Nous donnons maintenant la proc´edure g´en´erale construite sur le sch´ema donn´e `a la section 2.3.3.
abs-factor(F, X, Y, method)
entr´ee : F(X, Y) : un polynˆome `a coefficients dans k, irr´eductible sur k. method: un proc´ed´e de calcul d’une base de O.
sortie : f : un facteur absolument irr´eductible de F . D´ebut
[G, ch]← preparation(F); y← rootof(G, Y);
B ← normal-basis(y, x, method); C ← constant-basis(y, x,B); g ← one-factor(G,C);
f ← inverse-preparation(g, ch); retourner f;
Fin.
preparation(F)
entr´ee : F(X, Y) : un polynˆome sans carr´e `a coefficients dans k.
sortie : G(X, Y) : un polynˆome tel que k(X)[Y]/(G(X, Y))est isomorphe
`
a k(X)[Y]/(F(X, Y)) et l’infini est non critique pour G, ch: le changement de variable effectu´e.
Le polynˆome G est le transform´e de F par le changement de variables explicit´e sec-tion 2.4.2.2 page 42.
inverse-preparation(g, ch)
entr´ee : g(X, Y) : un polynˆome `a coefficients dans k, ch: un changement de variables.
sortie : f(X, Y) : le polynˆome transform´e deg par le changement inverse de ch.
Chapitre 3
R´ esultats des implantations et conclusion
3.1 Exemples
Nous pr´esentons quelques exemples pour illustrer les diff´erents algorithmes expos´es. Les r´esultats doivent ˆetre pris pour ce qu’ils sont, c’est-`a-dire des ordres de grandeurs qui doivent permettre au lecteur de se faire une id´ee globale de ce que l’on peut faire au-jourd’hui dans le domaine de la factorisation absolue. En aucun cas, on ne peut tirer de conclusion d´efinitive de sup´eriorit´e d’une m´ethode par rapport `a l’autre, nos exemples n’ayant pas ´et´e choisis par une m´ethodologie pr´ecise.
L’algorithme utilis´e pour la m´ethode de Duval est l’implantation de l’algorithme de Dedekind-Weber effectu´ee par van Hoeij. Cet algorithme donne des r´esultats tr`es satis-faisants pour des corps de fonctions alg´ebriques de degr´e inf´erieur `a 20, et tels que le degr´e du discriminant de{1, y, . . . , yn−1}surk[x] soit lui aussi de cet ordre-l`a (ceci est une borne tr`es approximative – et compl`etement heuristique – dans la mesure o`u en particulier, les variables x ety ont des rˆoles tr`es diff´erents). Il est en g´en´eral beaucoup plus performant que celui de Trager.
Les tests ont ´et´e effectu´es sur jules.polytechnique.fr(PC biPentium Pro 200 Mhz -256 Ko de cache L2 - 512 Mo de memoire RAM - 2 Go de disque FastWide SCSI).
Nous avons relanc´e plusieurs fois chaque exemple (un polynˆome et une m´ethode donn´es) : nous avons constat´e des fluctuations, parfois importantes, des temps de calculs (une raison peut ˆetre la diff´erence d’occupation m´emoire du syst`eme). C’est pourquoi nous donnons en g´en´eral des temps “moyens”, et n’affichons les diff´erences entre les deux m´ethodes que si elles sont significatives.
Factorisation absolue de polynˆomes en 2 ind´etermin´ees
Dans la suite la m´ethode de Trager et Traverso sera abr´eg´ee par TT, et celle de Duval,van
Hoeij et Ragot par DHR.
• Exemple F1
y9+ 3x5y6+ 5y5x4+ 3x10y3−3y3x6+ 5y2x9+x15 M´ethode TT
y3+x2α y 16 +x5
α=RootOf( Z3+ 1280 Z + 12288) temps :≈5mn30s
M´ethode DHR
5yx2β
3 − yx2β2
3 +x5+y3 β =RootOf( Z3 −10 Z2+ 25 Z + 9)
temps :≈5s
• Exemple F2
y12−12x2y9+ 21y8+ 6y8x5+ 9x4y6−48y5x7−168y5x2+ 147y4+ 12y4x10+ 84y4x5− 27y3x6+ 63y2x4 + 18y2x9−588yx2 −336yx7−48yx12+ 8x15+ 84x10+ 343 + 294x5 M´ethode TT
x5+ yx2α 32 + y4
2 + 7/2
α=RootOf( Z3+ 192 Z2+ 2304 Z + 110592) temps :≈40s
M´ethode DHR
x5+y4
2 + 7/2−6yx2+ yx2β
6 − yx2β2 54 β =RootOf( Z3−18 Z2+ 405 Z −2187)
temps :≈4mn
Cet exemple est caract´eristique de ce que nous signalions ci-dessus: le r´esultat de la m´ethode de TT est le meilleur que nous ayons obtenu sur 3 essais; le temps de calcul de l’un de ces essais a ´et´e de 3 minutes environ.
Pour la m´ethode DHR, le polynˆome a ´et´e factoris´e comme polynˆome en y (surk(x)). Si l’on ´echange les variables, la r´eponse est obtenue en 3 heures.
• Exemple F3
y5x5+ 9x8y4−6x14y2−18x10y6−18x6y10+x20+ 5x16y4+ 10x12y8+ 10x8y12+ 5y16x4+ 9y8x4−6y14x2+y20
Methode TT
pas de r´eponse apr`es ≈1h30mn Methode DHR
y4+ 2163993450006524989164786yx +x4+ 8826310905543xyβ2 +7136774058799385049xyβ + 4851477xyβ3+xyβ4
β =RootOf( Z5+ 6064344 Z4+ 14710507260102 Z3+ 17841915287872606830 Z2 +10819951192380358735390269 Z + 2624636243729063944033326501463)
temps :≈50s
base int´egrale : 25s ,normalisation : 20s ,calcul du facteur : 5s .
• Exemple F4
7744756x5y6+306683x3y6+413268x4y6+9081976x6y6+1317780x6y5+76745x4y5−15797040x7y5+8717398x5y5 +99348x3y5+4106178x6y4+2010995x4y4−11264228x7y4−12465712x5y4+40908x2y4+404227x3y4+5108544x8y4
−9204694x7y3−49266x2y3−3500343x4y3+1512264x3y3+6405504x8y3+9879662x6y3−3821606x5y3−592704x9y3
−8503779x5y2−783216x9y2+10608275x6y2+574917x2y2−10143xy2+5943180x4y2−3295022x3y2+3452692x8y2
−6432756x7y2−344988x9y+67473xy+2548458x4y−2646351x7y+1059606x8y−3698541x5y−491400x2y+430155x3y +4011984x6y+917230x6−1349216x3+617526x2+1530912x4−125685x−50653x9+9261+151959x8−542124x7
−1564434x5
Methode TT
temps :≈30s Methode DHR
r´eponse apr`es ≈1h :object too large Facteurs lin´eaires
La m´ethode que nous avons d´ecrite `a la section 1.3.2 sera abr´eg´ee par TTR pour Trager, Traverso et Ragot. Aucun des exemples suivants n’a pu ˆetre factoris´e par une m´ethode de factorisation “classique” (evala(F actor(h, α)), pourα“bien choisi” apr`es plusieurs heures de calcul (la proc´edure F actorest une implantation de l’algorithme de Trager [Tra1]).
• Exemple L1(propos´e par Felix Ulmer)
−7534592412120900000z4x4+265709707921324800z2x6+1646333132451840000000y2z5x
−436888921964544000000y4z2x2+6419592322744320000y4x4−2477726525030400000000y4z4
−102554174498312250000z6x2−290807555001001171875z8−1952152956156672x8 +1759218604441600000000y8+4265518180073472000y2zx5
M´ethode TTR
α=RootOf(−25076532510720000 Z4+ 7625597484987 Z8−6871947673600000000) temps :≈10s
• Exemple L2
Le polynˆome qui suit est un invariant du groupe GSL1683 – c’est-`a-dire une repr´esentation du groupe simple a 168 ´el´ements agissant sur un lC-espace vectoriel de dimension 3 (voir [SUl1] et [SUl2 ] pour la d´efinition de ce groupe) –. Ce groupe (cette repr´esentation) a une alg`ebre d’invariants engendr´ee par des invariants de degr´es respectifs 4,6,14 et 21.
L’invariant de degr´e 21 suivant se factorise en facteurs lin´eaires. On montre de cette mani`ere que toute ´equation diff´erentielle lin´eaire qui admet ce groupe comme groupe de Galois diff´erentiel admet une solution liouvillienne de degr´e 21 ([HRUW]).
Par exemple, pour l’´equation on obtient l’invariant h suivant qui se d´ecompose en facteurs lin´eaires. On est alors en mesure de calculer la solution liouvillienne (voir [HRUW]).
1214950653504x18z3+42320471871077757859577963807708108929208086953984z15x6−23893916886123269797453824000z12x9
−3081102167801540736z6x15+490079005198563057294306004187480064z18x3 +458562993219284293057536z9x12 +7612736581963422y9x12−39680542311301051776y15x6 +20050904361474y6x15−135067137465084281856y18x3 +505956389672097000y12x9+3099363912x18y3−95509224117180278361588736265814016y9z12
+56413538820634591928544557815358816256z15y6+936537437709219265445848154112z6y15
−243645979890766016228542694555648z9y12−810724478007153405921591296z3y18
−7504186533329819471672101300267670044672z18y3+26032222310312294096420032829247138562048z21 +18302430874281050341376y21+1477023204152284992x14y2z5 +6735656892975570y7zx13
+2487645929136812686703188015841280y8z11x2 +150821754285118755589632y14z2x5 +3494456980496660540178432y17z2x2
−130139057262241057279971807461376y7z10x4 +461357501514170123520y13zx7+741248450408382538825728y19zx +515208163654672488y10zx10−10893861626209851155407747153920z13yx7−20578443158073198085632y16zx4 +1820885786976126643508736y4z7x10−2270537989594737250752y11z2x8+4777384790252417616y8z2x11
−2968941080840031186975461376y5z8x8−2662221092921053110720y3z6x12 +43945443845639821944668160z3x3y15
−528266869931296781236224z3x6y12 +349159152577265327853548568576y6z9x6 +32345214343105161781424196276373684224z17y2x2
−2689553580529714058431151350980890591232z19xy+1745347161812865811200z3x9y9−6791380339084319160z3x12y6
−268197026272812212012236800z9y3x9−190477135220214103718796411612954624z16yx4+6346035533512277261997928611840z8y11x2
−1057670506117307006303527753935224832z14y5x2+278762363671438147636961280z5y11x5−397403625650002223271252000768z10y4x7
−12270791938915239502680148578140160z13y4x4−42835739851207871518486018129920z11y5x5
−331987390975104737959111753728z7y10x4−17558693293273765579703844864z5y14x2−3561297510091189810552283722678272z14y2x5
−734112056409347500545024z8y2x11 +109777697164478124833924544937995534336z16y4x+2586185610487832044403712z4y10x7 +4645116803510527151808z4y7x10−1035027980802197988480z7yx13−7110521280782722929493279078612992z12y6x3
−507581826812797452197674075765604352z13y7x−136768780256169596320625688576z11y2x8 +46273175765193688368734896128z6y12x3
−1037667281415324840699678529274511360z15y3x3−203710958067589415580856320z4y13x4−4649110280961375283514966016z4y16x +3303192854623057138937383354368z7y13x+890712123921595224116195328z6y9x6−31820835318040133128018184896512z12y3x6 +31034227325853984532844544z10yx10−7573829287857222415753728z5y8x8 +4783868198172x16y4z+3767916337123176x14y5z2 +1875276333683424x16yz4
Ce polynˆome est en fait r´eductible sur lQ en produit de 3 facteurs de degr´e 6, et 1 facteur de degr´e 3 dans lequel la variablex n’apparait pas. Ce dernier facteur est d’abord calcul´e (comme contenu de h en x). Il reste alors, apr`es division par ce facteur, un polynˆome homog`ene de degr´e 18. La valeur (1,0) est non critique pour h en x, autrement dit le polynˆome p(T) = h(T,1,0) est sans carr´e de degr´e 18 . Il se d´ecompose sur lQ en trois facteurs irr´eductibles de degr´e 6 . Pour α, β, γ une racine de chacun de ces facteurs, on construit un facteur lin´eaire de h dans l’extension de lQ correspondante (que l’on valide par division). On obtient les 4 facteurs ci-dessous dont l’un est un facteur lin´eaire du contenu deh enx; autrement dit le polynˆome hest le produit de ces facteurs et de leurs conjugu´es sur lQ .
x−γ y− 12γ2 + 81γ5 19208
!
z
!
x−β y− −β2+216β5 2401
!
z
!
x−α y− α2
2 + 27α5 4802
!
z! y−RootOf( Z3+ 392)z α=RootOf(729 Z6+ 324135 Z3+ 52706752) β =RootOf(5832 Z6−324135 Z3+ 6588344) γ =RootOf(729 Z6+ 2074464 Z3+ 52706752)
Cette d´ecomposition a ´et´e effectu´ee en ≈ 30 secondes par TTR. (Une m´ethode classique a calcul´e un des facteur de degr´e 6 en 16 heures environ).
• Exemple L3
Nous avons trait´e un exemple en 6 variables, de degr´e 6, avec des coefficients de 20 chiffres.
Cet exemple a ´et´e construit al´eatoirement :
1) choix d’un ´el´ement alg´ebrique α de degr´e 6 “au hasard” (randpoly + RootOf) 2) choix des coefficients de x, y, z, t, uetv “au hasard” (randpoly([alpha]))
3) Le polynˆome h est ´egal `a la norme sur lQ du polynˆome lin´eaire construit `a partir des variables et des coefficients ci-dessus.
Le lecteur comprendra sans peine pourquoi nous nous sommes abstenus de l’afficher, ainsi que le facteur lin´eaire trouv´e dont la forme n’etait pas ... pr´esentable.
Le facteur a ´et´e trouv´e en 2 minutes 30 secondes environ par TTR, dont 25 secondes pour construire le (seul) candidat; le reste, soit plus de 2 minutes, pour le valider par division.