Normalisation ` a l’infini d’une base de l’anneau des entiers 41

⇒a_i∈k pour tout i . (2.4) Si de plus f_i a un pˆole en P∞, val_P∞(f_i)<0, et r_if_i ´etant enti`ere `a l’infini, deg(r_i)<0 (voir calcul pr´ec´edent). Dans ce cas

(2.3) et (2.4)⇒a_i =c_i = 0.

On voit donc que toute constante est combinaisonk-lin´eaire desf_i qui n’ont pas de pˆole `a l’infini, c’est `a dire qui sont eux-mˆemes des constantes. Cette famille est g´en´eratrice par construction, elle est aussi libre sur k puisque sous-famille d’une famille libre surk[x] . 2

2.4.2.2 Normalisation `a l’infini d’une base de l’anneau des entiers

Dans la section pr´ec´edente, nous avons montr´e qu’une base dek_c ´etait contenue dans une base de O normale `a l’infini. D’autre part, comme il est sugg´er´e dans la preuve de la proposition 2.4.1, on peut calculer une base de O `a partir d’une famille g´en´eratrice. (Le processus permettant de calculer la matriceT est la r´eduction de Hermite).

Nous allons maintenant, dans le cas o`u Rest une extension simple de k(x) , nous attacher

`

a expliciter le proc´ed´e permettant de passer d’une base quelconque de O `a une base normale `a l’infini, prouvant ainsi que

1) Il existe une base de O normale `a l’infini et l’on sait la calculer `a partir d’une base quelconque de O(proposition 2.4.2).

Mais il apparaˆıtra au cours de cette description que ce proc´ed´e peut s’appliquer plus g´en´eralement `a une famille g´en´eratrice de O, prouvant de plus que

2) On sait calculer une base de O normale `a l’infini `a partir d’une famille g´en´eratrice quelconque de O(proposition 2.4.5).

Le proc´ed´e de normalisation `a l’infini que nous allons d´ecrire est d´eduit de celui expos´e dans [Duv2]. L’auteur se place dans un cadre plus large, en calculant une base de l’espace vectoriel des fonctions constantes d’un produit de corps de fonctions alg´ebriques. Cet espace n’est alors pas un corps, mais c’est bien sur sa structure d’espace vectoriel que repose l’algorithme. D’autre part, Dominique Duval adopte un point de vue g´eom´etrique, exploitant les propri´et´es de la courbe alg´ebrique associ´ee au corpsk(x, y) . Elle introduit ainsi une autre d´efinition d’une base normale `a l’infini.

Nous allons d’abord introduire les notions n´ecessaires, donner cette autre d´efinition d’une base normale `a l’infini (donn´ee par la proposition 2.4.4), et montrer qu’elle est bien

´

equivalente `a la premi`ere (d´efinition 2.4.3). Nous donnerons ensuite la preuve de la proposition 2.4.2 ci-dessous, preuve constructive qui constitue en fait le processus de normalisation. Enfin, nous terminerons cette section en montrant que la normalisation s’op`ere aussi bien sur une famille g´en´eratrice.

Comme il est dit ci-dessus, le corps R est dor´enavant une extension simple de k(x) . Il existe un polynˆomeF(X , Y) `a coefficients dansket irr´eductible surk tel queR=k(x, y) o`u y est une racine de F(x , Y) dans une clˆoture alg´ebrique de k(x) . Soit C la courbe alg´ebrique associ´ee `a F , ensemble des points de k² solutions de F(X , Y) = 0 . On note k(C) =k(x, y) .

Proposition 2.4.2

1. Il existe une base de O normale `a l’infini.

2. On sait construire une base de O normale `a l’infini `a partir d’une base quelconque de O.

La preuve de cette proposition sera donn´ee page 47. Nous allons faire une hypoth`ese suppl´ementaire sur le polynˆomeF . Cette hypoth`ese, sous laquelle il est ais´e de se placer, va nous permettre de rendre notre proc´ed´e de normalisation plus performant. En outre, elle pr´esente l’avantage de simplifier consid´erablement la description.

Rappel : (d´efinition 1.2.3 page 18) Soit α un ´el´ement de k : on dit que α est une valeur non critique pour F(X , Y) si le polynˆome F(α, T) est sans carr´e de degr´en.

Ceci signifie que la courbe C n’a pas d’asymptote verticale en x = α, et que pour tout β ∈k tel que (α, β) soit un point de C, ce point est simple – i.e. les d´eriv´eesF_X⁰ (X, Y) et F_Y⁰(X, Y) ne sont pas toutes les deux nulles en (α, β) – et sans tangente verticale.

De mˆeme, l’infini est une valeur non critique pour F si et seulement si 0 est une valeur non critique pour le polynˆomeX^dF(1/X, Y /X) , o`udest le degr´e total deF(X , Y) . Soit c_i,j le coefficient de X^jYⁱ dans F . Consid´erons le polynˆome suivant;

ξ(Z) =

Xd i=0

c_i,d−iZⁱ :

l’infini est non critique pour F si et seulement si ξ(Z) est sans carr´e de degr´e n.

On supposera dans la suite que l’infini est une valeur non critique pour F . Si cela n’est pas le cas, il suffit pour s’y ramener de trouver une valeurαnon critique pourF(X , Y) , de remplacerF(X , Y) par F(X+α , Y) , puis de remplacerF(X , Y) parX^dF(1/X, Y /X) (ce qui est toujours possible si k est assez grand).

Dans ce cas la courbe C admet exactement n param´etrisationsdistinctes `a l’infini de la

forme : _









ϕ_β = 1 t ψβ = β

t +^X

k≥0

yβ,kt^k o`u t= 1 x

o`u β parcourt les racines de ξ(Z) dans k ety<sub>β,k</sub> appartient `a k(β) . conjugaison de ces param´etrisations correspond `a une place P de k(x, y) , et val<sub>P</sub>(f) = ord<sub>t</sub>(f(ϕ<sub>β</sub>, ψ<sub>β</sub>)) . Dans la suite, on notera Pβ la place associ´ee `a la classe de conjugaison sur k de (ϕβ, ψβ) .

Proposition 2.4.3 Soit f ∈ k(x, y), f 6= 0. Soit fˆle repr´esentant de f dans k(X)[Y] de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1 en Y . Soit T^νu(Z) le terme de plus bas degr´e enT du d´eveloppement de Laurent de fˆ

1

Le point 2 de la proposition constitue une am´elioration par rapport au travail de Duval.

Nous y reviendrons apr`es avoir expos´e le proc´ed´e de normalisation.

Preuve

Ce qui n’est possible que si u(Z) est le polynˆome nul, car β parcourt les racines d’un polynˆome de degr´e n alors queu(Z) est de degr´e au plus n−1 . Mais ceci est contraire `a la d´efinition de u(Z) . Donc

ν= min

Pβ

(val_Pβ(f)), Pβ parcourant les places `a l’infini dek(x, y).

2 La proposition suivante fait le lien entre la d´efinition “classique” d’une base normale `a l’infini (d´efinition 2.4.3), et celle de [Duv2] (pg 18). La preuve n’est pas donn´ee ailleurs `a notre connaissance. lin´eairement ind´ependants sur k.

Preuve (Duval/Ragot)

et

P_n

i=1λit^ν−νifi

t^ν+1 est entier sur o_∞ (prop 2.2.2).

(r1f1, r2f2, . . . , rnfn) ´etant une base enti`ere `a l’infini, il existe des µi, i de 1 `a n, appartenant `a O∞ tels que

P_n

i=1λ_it^ν−νif_i

t^ν+1 =

Xn i=1

µ_ir_if_i. (f₁, f₂, . . . , f_n) ´etant une base de k(x, y) sur k(x) ,

λ_it^ν−νi =µ_ir_it^ν+1 ∀i . Notons v_∞ la valuation `a l’infini dek(x) : alors

v_∞(λ_it^ν−νi) =v_∞(µ_ir_it^ν+1). S’il existeλi 6= 0 ,

ν−ν_i =v_∞(µ_i) +v_∞(r_i) +ν+ 1. D’o`u

v_∞(ri) =−νi−1−v_∞(µi), etµ_i appartenant `ao<sub>∞</sub>, il vient v<sub>∞</sub>(µ<sub>i</sub>)≥0 . D’o`u

v_∞(ri)≤ −νi−1<−νi.

Or rifi est enti`ere `a l’infini, ce qui signifie qu’en toute place Pβ, la valuation val_Pβ(r_if_i)≥0 , et

val_Pβ(r_if_i) =val_Pβ(r_i) +val_Pβ(f_i). Ce qui entraˆıne que

val_Pβ(r_i)≥ −val_Pβ(f_i). En particulier, pour Pβ0 telle que

val_Pβ

0(f_i) = min

Pβ

(val_Pβ(f_i)) =ν_i, on obtient

val_Pβ

0(ri)≥ −νi. La placePβ0 ´etant non ramifi´ee,val_Pβ

0(r_i) =v_∞(r_i) et donc v_∞(ri)≥ −νi,

ce qui contredit le r´esultat pr´ec´edent. Donc pour tout i, λ_i = 0 , et les polynˆomes ui(Z) sont ind´ependants sur k.

• R´eciproquement, supposons que (f₁, f₂, . . . , f_n) soit une base de Osur k[x] telle que

Xn i=1

λ_iu_i(Z) = 0 avec les λ_i dans k ⇒ λ_i = 0 pour tout i , (2.6) et montrons qu’il existe une famille (r₁, r₂, . . . , r_n) d’´el´ements de k(x) telle que (r1f1, r2f2, . . . , rnfn) soit une base enti`ere `a l’infini.

Si une telle famille existe, alors

1. r_i 6= 0 pour tout i de 1 `a n, et (r₁f₁, . . . , r_nf_n) est une base de k(x, y) sur k(x) .

– L’anneau O_∞ ´etant un module libre de rang n sur o_∞ (section 2.2), la famille (r1f1, r2f2, . . . , rnfn) ne peut engendrer O∞ que si ri 6= 0 pour tout i.

– Soit µ₁, . . . , µ_n des ´el´ements dek(x) tels que

Xn i=1

µ_ir_if_i = 0 . Pour tout i, µiri appartient `ak(x) . Or (f1, f2, . . . , fn) est une base dek(x, y) surk(x) . Doncµ_ir_i = 0 pour touti. La fractionr_i ´etant diff´erente de 0 pour touti, lesµ_i sont tous nuls, et la famille (r₁f₁, r₂f₂, . . . , r_nf_n) est libre sur k(x) . C’est donc une base de k(x, y) sur k(x) .

2. v_∞(r_i) =−ν_i pour tout i de 1 `an.

Soit (r₁, r₂, . . . , r_n) une famille de k(x) v´erifiant le point (1).

– r_if_i ∈ O_∞ ⇔ pour toute place `a l’infini Pβ de k(x, y), val_Pβ(r_if_i) ≥ 0 . Or

val_Pβ(r_if_i) =val_Pβ(r_i) +val_Pβ(f_i) =v_∞(r_i) +val_Pβ(f_i). Ainsi,

∀β , v_∞(ri)≥ −val_Pβ(fi). Donc

v_∞(r_i)≥ −min

Pβ

val_Pβ(f_i) , c’est-`a-dire

v_∞(r_i)≥ −ν_i.

– Supposons qu’il existe itel quev_∞(r_i)>−ν_i, et soit g =x r_if_i. Quel que soit β,

val_Pβ(g) =v_∞(x) +v_∞(r_i) +val_Pβ(f_i)>−1−ν_i+ν_i ≥0,

ce qui signifie que g appartient `a O∞. La famille (r1f1, r2f2, . . . , rnfn)

´

etant une base de k(x, y) sur k(x) , l’unique ´ecriture de g dans cette base est celle donn´ee par sa d´efinition, soit x r_if_i. Orxn’appartient pas `a o_∞. Donc (r₁f₁, r₂f₂, . . . , r_nf_n) n’est pas une base de O_∞ sur o_∞.

On a donc v_∞(r_i) =−ν_i pour tout i.

Toute famille (r₁, r₂, . . . , r_n) v´erifiant les deux points pr´ec´edents convient. racines d’un polynome de degr´e ´egal `a n (voir la propositon 2.4.3 et sa preuve).

Donc ^Pn_i=1γiµiµi(T) ne s’annule pas pour tout beta.

Lesf_i appartenant `ak(x, y) , lesu<sub>i</sub> sont des polynˆomes `a coefficients dansk. On a vu de plus qu’ils sont de degr´e strictement inf´erieur `an (prop 2.4.3). Ils sont ind´ependants sur k si et seulement si la matrice U_j,i form´ee de leurs coefficients a un d´eterminant non nul.

Le processus de normalisation de (f₁, f₂, . . . , f_n) est le suivant : on obtient une k-combinaison lin´eaire non trivialement nulle

Xn

Mais comme 0 ≥ ν > ν_I, celui-ci se termine. On trouve alors une base de l’anneau des

entiers de k(x, y) , normale `a l’infini. 2

Nous montrons maintenant que l’on peut g´en´eraliser la normalisation `a unefamille g´en´ e-ratricedeO en prouvant la proposition suivante :

Proposition 2.4.5 On sait construire une base de O normale `a l’infini `a partir d’une famille g´en´eratrice quelconque de O.

Preuve Soit l ≥ n et soit F = (f₁, f₂, . . . , f_l) une famille g´en´eratrice de O. On peut d´efinir les polynˆomes u_i, les valuations minimalesν_i, ide 1 `al, et la matriceU<sub>j,i</sub> comme dans la situation pr´ec´edente. La matriceU<sub>j,i</sub> est une matrice rectangulaire `a n lignes et l colonnes.

Nous avons prouv´e que si l’on peut trouver une combinaison lin´eaire nulle non triviale entre les colonnes de la matrice Uj,i, c’est-`a-dire entre les ui, on sait construire une fonction g telle que :

• g est une k[x]-combinaison lin´eaire non triviale de certains ´el´ements deF.

• Il existe un ´el´ementf_I de cette combinaison qui apparait avec un coefficient unitaire (un ´el´ement de k). Soit νI la valuation minimale defI.

• Soit ν la valuation minimale deg en les places `a l’infini; alors ν > ν_I.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, g appartient `a O et on peut remplacer fI par g dans F, ou supprimer f_I dans F si g est nulle, sans changer sa qualit´e de famille g´en´eratrice de O. On peut donc op´erer cette substitution et chercher une combinaison lin´eaire nulle non triviale entre les colonnes de la nouvelle matrice U_j,i.

D’autre part, le processus se termine pour les mˆemes raisons que dans le cas pr´ec´edent, `a savoir l’accroissement strict des valuations major´ees par 0 . Or tant que l est strictement sup´erieur `a n, il existe une combinaison lin´eaire nulle non triviale entre les colonnes de la matriceUj,i. Ce qui signifie que quand le processus est termin´e,l est ´egal `an et F est

une base de O, normale `a l’infini. 2

Barry Trager propose un autre proc´ed´e de normalisation `a l’infini dans [Tra2]. Bien que la pr´esentation en soit diff´erente, le principe algorithmique est similaire, et l’on constate avec les mˆemes arguments qu’il peut ˆetre aussi bien appliqu´e `a une famille g´en´eratrice.

2.4.3 Algorithmes

Nous allons maintenant synth´etiser ce qui pr´ec`ede pour proposer un sch´ema d’algorithme de calcul d’une base de l’anneau des entiers d’un corps de fonctions alg´ebriques, nor-male `a l’infini, puis la proc´edure qui permet d’en tirer une base du corps des constantes.

Les notations utilis´ees sont celles des sections pr´ec´edentes. On note O l’anneau des entiers de k(x, y) sur k[x] , et kc son corps des constantes, o`u k(x, y) est isomorphe `a k(X)[Y]/(F(X, Y)) . Enfin, l’infini est suppos´e non critique pour F (voir page 42), hy-poth`ese indispensable `a la validit´e de notre proc´edure de normalisation `a l’infini.

Calcul d’une base de O sur k[x]

normal-basis(y , x , method)

entr´ee : y : une fonction alg´ebrique de la variable x. method: un proc´ed´e de calcul d’une base de O. sortie : B : une base de O normale `a l’infini.

D´ebut

si method=globalfaire F ← global-basis(y, x); si method=localfaire

F ← gen-family(y, x); B ← normalize(F, y, x); retourner B;

Fin.

gen-family(y, x)

entr´ee : y : une fonction alg´ebrique de la variable x. sortie : F : une famille g´en´eratrice de O.

D´ebut

F ← module-basis(y, x);

∆← la partie “avec carr´e” du discriminant de F sur k[x]; pour chaque facteur irr´eductibleP de ∆faire

BP ← local-basis(y, x, P); F ← F ∪ BP;

retourner F; Fin.

f_i d´enote la fonction alg´ebrique f_i(x, y) ou son repr´esentant dans k(X)[Y] de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1 .

normalize(F, y, x)

entr´ee : y : une fonction alg´ebrique de la variable x. F = (f₁, . . . , f_l) : une famille g´en´eratrice de O. sortie : B une base de O normale `a l’infini.

D´ebut

(E1) pour i de 1`a l faire

u_i(Z)←le coefficient du terme de plus bas degr´e en T du d´eveloppement de Laurent de f_i

1 T,Z

T

; tant que les u_i sont li´es surk faire

F ← reduction(F); retourner en (E1) ; B ← F et retournerB; Fin.

Remarque: Les polynˆomes u_i, qui sont tels quet^νiu_i(β) est le premier terme du d´ evelop-pement de Puiseux de f_i `a la place Pβ, sont calcul´es tr`es simplement `a partir du terme de plus bas degr´e en T du d´eveloppement de Laurent de f_i

1 T,Z

T

; il n’est ainsi pas n´ecessaire de calculer les param´etrisations de la courbe aux places `a l’infini, m´ethode pr´econis´ee dans [Duv2]. Ceci fait l’objet de la proposition 2.4.3 et a pour cons´equences que cette m´ethode de normalisation est efficace, et valide en toute caract´eristique.

On note νi = min

Comme nous l’avons d´ej`a dit, nous ne proposons pas de nouvelle m´ethode pour calculer une famille g´en´eratrice globale ou locale. Nous avons d´ecrit ci-dessus les en-tˆetes des proc´edures local-basis et global-basisutilis´ees pour cela. En pratique, le corps de chacune de ces proc´edures utilisera au choix l’algorithme de Trager ou celui de van Hoeij, algorithmes qui comme nous l’avons vu `a la section 2.4.1, s’adaptent tous les deux aux modes local et global.

Remarque : Obtenir une famille g´en´eratrice locale incluse dans O ne pose pas de diffi-cult´es. On peut ais´ement se ramener `a cette situation `a partir de n’importe quelle famille g´en´eratrice locale, ou bien mˆeme veiller `a rester dans cette configuration tout au long du calcul.

La m´ethode “locale” semble `a cr´editer de plusieurs avantages. Les calculs des familles locales sont totalement ind´ependants. En particulier, les dimensions de ces familles sont indiff´erentes (quoique l’on ait int´erˆet `a ce qu’elles soient les plus petites possibles). Le mode de calcul de chaque famille peut ˆetre diff´erent : suivant la forme et la puissance du facteur P consid´er´e, on pourra utiliser une m´ethode de calcul sp´ecifique. Enfin, une cons´equence de ceci est que l’on peut calculer ces familles en parall`ele (voir tests pratiques et analyse au chapitre 3).

Calcul d’une base de kc sur k

On obtient directement une base de k_c sur k en extrayant la sous-famille des fonctions constantes d’une base de O normale `a l’infini (th´eor`eme 2.4.2).

constant-basis(y, x,B)

entr´ee : y : une fonction alg´ebrique de la variable x,

B : une base de O, l’anneau des entiers de k(x, y) surk[x]. sortie : C : une base de k_c surk.

D´ebut

n←dim(O); C ← {};

pour i de 1`a n faire

bi(x, y)← le i-`eme ´el´ement deB;

ν_i ←le degr´e du terme de plus bas degr´e enT du d´eveloppement de Laurent deb_i

1 T,Z

T

;

siνi = 0 faireC ← C ∪ {bi}; retourner C;

Fin.

Dans le document Doctorat de l’Universit´e de Limoges en Math´ematiques Sp´ecialit´e : Calcul formel (Page 45-57)