞

X

n=0

x ⁿ n + 1 ?

2. Montrer que ette série onverge uniformément sur

[−1, a]

^{pour tout}

a < 1

^(on

utilisera lethéorèmedesséries alternées).

3. En déduire lavaleurde lasomme

P + ∞ n=0 (−1) ⁿ

n + 1 .

4. Enutilisantlaméthodedesommationd'Abel,montrerquesi

0 < r < 1

^,

+ ∞

X

n=0

x ⁿ n + 1

onverge uniformément sur

D _r = {z ∈ C ; |z| ≤ 1, |1 − z| ≥ r}

^.

Exer i e 3.11

Quel est lerayon de onvergen e de lasérieentière

+ ∞

X

n=0

x ⁿ 3n + 2 ?

1. Montrerque ette série onvergeuniformément sur

[−1, a]

^{pour tout}

a < 1

^.

2. En déduire quelasommede ette sérieest ontinue sur

[−1, 1[

^{puis lavaleurde}

+ ∞

X

n=0

(−1) ⁿ 3n + 2

3. Montrer que,pour tout

r

satisfaisant

0 < r < 1

^,la onvergen e est uniformesur

D r = {z ∈ C ; |z| ≤ 1, |1 − z| ≥ r}

^.

Exer i e 3.12

1. Montrer quela fon tion

sin t

t

^estdéveloppableen série entière au voisinage de

0

etexpli iter e développement.

2. Prouverque

Z π 0

sin t t dt =

k=∞ X

k=0

(−1) ^k π ^{2 k+1} (2k + 1)(2k + 1)! ·

3. En déduire lavaleurappro hée

Z π 0

sin t

t dt = 1.8519 . . .

Exer i e 3.13 On onsidèrel'équation diérentielle

3xy ^′ + (2 − 5x)y = x.

1. Montrerqu'elleadmet uneuniquesolutiondéveloppableensérieentièreau voisi-

nage de

0

^,

y = P _∞

n=0 a _n x ⁿ

^{,etque ettesérieentièreestderayon de} onvergen e inni.

2. Expli iter les

a _n

^.Réponse:

y = X ∞ n=1

5 ⁿ⁻² x ⁿ Q

2 ≤k≤n (3k + 2) .

3. Onnote

R _n (x) = X ∞ k=n+1

a _k x ^k

^{lesrested'ordre}

n

^{delasérieentièredesomme}

y(x)

^.

Montrerque, lorsque

3n + 8 > 5 |x|

^ona

|R n (x)| ≤ a n+1 |x| ⁿ⁺¹ X ∞ k=n+1

 5 |x|

3n + 8

 _k−n−1

≤ a n+1 |x| ⁿ⁺¹ 3n + 8 3n + 8 − 5 |x|

4. Appli ation :Cal uler

y(1)

^à

2.10 ⁻⁵

^près.

Exer i e 3.14 Déterminer

(a _n )

^{de sorte que}

y(x) = P + ∞

n=0 a _n x ⁿ

^{soit dénie au voisi-}

nage de

0

^{etsolutionde l'équation}diérentielle

4xy ^′′ + 2y ^′ + y = 0.

Cal uler le rayon de onvergen e et la somme des séries obtenues. Remarquer que

l'ensemble des solutions est un espa e ve toriel. Quelle est sa dimension? Est- e en

ontradi tion ave les théorèmesgénéraux surles équationsdiérentielleslinéaires?

Exer i e 3.15 Développement en sérieentière au voisinagede

0

^de:

f (x) = 3

(1 − x)(1 + 2x) f (x) =

^h

(x) cos(x) f (x) = e ^x

1 − x f (x) = atan(x + a) (a > 0)

f (x) = log 1 − 2x cos a + x ²

f (x) =  x + √

1 + x ²  p

Pour le(4)on posera

a + i = re ^iα

^,

r > 0

^{.Pour le(6) on her hera, au moyen de deux}

dérivations su essives,une équation diérentielle linéaire d'ordre 2vériée par

f

^.

Exer i e 3.16 Onnote

T _n

^{le nombrede partitionsd'unensembleà}

n

^éléments.

1. Montrerque

T 0 = 1

^{etpour tout}

n ≥ 0

^,

T _n+1 =

n

P

k=0

C _n ^k T _k

^.

2. Prouverqueque

T _n /n! ≤ 1

^{pour tout}

n

^{.Endéduire quelerayon de} onvergen e

R

^{de lasérieentière estau moinségal à}

1

^.

3. Montrerque pour

|x| < R

^ona

P ^∞

n=0

T _n x ⁿ

n! = e ^{e x −1}

^.

Remarque: Lafon tion

z 7→ e ^{e z −1}

^{estdérivable}(holomorphe)sur

C

toutentier.

Il enrésulte, mais e in'est pasauprogramedu apes,qu'elleestdéveloppable

en sérieentièrede rayonde onvergen e inni.

Exer i e 3.17

On onsidère lasérieentière

X ∞ n=0

x ⁿ C ₂ ⁿ _n

.

1. Déterminersonrayon de onvergen e

R

^etmontrerque

f

^déniesur

]−R, R[

^par

f (x) =

∞

X

n=0

x ⁿ

C ₂ ⁿ _n

^{est solutionde l'équation:}

x(4 − x)f ^′ − (x + 2)f = −2

^.

2. Résoudre l'équation homogène

x(4 − x)u ^′ − (x + 2)u = 0

^surl'intervalle

]0, 4[

^.

Réponse:

u(x) = k √

x(4 − x) ^−3/2

3. Prouverque, pour

x ∈ ]0, 4[

^,

f (x) = 4

r x

(4 − x) ³

r 4 − x

x − atan r 4 − x x + c



4. Démontrer (soigneusement) que

c = π/2

^{et en déduire la valeur de}

X ∞ n=0

1 C ₂ ⁿ _n ·



Réponse :

4 3 + 2π

9 √ 3