2 et ∆ = 4m4n2+ 2 (n+m−1) (m+n−2). Majorons ∆ :
2 (n+m−1) (m+n−2) ≤2 (2n−1) (2n−2) <8n2 , ce qui conduit `a √
∆<
q
(4m4+ 8)n2 ≤2
q
(m2+ 1)2n2 et
b <(2m2+ 1)n . Or√
q >(2m2+ 1) (n+ 1) d’o`u le r´esultat. 2
4.5 Majorant de l’ensemble des mauvaises r´ eductions
A partir des r´esultats pr´ec´edents, on peut donner la preuve de la proposition 4.1.1 page 72 – et par voie de cons´equence de la proposition 4.1.2.
Preuve de la proposition 4.1.1. Sif est absolument irr´eductible, pourp assez grand, f modpest absolument irr´eductible (th´eor`eme 4.2.1 ou corollaire 4.2.1), etf modpadmet une solution IFp-rationnelle simple (corollaire 4.4.2). Inversement, si f modp est absolu-ment irr´eductible pour presque tout p, presque toutes ces bonnes r´eductions pr´es`ervent le degr´e de f et donc f est absolument irr´eductible (th´eor`eme 4.1.2). 2 Rappelons que la proposition 4.1.2 est une cons´equence directe de celle-ci et de l’applica-tion du th´eor`eme 4.1.1 sur IFp. Donnons maintenant un majorant de l’ensemble des mauvaises r´eductions pour un polynˆome en deux ind´etermin´ees absolument irr´eductible
de ZZ[x, y] . Consid´erons la borne de Kaltofen B(f) = (2d||f||)10d8. Pour p ≥ B(f) , la r´eduction de f modulop reste absolument irr´eductible (th´eor`eme 4.2.2). D’autre part les r´esultats donn´es dans la section pr´ec´edente prouvent aussi que f mod p a des solutions IFp-rationnelles simples (proposition 4.4.3).
Il est clair que cette borne ne permet pas une recherche pratique des conditions de la proposition 4.1.2. Si l’on s’en tient par exemple `a f de degr´e 10 et de norme 2 (!), il faudrait v´erifier l’irr´eductibilit´e de f modpet chercher une solution IFp-rationnelle simple pour p premier sup´erieur `a 40109 !
L’´etude de la section 4.2 sugg`ere n´eanmoins que l’ensemble des nombres premiersp pour lesquels l’irr´eductibilit´e absolue def n’est pas pr´eserv´ee modulopest petit, puisque ils sont caract´eris´es comme contenus dans l’ensemble des diviseurs d’un certain entier (major´e par la borne de Kaltofen par exemple pour deux variables). Pour les mˆemes raisons, il existe de petits nombres premiers tels que l’irr´eductibilit´e absolue de f est pr´eserv´ee modulo p.
On peut conjecturer aussi que f peut avoir des solutions IFp-rationnelles simples pour p plus petit que la borne. Ceci fait l’objet de la partie suivante, dans laquelle nous montrons que les conditions suffisantes d’irr´eductibilit´e absolue, irr´eductibilit´e modulopet existence d’une solution IFp-rationnelle simple, sont “tr`es probablement” r´ealis´ees pour un p petit.
Chapitre 5
Test probabiliste
Etant donn´e un polynˆome absolument irr´eductible de ZZ[X] nous ´etudions la probabilit´e que sa r´eduction modulo un nombre premier “al´eatoire” remplisse les conditions du crit`ere d’irr´eductibilit´e absolue vu au chapitre 4 et en d´eduisons un test. La section 5.1 est consacr´ee `a la mise en place de la probl´ematique, la description du test, la distinction des probabilit´es `a calculer et au choix d’un espace probabilis´e. Dans la section 5.2, nous faisons une ´etude pr´eliminaire des probabilit´es d´ebouchant sur la d´etermination des ensembles `a d´enombrer. Ces d´enombrements font l’objet des sections 5.3, 5.4 et 5.5. Les probabilit´es sont alors calcul´ees dans la section 5.6. La section 5.7 pr´esente une analyse des r´esultats pr´ec´edents et la section 5.8 quelques aspects et r´esultats pratiques.
5.1 Analyse du probl` eme – choix d’un espace proba-bilis´ e Ω
Rappelons que X d´esigne la multivariable x1, . . . , xr. Etant donn´e un anneau A, on notera A[X]d l’ensemble des polynˆomes de A[X] de degr´e au plusd.
Consid´erons un nombre premierp et un polynˆome f de ZZ[X] .
Notation : On dira que f v´erifie le crit`ere modulo psi f modp est irr´eductible et admet une solution simple dans IFpr, et si son degr´e est ´egal `a celui de f.
Nous avons vu que si f v´erifie le crit`ere modulo p, alors f est absolument irr´eductible (th´eor`emes 4.1.1 et 4.1.2). Nous avons vu aussi que pour f absolument irr´eductible, il existe une borne B(f) telle que pour tout p sup´erieur `a B(f), les conditions du crit`ere sont r´ealis´ees. On pourrait alors envisager le test suivant :
Entr´ee: un polynˆome f de ZZ[X];
Sortie : “f est absolument irr´eductible” ou “f est absolument r´eductible”.
Calculer B(f) (ou un majorant) et choisir p > B(f);
si f v´erifie le crit`ere modulo p
alors retourner “f est absolument irr´eductible”
sinon retourner “f est absolument r´eductible”.
Mais l’´etude faite prec´edemment montre que les valeurs connues ou estim´ees deB(f) sont trop ´elev´ees pour pouvoir r´ealiser ce test (voir section 4.5). En revanche, consid´erons le test suivant, o`u P repr´esente un ensemble fini de nombres premiers :
Entr´ee: un polynˆome f de ZZ[X];
Sortie : “f est absolument irr´eductible” ou “?”.
Pour p parcourant P faire
sif modp v´erifie le crit`ere modulo p
alors retourner “f est absolument irr´eductible” et FIN;
retourner “?” et FIN.
Deux questions se posent au sujet de ce test :
• Le test d´etecte-t-il une proportion satisfaisante de polynˆomes absolument irr´ educ-tibles ?
• Si les conditions du crit`ere ne sont v´erifi´ees pour aucun p, le polynˆome f a-t-il de fortes chances d’ˆetre (absolument) r´eductible ?
Pour r´epondre `a ces questions, nous devons probabiliser ZZ[X] , ou tout au moins une partie ad´equate de ZZ[X] .
Notons Ω une telle partie. Si E etF sont deux parties de Ω , on notera
• E le compl´ementaire deE dans Ω ,
• E\F la diff´erence ensembliste de E par F ,
• #E le cardinal de E.
Soit Ωpune partie de IFp[X] etEp un sous-ensemble de Ωp. On noteraEp∗ le sous-ensemble des polynˆomes de Ω dont la r´eduction modulo p appartient `a Ep :
Ep∗ ={f ∈Ω, f modp∈Ep}. Consid´erons alors les sous-ensembles de Ωp :
Ip : l’ensemble des polynˆomes irr´eductibles
Sp : l’ensemble des polynˆomes admettant une solution simple dans (IFp)r,
et les sous-ensembles de Ω suivants :
A : l’ensemble des polynˆomes absolument irr´eductibles
Ip∗ : l’ensemble des polynˆomes dont la r´eduction modulo p est irr´eductible Sp∗ : l’ensemble des polynˆomes dont la r´eduction modulo p admet une
solu-tion simple dans (IFp)r
D(p) : l’ensemble des polynˆomes dont le degr´e est pr´eserv´e par la r´eduction modulo p.
Notons Cp∗ = Ip∗∩Sp∗, C(p) = Cp∗ ∩D(p) , et C = [
p∈P
C(p) . Le fait que f v´erifie le crit`ere modulo p se traduit par f ∈ C(p) , et nous l’avons dit, f est alors absolument irr´eductible. On a donc C(p)⊂A (quel que soit p), et ainsi
C⊂A .
Notre test consiste donc `a observer l’appartenance ´eventuelle de f `a C. On dira que le polynˆome f r´esiste au test si f appartient `a C = \
p∈P
C(p) . Consid´erons enfin une probabilit´e Pr sur Ω . On note Pr (E|F) la probabilit´e conditionnelle de E sachant F. Nous cherchons `a v´erifier le r´esultat suivant (dans les expressions ci-dessous, l’´ev`enement
“f ∈E” est assimil´e `a l’ensembleE) :
Question 1La probabilit´e qu’un polynˆome absolument irr´eductible r´esiste au test d´ ecroit-elle rapidement vers 0 (ou une valeur proche de 0) quand le cardinal de P augmente ? La probabilit´e consid´er´ee est
PrC|A . (5.1)
PrC|A= PrC∩A
Pr (A) = Pr (A\C) Pr (A) . CommeC⊂A,
PrC|A = 1− Pr (C) Pr (A).
Il nous faut majorer PrC|A, ce qui conduit `a minorer Pr(C) et majorer Pr(A) . Comme nous l’avons dit, la r´eponse “?” de l’algorithme nous am`ene `a la question sui-vante :
Question 2 Un polynˆome qui r´esiste au test a-t-il une probabilit´e d’ˆetre absolument r´eductible suffisamment proche de 1 pour ˆetre d´eclar´e comme tel ?
La probabilit´e `a ´etudier ici est
PrA|C . (5.2)
Notons que
PrA|C= PrA∩C PrC . OrA ⊂C. La probabilit´e recherch´ee est donc
PrA|C= PrA PrC.
On souhaite minorer PrA |C, soit minorer PrA et majorer PrC, ce qui revient aux majoration et minoration pr´ec´edentes.
Pr´ecisons maintenant l’espace probabilis´e dans lequel nous allons travailler.
Soient b et d deux entiers strictement positifs. D´efinissons ||f|| comme ´etant ´egal `a max{|coef(f)|}. Soit alors
Ω ={f ∈ZZ[X], ||f|| ≤b et deg(f)≤d}.
L’application Pr qui `a toute partie de Ω associe le rapport de son cardinal `a celui de Ω est une probabilit´e sur Ω , appel´eeprobabilit´e uniforme.
Nous ne justifierons pas rigoureusement ici le choix de cet espace probabilis´e. Notons simplement que, d’une part la finitude de l’espace consid´er´e permet une construction probabiliste classique, d’autre part, les bornesbetd´etant correctement choisies, l’univers Ω peut repr´esenter l’ensemble des polynˆomes “traitables” en machine.