Doctorat de l’Universit´e de Limoges en Math´ematiques Sp´ecialit´e : Calcul formel

TH ` ESE

pr´ esent´ ee ` a l’Universit´ e de Limoges pour l’obtention du

Doctorat de l’Universit´e de Limoges en Math´ematiques Sp´ecialit´e : Calcul formel

(arrˆ et´ e du 30 Mars 1992 )

par

Jean-Fran ¸ cois Ragot

Sur la factorisation absolue des polynˆ omes

Soutenue le 4 D´ ecembre 1997 devant le jury compos´ e de

Guy Robin Pr´ esident

Dominique Le Brigand Carlo Traverso

Gilles Villard Rapporteurs

Dominique Duval

Andr´ e Galligo

Marc Rybowicz

Paul Zimmermann

Une th`ese est une entreprise d´elicate. Tous ceux qui ont suivi ce long cheminement savent `a quel point les errances qui l’´emaillent pourraient ˆetre fatales sans le concours d´eterminant de quelques personnes, et la rencontre de beaucoup d’autres.

Je tiens en premier lieu `a remercier chaleureusement Dominique Duval : ce projet n’aurait pas abouti sans sa comp´etence, sa disponibilit´e, sa patience, et son optimisme.

Marc Rybowicz a, depuis les balbutiements de cette th`ese, toujours r´epondu `a mes innom- brables pourquoi et comment avec patience, et ce mˆeme `a plusieurs milliers de kilom`etres de distance : qu’il en soit vivement remerci´e.

Merci `a Dominique Le Brigand, Carlo Traverso et Gilles Villard d’avoir bien voulu rap- porter sur cette th`ese.

Merci `a Andr´e Galligo, Guy Robin et Paul Zimmermann de m’avoir fait le plaisir et l’honneur de faire partie du jury.

Je tiens `a remercier tous les membres du jury, qui se sont int´eress´es `a ce travail et m’ont fait profiter de leurs diverses comp´etences `a travers leurs critiques.

Merci `a Jacques-Arthur Weil et Ga¨etan Hach´e : nos discussions math´ematiques v´esp´erales feront partie des bons souvenirs.

Merci `a tous ceux qui ont contribu´e `a ma formation p´edagogique, en particulier mes

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etudiants; j’´esp`ere que celle-ci aura favorablement influ´e sur la clart´e de ce m´emoire.

Merci `a Martine Guerletin, V´eronique Merigoux et Nadine Tchefranoff qui ont assur´e l’indispensable “soutien logistique” avec patience et gentillesse.

J’ai partag´e avec plaisir mon bureau et mes soucis avec Christophe Durousseau, Pierre Dusart, Rachid Hafid et G´erard Juin.

Je tiens enfin `a remercier affectueusement mes parents, mes soeurs et Guil`ene qui m’ont support´e, dans tous les sens du terme, durant toutes ces ann´ees.

Introduction

Un polynˆome `a coefficients dans un corps K est dit absolument irr´eductible s’il est ir- r´eductible sur toute extension alg´ebrique de K, ou de fa¸con ´equivalente sur une clˆoture alg´ebrique deK. La factorisation absolue d’un polynˆome est sa d´ecomposition en facteurs absolument irr´eductibles.

Ainsi d´efinie, la factorisation absolue d’un polynˆome F en r variables est la traduction alg´ebrique du probl`eme g´eom´etrique suivant : soit V l’ensemble des z´eros de F dans une clˆoture alg´ebrique de K; l’ensembleV d´efinit une hypersurfacede l’espace affine K<sup>r</sup>, et la d´ecomposition de F en facteurs absolument irr´eductibles correspond `a celle de V en composantes irr´eductibles.

Consid´erons par exemple le polynˆome F = y² −2x² `a coefficients dans lC . L’hyper- surface V des points (a, b) appartenant `a lC² tels que F(a, b) = 0 est une courbe plane.

Le polynˆome F se d´ecompose de la fa¸con suivante : F = (y−√

2x) (y+√

2x) , les deux facteurs ´etant absolument irr´eductibles (clairement car de degr´e 1). Autrement dit, la courbeV se d´ecompose en deux composantes d’´equationsF1 =y−√

2xetF2 =y+√ 2x, composantes qui sont elles mˆemes irr´eductibles. Sur cet exemple, la “s´eparation” des composantes se “voit” sur la repr´esentation graphique de V ∩IR .

Si l’on entre une commande du type f actor(F) en Maple par exemple, la r´eponse est y²−2x². Autrement dit Maple consid`ereF comme irr´eductible. Pourtant, nous l’avons vu ci-dessus, F = (y−√

2x) (y+√

2x) . La commande f actor(F) renvoie la factorisation de F sur le plus petit corps contenant ses coefficients, ici lQ . Ainsi Maple, `a l’instar des syst`emes de calcul formel les plus sophistiqu´es, sait faire de la factorisation rationnelle, que nous d´efinirons comme factorisation sur un corps donn´e (contenant les coefficients du polynˆome `a factoriser). Ce corps peut-ˆetre explicitement ou implicitement sp´ecifi´e.

Pour notre exemple, le corps sous-entendu est lQ . Il est d´efini `a la fois explicitement par les coefficients de F, et implicitement puisque aucune r´ef´erence `a la caract´eristique n’est faite dans la commande f actor(F) . On peut alors entrer successivement les commandes α = RootOf(T² −2) , qui d´efinit α comme ´etant une racine de T² − 2 dans lC , puis f actor(F ,{α}) qui demande la factorisation de F sur le plus petit corps contenant ses coefficients et α, et qui renvoie (y−α x) (y+α x) . On sait factoriser entre autres sur

l

Q , sur les corps finis et sur les extensions alg´ebriques de degr´e fini des pr´ec´edents.

D’apr`es cette d´efinition, la factorisation rationnelle d’un polynˆome peut ˆetre d´efinie sur un corps quelconque. La factorisation absolue est ainsi un cas particulier de factorisation

rationnelle. Si l’on prend un point de vue plus “algorithmique”, on est amen´e `a se poser la question : qu’est-ce que se donner un corps ? La factorisation rationnelle pourrait ˆ

etre alors consid´er´ee comme la factorisation sur un corps que l’on peut repr´esenter `a partir d’un nombre fini de constantes et de symboles op´eratoires; par exemple lQ (et son arithm´etique), que l’on peut d´efinir `a partir de l’ensemble {0,1,+,−,×, /,=}, o`u

= repr´esente le test d’´egalit´e. Une extension finie de lQ rentre aussi clairement dans ce cadre, si l’on sait se donner les ´el´ements qui l’engendrent. On serait tent´e de penser qu’une clˆoture alg´ebrique de lQ ne peut pas ˆetre repr´esent´ee de mani`ere finie. Mais puisque l’on dispose d’un algorithme de factorisation sur les extensions alg´ebriques finies de lQ , on peut repr´esenter lQ par un ensemble du type {0,1,+,−,×, /,=, RootOf}, o`u RootOf est une instruction permettant de repr´esenter un ´el´ement alg´ebrique comme racine d’un polynˆome irr´eductible `a coefficients dans une extension de lQ . Notons que les corps K sur lesquels on sait factoriser sont calculables : c’est-`a-dire que l’on peut tester l’´egalit´e de deux ´el´ements de K et effectuer les op´erations arithm´etiques dans K (i.e. donner le r´esultat d’une op´eration entre deux ´el´ements de K sous forme d’un repr´esentant de K).

La r´eciproque est fausse : on ne dispose pas d’algorithme de factorisation sur tous les corps calculables. La repr´esentation que nous en donnons ci-dessus fait de lQ un corps calculable;

cependant, les travaux de Claire Dicrescenzo et Dominique Duval [DD] prouvent que la factorisation n’est pas n´ecessaire pour cela (voir le d´ebut de la section 1 de [Duv2] pour un d´eveloppement de ces concepts).

La m´ethode de factorisation absolue dˆue `a Barry Trager [Tra2] et Carlo Traverso [Trav]

se ram`ene `a une factorisation rationnelle sur une extension finie apr`es d´etermination de celle-ci. Elle cumule ainsi deux probl`emes : trouver une extension convenable, ce qui d´ebouche en g´en´eral sur une extension trop grande, et factoriser sur cette extension par des m´ethodes classiques de factorisation, processus qui deviennent tr`es vite inefficaces quand le degr´e de l’extension croˆıt. La m´ethode de Dominique Duval [Duv2] que nous

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etudions dans la premi`ere partie de cette th`ese est radicalement diff´erente, et en particulier ne n´ecessite aucun proc´ed´e de factorisation. La contrepartie est qu’elle passe par le calcul de structures complexes. Ainsi, si le cas de la factorisation absolue entre dans le cadre de la d´efinition de la factorisation rationnelle, son m´ecanisme semble bien atypique, ce qui est sans doute une des raisons pour laquelle la factorisation absolue reste aujourd’hui consid´er´ee comme une factorisation particuli`ere.

En r´ealit´e, la raison fondamentale n’est pas l`a, car ces probl`emes de repr´esentation et de rationalit´e sont des pr´eoccupations r´ecentes, directement li´es au d´eveloppement du calcul symbolique. Ils ne traduisent pas le caract`ere de “quasi-universalit´e” de la factorisation absolue, mis en ´evidence par les g´eom`etres alg´ebristes du d´ebut du si`ecle, et que nous tenterons d’exprimer comme suit :

Soit f un polynˆome, x₁, . . . , x_r ses ind´etermin´ees, et S l’ensemble de ses coefficients; la factorisation absolue de f est la mˆeme quel que soit le corps dont S est vu comme sous-ensemble et sur lequelx₁, . . . , x_rsont transcendants, `a quelques exceptions pr`es.

Consid´erons le polynˆome G = y² + 3x² + 5 . On a alors X = {x , y} etS = {1,3,5}. L’ensemble S peut ˆetre vu comme partie de lQ , de lQ(t) , de IF_p, pour tout p premier,

´

evidemment de toute extension alg´ebrique de ces corps, etc . . .. Le polynˆome G est absolument irr´eductible quels que soit ce corps, sauf en caract´eristique 2 pour laquelle c’est un carr´e, 3 pour laquelle il se d´ecompose sur IF₃, et 5 pour laquelle il se d´ecompose sur IF₅².

Reprenons l’exemple F = y² − 2x², X = {x , y}et S = {1,−2}. La factorisation absolue de F est (y−α x) (y +α x) quel que soit le corps de base K, o`u α est une racine de T²−2 dans K, sauf pour K de caract´eristique 2 – remarquons d’ailleurs qu’en caract´eristique 2, F =y·y, et que cette factorisation est dans un sens la mˆeme que les autres – .

Ce fait peut ˆetre d´eduit d’un th´eor`eme fondamental d’Emmy Noether (voir section 4.2).

Ce th´eor`eme exprime le fait qu’un polynˆome en n variables, de degr´e au plus d, et `a coefficients dans un corps K, est r´eductible sur K si et seulement si ses coefficients sont solutions d’un syst`eme d’´equations `a coefficients entiers rationnels, ces ´equations ne d´ependant pas du corps K (les coefficients du syst`eme devant ˆetre interpr´et´es dans la caract´eristique de K). Nous reviendrons sur ce th´eor`eme et ses cons´equences lors de l’´etude de notre test d’irr´eductibilit´e absolue qui constitue la deuxi`eme partie de cette th`ese.

Dans la pratique, on est bien loin de disposer d’un algorithme qui donnerait la factorisation absolue d’un polynˆome au sens o`u nous venons de la d´efinir, c’est-`a-dire une d´ecomposition symbolique en produit de facteurs absolument irr´eductibles, et la liste finie des corps sur lesquels cette d´ecomposition n’est pas valable (en fait une liste d’entiers repr´esentant la caract´eristique de ces corps).

Si la factorisation, dite “rationnelle”, sur les corps non alg´ebriquement clos a ´et´e beaucoup

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etudi´ee et a donn´e lieu `a diverses implantations (tout “bon” syst`eme de calcul formel poss`ede son factoriseur de polynˆomes sur les extensions finies de lQ ou sur les corps finis), on est tr`es loin de pouvoir en dire autant de la factorisation absolue. Seul Maple offre `a ce jour une proc´edure de factorisation absolue, bas´ee sur le principe de Barry Trager et Carlo Traverso, et implant´ee par Marc Rybowicz.

La factorisation absolue a connu un regain d’int´erˆet de la part des chercheurs dans les ann´ees 80, justement suite au d´eveloppement du calcul formel et `a l’implantation d’algorithmes de factorisation sur les corps usuels. Une caract´eristique majeure de la fac- torisation des polynˆomes multivari´es est que l’on peut se ramener du cas g´en´eral au cas de deux ind´etermin´ees qui concentre l’essentiel des difficult´es. Divers algorithmes permettent de se ramener `a cette situation, ce que font la plupart des auteurs dont nous citons les travaux ci-apr`es.

Heintz et Sieveking [HS] ont propos´e en 1981 un test d’irr´eductibilit´e absolue. Chistov [Chi] et Grigoryev [Gri] semblent ˆetre `a l’origine du premier algorithme de factorisation sur lC polynomial end<sup>n2</sup> (1984). Etant donn´e un polynˆomeF(x, y) `a coefficients dansK, Kaltofen [Kal1] donne en 1985 un algorithme consistant `a rechercher le polynˆome minimal d’une racine deF , vu comme polynˆome en y, dans K[x, y] . Ce polynˆome est un facteur absolument irr´eductible de F . Nous avons mentionn´e ci-dessus la m´ethode de Trager et

Traverso, qui consiste `a factoriser F par un algorithme classique, sur une extension “bien choisie”. La m´ethode de Duval, [Duv1] en 1987 puis [Duv2] en 1991, est bas´ee sur une approche g´eom´etrique, et consiste `a calculer un certain invariant de la courbe associ´ee au polynˆome, l’espace des fonctions constantes, puis en tirer les composantes irr´eductibles de la courbe. Bajaj, Canny, Garrity et Warren [BCGW] proposent en 1989 une m´ethode bas´ee sur la topologie de l’ensemble des z´eros du polynˆome. Enfin tout r´ecemment (1997), Galligo et Watt [GW] ont pr´esent´e une m´ethode num´erique.

En fait, la plupart des travaux sur la question sont consacr´es `a la factorisation sur lC , et mˆeme plutˆot sur lQ (certains des algorithmes pr´ecit´es peuvent n´eanmoins se trans- poser sans difficult´e majeure sur les corps finis). Mais, nous l’avons dit, mˆeme dans ce cas on ne dispose pas d’un algorithme de factorisation efficace, pas plus que d’un test d’irr´eductibilit´e. Ceci explique pourquoi nous nous sommes nous aussi consacr´es au cas de lQ , l’un des objectifs de cette th`ese ´etant l’obtention de tels algorithmes.

La premi`ere partie de nos travaux est essentiellement consacr´ee `a l’´etude, l’am´elioration et l’implantation en Maple de la m´ethode de Dominique Duval (chapitre 2). Cette im- plantation passe par l’optimisation de certaines parties de l’algorithme et en particulier, nous montrons que la factorisation absolue se d´eduit de l’espace des constantes par des proc´edures totalement rationnelles sur le corps de base (ne se d´eroulant pas dans des ex- tensions), et performantes. Les r´esultats de notre implantation se comparent de mani`ere relativement avantageuse `a ceux de l’algorithme de Barry Trager et Carlo Traverso et sont pr´esent´es au chapitre 3. Avant cela, nous exposons au chapitre 1 le principe de la m´ethode de Trager et Traverso, et en tirons un algorithme sp´ecialement adapt´e au calcul des facteurs lin´eaires d’un polynˆome.

La deuxi`eme partie de cette th`ese pr´esente un test d’irr´eductibilit´e absolue des polynˆomes

`

a coefficients dans lQ . Etant donn´e un polynˆome F `a coefficients dans lQ , le test consiste

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a rechercher des conditions suffisantes sur ses r´eductions modulo des nombres premiers.

Ces conditions ont ´et´e remarqu´ees par Kaltofen [Kal1], et Traverso et Dvornicich [TrDv].

Nous donnons au chapitre 4 des minorants pour les nombres premiers, `a partir desquels ces conditions d’irr´eductibilit´e absolue sont aussi n´ecessaires. Au chapitre 5, nous montrons que la probabilit´e que ce crit`ere ne soit pas v´erifi´e modulo p pour plusieurs nombres premierspdiminue tr`es vite avec leur nombre. Ce calcul de probabilit´e passe entre autres par le d´enombrement des polynˆomes de degr´e major´e ayant des solutions de multiplicit´e donn´ee dans IFp. Nous avons effectu´e une implantation de ce test, qui s’av`ere tr`es efficace.

Chacune des deux parties comporte introduction et conclusion et peut se lire ind´ependam- ment de l’autre. Les seuls pr´erequis demand´es au lecteur sont des bases d’alg`ebre com- mutative.

Table des mati` eres

Introduction 1

I Factorisation Absolue 9

1 Premi`ere m´ethode (Trager/Traverso) 13

1.1 Algorithme de Trager et Traverso . . . . 14

1.2 D´efinitions et propri´et´es . . . . 16

1.3 Une m´ethode de calcul des facteurs lin´eaires . . . . 19

1.3.1 Fondements th´eoriques . . . . 19

1.3.2 Description de la m´ethode – Algorithme . . . . 21

1.3.3 G´en´eralisation aux polynˆomes r´eductibles. . . . 23

2 Deuxi`eme m´ethode (Duval) 25 2.1 Introduction . . . . 25

2.2 Corps de fonctions alg´ebriques . . . . 26

2.2.1 Anneaux de valuation – Places. . . . 26

2.2.2 Notions de valuation et ramification. . . . 28

2.2.3 Notion de diviseur . . . . 28

2.2.4 El´ements entiers – Constantes . . . . 29

2.3 Factorisation absolue . . . . 31

2.3.1 Th´eor`eme fondamental . . . . 31

2.3.2 Th´eor`eme effectif . . . . 32

2.3.3 Sch´ema de l’algorithme . . . . 33

2.4 Calcul d’une base du corps des constantes . . . . 33

2.4.1 Calcul d’une base de l’anneau des entiers . . . . 33

2.4.1.1 Algorithme de Trager . . . . 34

2.4.1.2 Algorithme de van Hoeij . . . . 35

2.4.1.3 Passage du local au global . . . . 37

2.4.2 Base de l’anneau des entiers normale `a l’infini . . . . 40

2.4.2.1 Bases normales . . . . 40

2.4.2.2 Normalisation `a l’infini d’une base de l’anneau des entiers 41 2.4.3 Algorithmes . . . . 49

2.5 Calcul d’un facteur absolument irr´eductible. . . . 53

2.6 Algorithme de factorisation absolue . . . . 56

3 R´esultats des implantations et conclusion 57 3.1 Exemples . . . . 57

3.2 Conclusion . . . . 62

II Irr´ eductibilit´ e Absolue – Test Probabiliste 65

4.2 Irr´eductibilit´e absolue modulo p . . . . 73

4.3 Factorisation absolue et multiplicit´e des solutions . . . . 75

4.4 Existence de solutions rationnelles simples modulop . . . . 76

4.4.1 R´esultats g´en´eraux . . . . 76

4.4.2 R´esultats sur les courbes . . . . 78

4.5 Majorant de l’ensemble des mauvaises r´eductions . . . . 81

5 Test probabiliste 83 5.1 Analyse du probl`eme – choix d’un espace probabilis´e Ω . . . . 83

5.2 Etude pr´eliminaire des probabilit´es . . . . 86

5.3 Encadrement du nombre de polynˆomes irr´eductibles de IFq[X]d . . . . 91

5.4 D´enombrement des polynˆomes de IFq[X]d ayant des solutions rationnelles simples dans IF_q . . . . 97

5.4.1 Introduction . . . . 97

5.4.2 Ensembles alg´ebriques – Id´eaux . . . . 98

5.4.3 D´enombrement (premi`ere partie) . . . . 101 5.4.4 D´enombrement (deuxi`eme partie) . . . . 105 5.5 Encadrement du nombre de polynˆomes de Ω dont le degr´e chute par r´eduction110 5.6 Calcul des probabilit´es . . . . 113 5.7 Analyse des r´esultats . . . . 119 5.8 Exemples . . . . 122

Conclusion 127

Bibliographie 129

Partie I

Factorisation Absolue

Nous ´etudions une m´ethode de factorisation absolue des polynˆomes en deux variables dont le sch´ema th´eorique a ´et´e donn´e par Dominique Duval dans [Duv1] puis [Duv2]. Cette m´ethode sophistiqu´ee est bas´ee sur le calcul de l’anneau des entiers d’un corps de fonctions alg´ebriques, un probl`eme dont la r´esolution pratique est reconnue comme difficile. C’est l’une des raisons pour lesquelles aucune implantation n’a ´et´e tent´ee jusqu’`a pr´esent.

Nous nous sommes plac´es dans un cadre un peu plus restreint que l’auteur et avons ´etudi´e chaque ´etape de la m´ethode en ayant en vue deux objectifs majeurs :

– trouver une pr´esentation du probl`eme et am´eliorer certaines parties de l’algorithme, de telle sorte que le calcul de l’anneau des entiers soit le seul point coˆuteux de la m´ethode.

– sugg´erer des am´eliorations pour le calcul de l’anneau des entiers.

Par ailleurs, le calcul de l’anneau des entiers ayant fait l’objet r´ecemment d’une implan- tation en Maple relativement performante ([Hoe]), nous avons implant´e cette m´ethode de factorisation absolue. Les r´esultats sont tout `a fait encourageants par rapport `a ceux obtenus par la m´ethode de Barry Trager et Carlo Traverso ([Tra2], [Trav]).

Bien que cette derni`ere soit pr´esent´ee dans de nombreux articles sur le sujet, nous la pr´esentons `a nouveau ici et ce pour plusieurs raisons. Tout d’abord pour ses vertus

“p´edagogiques” : cette m´ethode est fond´ee sur un r´esultat que nous utiliserons aussi dans la deuxi`eme partie de cette th`ese, et a le m´erite de mettre en lumi`ere plusieurs aspects et difficult´es de la factorisation absolue. D’autre part, le lecteur aura remarqu´e que nos travaux tendent vers un objectif pratique (pour le moins naturel en calcul formel) et donnent lieu `a des implantations. Il est donc tout `a fait naturel de rapporter ici le seul algorithme `a notre connaissance officiellement implant´e sur un syst`eme de calcul formel.

Enfin, nous proposons un algorithme pour la d´etection et le calcul des facteurs lin´eaires bas´e sur les mˆemes principes.

Les r´esultats des diverses implantations sont compar´es et analys´es dans un chapitre con- clusif.

Bien que certains des r´esultats expos´es puissent ˆetre g´en´eralis´es, on supposera dans toute cette partie que les corps de base sont parfaits. D’autre part, comme on va le voir (th´eor`eme 1.2.2), d´ecomposer un polynˆome irr´eductible en facteurs absolument irr´eductibles revient formellement `a calculer un de ces facteurs. C’est donc `a ce second probl`eme que nous nous attachons dans cette partie, sans perdre de vue que le calcul explicite de tous les facteurs est un probl`eme plus difficile.

Chapitre 1

Premi` ere m´ ethode (Trager/Traverso)

On peut envisager la factorisation absolue des polynˆomes en plusieurs variables comme la succession de deux probl`emes : la d´etermination du corps de d´ecomposition et la factorisation sur ce corps. C’est sur ce sch´ema qu’est construit l’algorithme de Barry Trager et Carlo Traverso implant´e sur le syst`eme de calcul formel Maple.

Si ce type de m´ethode est en g´en´eral simple `a mettre en oeuvre, la raison principale ´etant l’existence sur la plupart des syst`emes de calcul formel d’une biblioth`eque de proc´edures de factorisation sur les extensions alg´ebriques, la contrepartie en est l’inefficacit´e. En effet, ces proc´edures de factorisation deviennent tr`es vite inefficaces quand le degr´e de l’extension croit. Or ceci est d’autant plus critique pour la factorisation absolue que le corps sur lequel est op´er´ee effectivement la factorisation est, en th´eorie, un corps trop grand – un surcorps du corps de d´ecomposition du polynˆome.

Nous proposons une sp´ecialisation de cette m´ethode `a la recherche des facteurs lin´eaires, bas´ee sur les mˆemes principes. Dans ce cas, d’une part on d´etermine exactement le corps des coefficients de ces facteurs, d’autre part, la factorisation se ram`ene `a la recherche de facteurs lin´eaires de polynˆomes en une variable `a coefficients dans ce corps.

Nous d´eveloppons des concepts fondamentaux de la factorisation absolue relatifs `a ces m´ethodes dans la section 1.2. Apr`es quoi nous donnerons une m´ethode sp´ecifique au calcul des facteurs lin´eaires (section 1.3). Mais nous allons commencer par exposer un sch´ema de la m´ethode de Trager et Traverso (section 1.1). Nous essaierons de le faire de la mani`ere la plus simple possible afin de permettre aux lecteurs peu familiers du sujet d’appr´ehender rapidement le probl`eme. Certaines des notions introduites seront donc reprises de mani`ere plus d´evelopp´ee dans la section 1.2.

1.1 Algorithme de Trager et Traverso

Soit k un corps de clˆoture alg´ebrique k, et soitf un polynˆome de k[x₀, . . . , x_r] .

D´efinition 1.1.1 f est ditabsolument irr´eductibles’il est irr´eductible sur toute extension alg´ebrique de k, autrement dit s’il est irr´eductible dans k[x₀, . . . , x_r] .

La factorisation absolue d’un polynˆome dek[x₀, . . . , x_r] est sa d´ecomposition en facteurs absolument irr´eductibles dans k[x0, . . . , xr] .

D´efinition 1.1.2 Soitk⁰ une extension finie dek, et soitg un polynˆome dek⁰[x0, . . . , xr] . On dira que ¯g est un conjugu´e de g sur k s’il est l’image de g par un k-isomorphisme de k⁰ dans k, autrement dit si ses coefficients sont les conjugu´es de ceux de g par ce k- isomorphisme.

Sous l’hypoth`ese qui nous int´eresse, `a savoir k parfait, si k⁰ est de degr´e n sur k, les k-isomorphismes dek⁰ dans k sont au nombre de n.

Nous allons nous restreindre `a deux ind´etermin´ees, ce qui simplifie la description de l’algo- rithme, mais le r´esultat th´eorique sous-jacent se g´en´eralise sans probl`eme comme nous le verrons `a la section suivante. Soit f(X , Y) un polynˆome de k[X , Y] , de degr´e n en Y . Soit C la courbe alg´ebrique d´efinie comme l’ensemble des z´eros du polynˆome f(X , Y) dans k.

D´efinition 1.1.3 Soit P = (α , β) un point deC, autrement dit un point de k² solution de f. Le point P est une solution simple de f (ou un point simple de C) si l’une des d´eriv´ees _∂X^∂f(P), _∂Y^∂f(P) est non nulle.

Remarque: On montre ais´ement `a partir de cette d´efinition que siP est une solution simple de f, le point P est solution de l’un et d’un seul des facteurs absolument irr´eductibles def.

Th´eor`eme 1.1.1 Soit (α , β) un point simple de C. Alors,

le polynˆome f a un facteur absolument irr´eductible `a coefficients dans k(α , β). Preuve Soit F le facteur irr´eductible de f sur k(α , β) , s’annulant en (α , β) (il existe et est unique en vertu de la remarque pr´ec´edant le th´eor`eme). Supposons que F soit r´eductible sur k. Comme (α , β) est un z´ero de F , c’est un z´ero de l’un de ses facteurs.

Par conjugaison sur k(α , β) , c’est alors un z´ero de tous les facteurs de F , et il n’est donc

simple que si F est absolument irr´eductible. 2

Le th´eor`eme semble ˆetre dˆu simultan´ement `a Kaltofen [Kal1] d’une part, et `a Traverso et Dvornicich [TrDv] d’autre part.

On peut d`es maintenant donner un sch´ema de l’algorithme de recherche d’un facteur absolument irr´eductible, dont on trouvera des descriptions plus compl`etes dans [Tra2] et [Trav]. Notons qu’une condition n´ecessaire `a l’existence d’une solution simple pour f est qu’il soit sans carr´e – c’est aussi une condition suffisante si k est assez grand. On supposera pour commodit´e que f est sans carr´e, situation `a laquelle on peut se ramener avec l’algorithme de d´ecomposition sans carr´e de Yun [Yun] par exemple. Dans ce cas, un moyen ais´e de trouver un point simple est de choisir α dans k tel que f(α , T) soit sans carr´e et de degr´en. Alors, siβ est une racine de f(α , T) , le point (α , β) est une solution simple def. En effet,f(X , Y) ´etant sans carr´e, l’ensemble des αtels quef(α , T) ait un facteur carr´e ou soit de degr´e inf´erieur `anest fini. Ce choix ne pose donc pas de probl`eme dans tout corps suffisamment grand.

Algorithme

• entr´ee : f(X , Y) de degr´e n en Y et sans carr´e.

• sortie : un facteur absolument irr´eductible de f.

1. choisirα dans k tel que f(α , T) soit sans carr´e et de degr´e n; 2. choisirβ une racine de f(α , T) et factoriserf sur k(β) ; 3. retourner l’unique facteurF tel que F(α , β) = 0 ;

Cet algorithme suppose que l’on dispose d’un algorithme de factorisation sur k(β) . On essaiera en fait de factoriser f sur l’extension la plus petite possible. En particulier, si f est irr´eductible (sur k) et si f(α , T) a une racine dans k, le polynˆome f est absolu- ment irr´eductible (on retrouve ici le th´eor`eme 4.1.1 utilis´e dans la partie II). Notons que cette m´ethode s’applique de la mˆeme fa¸con `a plus de deux ind´etermin´ees, mais qu’alors la recherche d’un point simple est plus d´elicate (voir remarque en conclusion de la sec- tion 1.3.3).

Exemple Soit f(X , Y) =Y¹⁰−2X²Y⁴+ 4X⁶Y²−2X¹⁰, `a coefficients dans lQ . Soit α = 1 . Le polynˆome f(1, T) = T¹⁰−2T⁴+ 4T²−2 est irr´eductible sur lQ , donc sans carr´e. Soit β une racine de f(1, T) . Alors (1, β) est une solution simple de f. Factorisons f(X , Y) sur lQ(β) : un facteur absolument irr´eductible de f est

F(X , Y) =Y⁵+β⁵+β⁷+ 2β −2β³+β⁹Y²X+−2β+ 2β³−β⁵−β⁷−β⁹X⁵ . Sous la forme algorithmique donn´ee ci-dessus, la m´ethode serait dans la plupart des cas inop´erante, tant les m´ethodes de factorisation sont lentes, et d’autant plus pour deux indetermin´ees. Le polynˆomef a ´et´e factoris´e sur une extension de degr´e 10 quand lQ(√

2)

aurait suffi. En effet, les coefficients de F(X , Y) g´en`erent en fait le corps lQ(√ 2) , et F(X , Y) est ´egal `a conjugaison pr`es `a

G(X , Y) =Y⁵−√

2X Y²+√ 2X⁵.

L’implantation r´ealis´ee par Marc Rybowicz tente de trouver la plus petite extension possi- ble, en testant plusieurs points simples et en “intersectant” les extensions correspondantes.

Dans la plupart des cas, le “bon” corps est trouv´e en quelques ´evaluations (ce qui reste `a justifier). Dans tous les cas, il faut tout de mˆeme factoriser une ´evaluation de f sur une extension de degr´e maximal (i.e. du degr´e de f).

Pour notre exemple, l’´evaluation f(2, T) = Y¹⁰−8Y⁴ + 256Y² −2048 se factorise sur l

Q(β) en

(32β⁵+ 32β⁷+ 64β −64β³+ 32β⁹+ (−2β⁷−4β−2β⁵−2β⁹+ 4β³)Y²+Y⁵) (−32β⁵−32β⁷−64β+ 64β³−32β⁹ + (2β⁷+ 4β+ 2β⁵+ 2β⁹−4β³)Y²+Y⁵) ; ce qui prouve que F(X , Y) lui-mˆeme se factorise (au plus) en deux facteurs de degr´e 5 enY sur une extension de degr´e 2 de lQ . Le polynˆome minimal d’un ´el´ement primitif de cette extension est donn´e par le calcul de la norme d’une “bonne” combinaison lin´eaire des coefficients d’un des facteurs de f(2, T) , ce qui donne le polynˆome T²−2 .

Il reste enfin `a factoriser F(X , Y) sur Q(α) o`u α est une racine de T²−2 ce qui conduit au r´esultat.

1.2 D´ efinitions et propri´ et´ es

Nous allons maintenant pr´eciser et g´en´eraliser `a plus de deux variables les notions entre- vues dans la section pr´ec´edente, notions sur lesquelles est fond´ee notre m´ethode de calcul des facteurs lin´eaires.

Soit f un polynˆome dek[x₀, . . . , x_r] .

D´efinition 1.2.1 Soit P = (a0, a1, . . . , ar) un point dek^(r+1) tel quef(P) = 0 . Le point P est appel´e solutionsimple def si l’une des d´eriv´ees _∂x^∂f

i est non nulle.

Th´eor`eme 1.2.1 Soit (a₀, a₁, . . . , a_r) une solution simple de f. Notons k⁰ l’extension k(a₀, a₁, . . . , a_r). Alors,

f a un facteur absolument irr´eductible `a coefficients dans k⁰.

Preuve Soit g un facteur irr´eductible de f dans k⁰[x0, . . . , xr] admettant (a0, a1, . . . , ar) comme z´ero, et soit ^Y

i

gi la d´ecomposition de g en produit de facteurs absolument irr´eductibles. Le point (a0, a1, . . . , ar) ´etant un z´ero deg, c’est un z´ero de l’un des gi. Les g_i ´etant conjugu´es sous l’action du groupe de Galois de k sur k⁰, et (a₀, a₁, . . . , a_r) ´etant

solution de l’un des g_i, il est solution de tous, ce qui contredit le fait qu’il est z´ero simple def si iest sup´erieur `a 1. Le polynˆome g est donc absolument irr´eductible. 2 On a ainsi un moyen simple de d´eterminer une extensionk<sup>0</sup> dek telle que f a un facteur absolument irr´eductible `a coefficients dans k⁰. N´eanmoins, cette extension peut s’av´erer plus grande que le corps des coefficients de ce facteur.

Les deux r´esultats suivants d´ecoulent de notions classiques en th´eorie de Galois, notions qui s’´etendent `a des polynˆomes `a plusieurs ind´etermin´ees.

D´efinition 1.2.2 Soit k⁰ une extension alg´ebrique dek de degr´en et soitg un polynˆome de k⁰[x0, . . . , xr] . On appelle norme de g sur k (relativement `a k⁰) le produit des n conjugu´es de g sur k. On notera

N orme_k0/k(g) =^Yconjugue_k0/k(g).

Lemme 1.2.1 Soit k⁰ une extension finie de k et soit g un polynˆome irr´eductible de k⁰[x₀, . . . , x_r]. Alors, N orme_k0/k(g) est une puissance d’un polynˆome irr´eductible de k[x0, . . . , xr].

Preuve Ce lemme est une extension `a plusieurs ind´etermin´ees du th´eor`eme 2.1 de [Tra1].

La preuve s’´etend sans difficult´e, et bien que l’auteur se place en caract´eristique nulle, on

constate que l’hypoth`esek parfait suffit. 2

Th´eor`eme 1.2.2 Soit f irr´eductible surk. Soit g un facteur absolument irr´eductible de f et soit kc le corps des coefficients de g. Alors,

f =N orme_kc/k(g),

et ainsi ^Qconjugue_kc/k(g) est la d´ecomposition de f en produit de facteurs absolument irr´eductibles.

Preuve D’apr`es le lemme pr´ec´edent et commeg divisef, il vient N orme_kc/k(g) =fⁿ

pour un entiern strictement positif.

Soit d le degr´e dek_c sur k. Il existe alors d k-isomorphismes distincts de k_c dans k [Sam page 40 th´eor`eme 1], et en notant σ<sub>i</sub>, i de 1 `ad ces isomorphismes,

N orme_kc/k(g) =

Yd i=1

σ_i(g).

Or lesσ_i(g) sont absolument irr´eductibles, car images deg par des isomorphismes, et donc (σ_i(g), g) = 1 ou σ_i(g) =g .

Maisσ_i(g) =g signifie que σ_i laisse invariants les coefficients de g et donc k_c, ce qui veut dire queσi est l’identit´e de kc. Ceci montre que les σi(g) sont premiers deux `a deux, et donc que N orme<sub>kc/k</sub>(g) est sans carr´e, prouvant que n = 1 . 2 Ce th´eor`eme ´etaye ce que nous annoncions en introduction, `a savoir que trouver la fac- torisation absolue d’un polynˆome irr´eductible sur k revient `a trouver un de ses facteurs absolument irr´eductible¹.

Corollaire 1.2.1 Soit f irr´eductible sur k. Soit g un facteur absolument irr´eductible de f et soit kc le corps des coefficients de g. Soit k⁰ une extension alg´ebrique de degr´e n de k_c, alors

N orme_k0/k(g) =fⁿ.

Preuve C’est une cons´equence du th´eor`eme 1.2.2 et de la composition des normes. En effet,

N orme_k0/k(g) =N orme_kc/kN orme_k0/kc(g) . OrN orme_k0/kc(g) =gⁿ d’apr`es les hypoth`eses, et

N ormekc/k(gⁿ) =

N ormekc/k(g)

_n

=fⁿ d’apr`es le th´eor`eme 1.2.2.

2 Chaque facteur absolument irr´eductible def est ainsi `a coefficients dans un corps conjugu´e dek⁰.

D´efinition 1.2.3 Soit f un polynˆome dek[x₀, . . . , x_r] , de degr´en >0 en x₀. Unr-uplet (a1, . . . , ar) de k^r est unevaleur non critiquepour f enx0 si le polynˆome f(T, a1, . . . , ar) est sans carr´e de degr´e n. Cela entraˆıne en particulier que pour toute racine α de f(T, a₁, . . . , a_r) , le point (α, a₁, . . . , a_r) est une solution simple de f(x₀, . . . , x_r) .

Remarque : (1) L’existence d’une valeur non critique pour f entraˆıne quef est lui-mˆeme sans carr´e.

Remarque: (2) Si (a₁, . . . , a_r) est une valeur non critiquepour f enx₀, il en est de mˆeme pour tout facteur de f si f est primitif en x0.

1Nous ne disons pas ici qu’exprimer tous les facteurs sur le corps de d´ecomposition est chose ais´ee. Si l’on exprime un facteur dans une extension alg´ebrique, exprimer tous les facteurs n´ecessite d’avoir une expression de la clˆoture normale de cette extension.

Proposition 1.2.1 Soit f appartenant `a k[x₀, x₁, . . . , x_r], sans carr´e, primitif en x₀, et soit (a₁, . . . , a_r) une valeur non critique pour f en x₀. Pour chaque facteur absolument irr´eductible F de f dans k[x₀, . . . , x_r], il existe α racine de f(T, a₁, . . . , a_r)tel que F est

`

a coefficients dans k(α).

Preuve Soit g un facteur irr´eductible de f dans k[x₀, x₁, . . . , x_r] . Ler-uplet (a₁, . . . , a_r)

´

etant non critique pour f l’est aussi pour g. Soit α une racine de g(T, a₁, . . . , a_r) , alors (α, a₁, . . . , a_r) est une solution simple degetga un facteur absolument irr´eductible F dans k(α)[x₀, x₁, . . . , x_r] (th´eor`eme 1.2.1). Le r´esultat d´ecoule alors du corollaire pr´ec´edent. En effet, soit kc le corps des coefficients de g et soit n le degr´e de k(α) sur kc.

g(x0, . . . , xr)ⁿ =^Yconjugue_k(α)/k(F(x0, . . . , xr))

et chaque conjugu´e de F est `a coefficients dans k(β) o`u β est un conjugu´e de α sur k,

autrement dit une racine de g(T, a₁, . . . , a_r) . 2

1.3 Une m´ ethode de calcul des facteurs lin´ eaires

Remarque : On pourra lire l’article de Jean-Christophe Hohl [Hoh] sur le sujet.

1.3.1 Fondements th´ eoriques

Dans le but de clarifier les explications, nous allons raisonner sur des polynˆomes ho- mog`enes et irr´eductibles surk. Ces deux hypoth`eses n’enl`event rien `a la g´en´eralit´e. C’est clair pour ce qui concerne l’homog´en´eit´e – les polynˆomes de degr´edenr variables sont en bijection avec les polynˆomes homog`enes de degr´edenr+1 variables non divisibles par une puissance de la variable suppl´ementaire –, d’autre part, nous verrons comment la m´ethode qui d´ecoule de ces r´esultats se g´en´eralise sans difficult´e aux polynˆomes r´eductibles sur k (section 1.3.3) .

Remarque : On suppose ici que r est strictement sup´erieur `a 2. Factoriser un polynˆome homog`ene en deux ind´etermin´ees revient `a factoriser un polynˆome en une ind´etermin´ee.

La factorisation absolue d’un polynˆome irr´eductible en une indetermin´ee n’est autre que sa d´ecomposition en produit de facteurs lin´eaires conjugu´es sous l’action du groupe de Galois de ce polynˆome. Ce probl`eme est sans objet ici, puisque l’on cherche `a exprimer des factorisations “formelles”, c’est-`a-dire en fonction de nombres alg´ebriques d´efinis comme racines de polynˆomes d’une variable `a coefficients dansk.

Soit h un polynˆome de k[x₀, . . . , x_r] homog`ene et irr´eductible sur k. Notons deg_xi(h) le degr´e deh enx_i,lcoef_xi(h) son coefficient de plus haut degr´e enx_i, et dson degr´e total.

Notons tout d’abord que sih `a un facteur lin´eaire, ce facteur est absolument irr´eductible, et tous les facteurs absolument irr´eductibles dehsont lin´eaires (par le th´eor`eme 1.2.2 par exemple).

Nous allons maintenant ´enoncer une s´erie de r´esultats constituant des conditions n´eces- saires `a l’existence d’un facteur lin´eaire pour h, la conjonction de ces conditions permet- tant de circonscrire un ensemblefini de candidats facteurs.

Proposition 1.3.1 Si le polynˆome h admet un facteur lin´eaire sur k, alors pour tout i de 0 `a r,

deg_xi(h) = 0 ou deg_xi(h) =d .

Ceci signifie en particulier que si la variable x_i apparaˆıt dans h, alors deg_xi(h) = d et donc lcoefxi(h)∈k.

Preuve Le polynˆome h ´etant irr´eductible, s’il se factorise sur k, cette factorisation est de la forme h=

Yn i=1

hi o`u les hi sont conjugu´es sur k (th´eor`eme 1.2.2). En particulier, si l’un des h_i est lin´eaire, ils le sont tous et sont au nombre de d. Posons

h₁ =α₀x₀+α₁x₁+. . .+α_rx_r.

Notons k_c =k(α₀, . . . , α_r) le corps des coefficients de h₁. On a alors h =N orme_kc/k(h₁) (th´eor`eme 1.2.2), ce qui prouve que kc est de degr´e d.

• Si l’un des α_i est nul, tous ses conjugu´es le sont aussi et h est alors un polynˆome en r variables.

• Si αi est non nul, N orme_kc/k(αi) ne l’est pas non plus et le terme N orme_kc/k(αi)x^d_i apparaˆıt dans h=

Yd i=1

h_i. Les r´esultats en d´ecoulent imm´ediatement. 2 Dans la suite, on consid`erera que lesr+ 1 variables apparaissent dans h.

Proposition 1.3.2 Soit (a1, . . . , ar) une valeur non critique pour h en x0 et soit α une racine de h(T, a₁, . . . , a_r). Si h se d´ecompose en facteurs lin´eaires dans k[x₀, . . . , x_r], alors

1. l’un de ces facteurs est `a coefficients dans k(α). 2. h(T, a1, . . . , ar) est irr´eductible sur k.

Preuve α est racine simple de h(T, a1, . . . , ar) , donc (α, a1, . . . , ar) est une solution simple deh, et par le th´eor`eme 1.2.1,ha un facteur absolument irr´eductible `a coefficients dans k(α) = k(α, a1, . . . , ar) , qui est lin´eaire comme l’impose la d´ecomposition de h, ce qui prouve le premier point.

Nous avons not´e plus haut (preuve de la proposition 1.3.1) que le corps des coefficients de ce facteur est de degr´e d sur k. Il est contenu dans k(α) qui est donc lui mˆeme de degr´e

d ce qui prouve le deuxi`eme point. 2

Proposition 1.3.3 Sous les hypoth`eses de la proposition 1.3.2, sih se d´ecompose en fac- teurs lin´eaires dans k[x₀, . . . , x_r], alors pour tout i et pour tout (b₀, . . . , b_i−1, b_i+1, . . . , b_r) de k^r,

h(b₀, b₁, . . . , b_i−1, T, b_i+1, . . . , b_r) a un facteur lin´eaire dans k(α)[T].

Preuve Notons que d’apr`es la proposition 1.3.1, la variable x<sub>i</sub> apparaissant dans h, celui-ci poss`ede un terme a x^d_i avec a 6= 0 . Ainsi h(b₀, b₁, . . . , b_i−1, T, b_i+1, . . . , b_r) est un polynˆome de degr´e d. Le polynˆome h s’´ecrit

(c₀x₀+. . .+c_rx_r)f(x₀, . . . , x_r) o`u les c<sub>i</sub> appartiennent `ak(α) (proposition 1.3.2).

h(b₀, . . . , T, . . . , b_r) = (c₀b₀+. . .+c_iT +. . .+c_rb_r)f(b₀, . . . , T, . . . , b_r),

et (c₀b₀+. . .+c_iT +. . .+c_rb_r) est `a coefficients dans k(α) . 2

Proposition 1.3.4 Sous les hypoth`eses de la proposition 1.3.2, si h se d´ecompose en facteurs lin´eaires dans k[x₀, . . . , x_r], alors un de ses facteurs est de la forme

x₀−α₁x₁−α₂x₂−. . .−α_rx_r o`u α_i est une racine de h(T,0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,0) dans k(α).

Preuve De la proposition 1.3.2, on tire que h a un facteur lin´eaire l(x₀, . . . , x_r) =c₀x₀+c₁x₁+. . .+c_rx_r

dansk(α)[x₀, . . . , x_r] . Ainsi l(T,0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,0) =c₀T +c_i est un facteur lin´eaire de h(T,0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,0) dans k(α)[T] . Soit α_i sa racine,α_i =−c_i

c0

d’o`u le r´esultat. 2

1.3.2 Description de la m´ ethode – Algorithme

A partir des r´esultats pr´ec´edents, on peut ´elaborer une m´ethode de calcul d’un facteur lin´eaire d’un polynˆome homog`ene et irr´eductible sur le corps de ses coefficients, dans le cas o`u ce corps est parfait.

Soit h un tel polynˆome de k[x₀, . . . , x_r] , de degr´e total d. Si le degr´e de h en l’une des variables est nul, le probl`eme se ram`ene `a un probl`eme en une variable de moins. La m´ethode consiste `a construire un facteur lin´eaire potentiel et `a le tester `a l’aide d’une proc´edure de v´erification dont nous discutons ci-apr`es. Si le r´esultat s’av`ere positif, h

est ´egal au produit de ce facteur et de ses conjugu´es sur k. Les candidats v´erifiant les conditions n´ecessaires enum´er´ees ci-dessus ´etant en nombre fini, si aucun ne s’av`ere ˆ

etre un facteur de h, ce dernier n’a pas de facteur lin´eaire. Nous donnons ci-dessous une description algorithmique de la m´ethode. Cet algorithme n´ecessite une proc´edure de calcul des facteurs lin´eaires des polynˆomes univari´es dans une extension, ce qui est a priori plus simple (moins coˆuteux) que la factorisation compl`ete dans cette extension.

Algorithme

(On suppose que toutes les variables apparaissent dans h).

linear-decomposition(h)

Entr´ee: h un polynˆome dek[x₀, . . . , x_r] homog`ene et irr´eductible.

Sortie : “h” ou “l” o`u l est un facteur lin´eaire deh. D´ebut

d←deg(h).

(1) Pour tout i de 0`a r faire

Si deg_xi(h)< dou lcoef_xi(h)6∈k alors return(h) . (2) (a₁, . . . , a_r)← non-critical-value(h, x₀) .

(3) Si h(T, a₁, . . . , a_r)est r´eductible alors return(h) sinon α←root-of(h(T, a₁, . . . , a_r)) .

(4) Pour i de1 `a r faire

list_i← linear-factors(h(T,0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,0), α) . Si list_i est vide alors return(h) .

(5) Pour (p₁, . . . , p_r) danslist₁×. . .×list_r r´ep´eter pour i de1 `a r faireα_i ←root-of(p_i) . l← (x₀−α₁x₁−α₂x₂−. . .−α_rx_r) . Si is-factor(h, l)=true alors return (l).

(6) return(h) . Fin.

La proc´edure renvoie un facteur lin´eaire deh le cas ´ech´eant ou h lui-mˆeme s’il n’a pas de facteur lin´eaire.

1. Si deg_xi(h)< d ou lcoef_xi(h)6∈ k, le polynˆome h n’admet pas de facteurs lin´eaires (proposition 1.3.1).

2. La proc´edure non-critical-value(h, x₀) renvoie une valeur non critique pour h enx0 (existe si k est assez grand).

3. Sih(T, a₁, . . . , a_r) est r´eductible,hn’a pas de facteur lin´eaire (proposition 1.3.2).

4. On construit une liste de taillerdont lai-`eme entr´ee est la liste des facteurs lin´eaires de h(T,0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,0) dans k(α) . La proc´edure linear-factors peut ˆetre

construite par exemple sur une proc´edure de factorisation des polynˆomes en une variable sur une extension, disponible sur la plupart des syst`emes de calcul formel.

Si l’un des h(T,0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,0) n’a pas de facteur lin´eaire dans k(α) , alors h n’a pas de facteur lin´eaire (proposition 1.3.3).

5. On choisit une combinaison dans list₁×. . .×list_r et on teste le polynˆome lin´eaire l correspondant `a cette combinaison par la proc´edure is-factor(h, l). On r´ep`ete cette ´etape tant que le facteur n’est pas “bon” et que toutes les combinaisons n’ont pas ´et´e test´ees.

6. Si toutes les combinaisons ont ´et´e test´ees sans succ`es, h n’a pas de facteur lin´eaire (proposition 1.3.4).

is-factor(h, l)

Entr´ee : h : un polynˆome homog`ene dek[x₀, . . . , x_r]. l : un polynˆome lin´eaire.

Sortie : true sil est un facteur de h,f alse sinon.

Pour r´ealiser la proc´edure is-factor(h, l), les trois solutions suivantes sont `a peu pr`es

´

equivalentes et ne sont pas v´eritablement satisfaisantes (relativement `a leur coˆut).

• Effectuer la division de h par l.

• Calculer la norme de l sur k et la comparer avec h.

• Calculer le r´esultant de h et l en l’une des variables : ce r´esultant est nul si et seulement si l divise h.

Dans les trois cas, les calculs sont effectu´es sur une extension alg´ebrique de k, du degr´e du polynˆome h. La dur´ee de ces calculs est ´evidemment (et exponentiellement !) affect´e par ce degr´e.

1.3.3 G´ en´ eralisation aux polynˆ omes r´ eductibles

Soit h homog`ene, sans carr´e et primitif en x0. Comme dans le cas irr´eductible, si (a<sub>1</sub>, . . . , a<sub>r</sub>) est une valeur non critique pour h en x<sub>0</sub>, pour chaque facteur absolument irr´eductible deh il existe une racineα deh(T, a<sub>1</sub>, . . . , a<sub>r</sub>) telle que ce facteur est `a coef- ficients dans k(α) (proposition 1.2.1).

On peut donc factoriser et choisir un facteur irr´eductible de h(T, a1, . . . , ar) sur k, noter α une racine de ce facteur. On peut construire des polynˆomes lin´eaires `a coefficients dans k(α) candidats `a ˆetre facteurs de h, par une m´ethode analogue au cas irr´eductible, et les valider par la proc´edure is-factor. Si aucun candidat n’est facteur de h, on r´eit`ere ce proc´ed´e en choisissant un autre facteur irr´eductible de h(T, a₁, . . . , a_r) sur k.

La seule difficult´e par rapport au cas irr´eductible est la suivante : il se peut qu’une valeur (⁽¹⁾0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,^(r)0 ) annule h, empˆechant l’application de la proposition 1.3.4. On peut alors utiliser la proposition 1.3.3 en choisissant r valeurs (b_i,1, . . . , b_i,r) , i de 1 `a r, n’annulant pas h et telles que det(bi,j) soit non nul. Si T −αi est un facteur lin´eaire de h(T, b<sub>i,1</sub>, . . . , b<sub>i,r</sub>) pour ide 1 `ar, la r´esolution du syst`eme `a coefficients dans k

























b_1,1c₁ + b_1,2c₂ + . . . + b_1,ic_i + . . . + b_1,rc_r = −α₁ b_2,1c₁ + b_2,2c₂ + . . . + b_2,ic_i + . . . + b_2,rc_r = −α₂

... ...

b_i,1c₁ + b_i,2c₂ + . . . + b_i,ic_i + . . . + b_i,rc_r = −α_i

... ...

b_r,1c₁ + b_r,2c₂ + . . . + b_r,ic_i + . . . + b_r,rc_r = −α_r donne un facteur lin´eaire potentiel de h.

Remarque: On a vu que la m´ethode n´ecessite de choisir de “bonnes” valeurs dansk^r. Tout d’abord une valeur non critique pour henx₀, puisr valeurs (b_i,1, . . . , b_i,r) n’annulant pas het telles quedet(b_i,j) soit non nul. Divers r´esultats connus sur les fonctions polynomiales permettent de dire que de telles valeurs existent si k est assez grand [Lan section V.4].

En pratique, un choix “al´eatoire” r´epondra `a nos besoins. Des exemples sont trait´es au chapitre 3.