G´ en´ eralisation aux polynˆ omes r´ eductibles

equivalentes et ne sont pas v´eritablement satisfaisantes (relativement `a leur coˆut).

• Effectuer la division de h par l.

• Calculer la norme de l sur k et la comparer avec h.

• Calculer le r´esultant de h et l en l’une des variables : ce r´esultant est nul si et seulement si l divise h.

Dans les trois cas, les calculs sont effectu´es sur une extension alg´ebrique de k, du degr´e du polynˆome h. La dur´ee de ces calculs est ´evidemment (et exponentiellement !) affect´e par ce degr´e.

1.3.3 G´ en´ eralisation aux polynˆ omes r´ eductibles

Soit h homog`ene, sans carr´e et primitif en x0. Comme dans le cas irr´eductible, si (a<sub>1</sub>, . . . , a<sub>r</sub>) est une valeur non critique pour h en x<sub>0</sub>, pour chaque facteur absolument irr´eductible deh il existe une racineα deh(T, a<sub>1</sub>, . . . , a<sub>r</sub>) telle que ce facteur est `a coef-ficients dans k(α) (proposition 1.2.1).

On peut donc factoriser et choisir un facteur irr´eductible de h(T, a1, . . . , ar) sur k, noter α une racine de ce facteur. On peut construire des polynˆomes lin´eaires `a coefficients dans k(α) candidats `a ˆetre facteurs de h, par une m´ethode analogue au cas irr´eductible, et les valider par la proc´edure is-factor. Si aucun candidat n’est facteur de h, on r´eit`ere ce proc´ed´e en choisissant un autre facteur irr´eductible de h(T, a₁, . . . , a_r) sur k.

La seule difficult´e par rapport au cas irr´eductible est la suivante : il se peut qu’une valeur (⁽¹⁾0, . . . ,0,⁽ⁱ⁾1,0, . . . ,^(r)0 ) annule h, empˆechant l’application de la proposition 1.3.4. On peut alors utiliser la proposition 1.3.3 en choisissant r valeurs (b_i,1, . . . , b_i,r) , i de 1 `a r, n’annulant pas h et telles que det(bi,j) soit non nul. Si T −αi est un facteur lin´eaire de h(T, b<sub>i,1</sub>, . . . , b<sub>i,r</sub>) pour ide 1 `ar, la r´esolution du syst`eme `a coefficients dans k

























b_1,1c₁ + b_1,2c₂ + . . . + b_1,ic_i + . . . + b_1,rc_r = −α₁ b_2,1c₁ + b_2,2c₂ + . . . + b_2,ic_i + . . . + b_2,rc_r = −α₂

... ...

b_i,1c₁ + b_i,2c₂ + . . . + b_i,ic_i + . . . + b_i,rc_r = −α_i

... ...

b_r,1c₁ + b_r,2c₂ + . . . + b_r,ic_i + . . . + b_r,rc_r = −α_r donne un facteur lin´eaire potentiel de h.

Remarque: On a vu que la m´ethode n´ecessite de choisir de “bonnes” valeurs dansk^r. Tout d’abord une valeur non critique pour henx₀, puisr valeurs (b_i,1, . . . , b_i,r) n’annulant pas het telles quedet(b_i,j) soit non nul. Divers r´esultats connus sur les fonctions polynomiales permettent de dire que de telles valeurs existent si k est assez grand [Lan section V.4].

En pratique, un choix “al´eatoire” r´epondra `a nos besoins. Des exemples sont trait´es au chapitre 3.

Chapitre 2

Deuxi` eme m´ ethode (Duval)

2.1 Introduction

La m´ethode que nous allons ´etudier est tir´ee de celle expos´ee par Dominique Duval dans [Duv1] puis [Duv2]. Cette m´ethode s’applique aux polynˆomes sans carr´e `a coefficients dans un corps de caract´eristique nulle (ou suffisament grande). Nous nous restreignons ici aux polynˆomes irr´eductibles sur le corps de leur coefficients.

Etant donn´e F(X, Y) un polynˆome en deux ind´etermin´ees `a coefficients dans un corps k et irr´eductible sur ce corps, le quotient K = k(X)[Y]/(F(X, Y)) est un corps de fonc-tions alg´ebriques d’une variable sur k. Le polynˆome F est absolument irr´eductible si et seulement si k est alg´ebriquement clos dans K. Plus pr´ecis´ement, si k_c est la clˆoture alg´ebrique de k dans K, le polynˆome F a un facteur absolument irr´eductible dont les coefficients sont danskc. La factorisation absolue de F est alors le produit des conjugu´es sur k de ce facteur (section 2.3.1).

Les ´el´ements de k_c sont appel´es les constantes de K, ce sont les fonctions sans pˆole, donc sans z´ero. Le corps des constantes k_c est ainsi inclus dans l’anneau des entiers de K, l’ensemble des fonctions de K qui n’ont de pˆole (´eventuellement) qu’“au-dessus de”

l’infini. Si x est l’image de X dans K, cet anneau est la clˆoture int´egrale de k[x] dans K (les ´el´ements de k[x] n’ont clairement pas de pˆole ailleurs qu’`a l’infini). Appelons O l’anneau des entiers de K. Cet anneau est un module de type fini sur k[x] (section 2.2).

La m´ethode consiste `a calculer une base dek<sub>c</sub> sur k en la tirant d’une base particuli`ere de O sur k[x] dite normale `a l’infini (section 2.4.2), puis `a calculer un facteur absolument irr´eductible de F par un simple calcul de PGCD (sections 2.3.2 et 2.5).

Tirer une base de k_c d’une base de O n’est pas a priori une d´emarche satisfaisante et ce pour au moins deux raisons. D’une part, contrairement `a O, le corpsk_c est ind´ependant du polynˆome F choisi pour d´efinir K, et peut ˆetre caract´eris´e de plusieurs fa¸cons :

´

el´ements de K alg´ebriques sur k, fonctions sans pˆoles, fonctions nulles par d´erivation (voir [Ryb1] pp 113-117). D’autre part, le calcul d’une base de Oest un probl`eme difficile

et coˆuteux, pour lequel nous ne proposons pas de nouvelle m´ethode. Nous exposerons les deux m´ethodes de calcul d’une base deOayant abouti `a des implantations (sections 2.4.1.1 et 2.4.1.2), puis nous verrons qu’il suffirait de savoir calculer des familles g´en´eratrices de certains anneaux d’entiers locaux deK – i.e. n’ayant pas de pˆole “au-dessus” d’un point particulier de k – (section 2.4.1.3).

Nous nous int´eresserons ensuite `a toutes les autres ´etapes de la m´ethode. Nous verrons que si l’on sait calculer une base de O, on sait ensuite factoriser F tr`es rapidement, autrement dit que le calcul d’une base de O est le seul point couteux de la m´ethode.

Le proc´ed´e de normalisation `a l’infini que nous avons implant´e calcule une base de O `a partir des familles g´en´eratrices locales mentionn´ees ci-dessus, base normale `a l’infini dont on tire directement une base de kc sur k. Ce processus utilise uniquement de l’alg`ebre lin´eaire sur k, et est particuli`erement efficace (section 2.4.2.2). Nous verrons aussi que l’on obtient tr`es facilement la factorisation de F `a l’aide des constantes, en op´erant une bonne sp´ecialisation du r´esultant (section 2.5).

Nous avons implant´e en Maple un algorithme bas´e sur cette m´ethode et utilisant les proc´edures de calcul de O programm´ees sur le syst`eme. Les r´esultats des tests effectu´es sont tout `a fait satisfaisants par rapport `a ceux donn´es par la m´ethode de Trager et Traverso.