Nous exposons dans cette section les concepts fondamentaux des corps de fonctions alg´ebriques, en particulier nous mettons l’accent sur les notions d’entier local, global et de constante. Pour un d´eveloppement plus pr´ecis des id´ees expos´ees, le lecteur pourra se r´ef´erer `a [Che] ou [Sti].
2.2.1 Anneaux de valuation – Places
Soit k un corps, k une clˆoture alg´ebrique de k, etx un ´el´ement transcendant sur k. D´efinition 2.2.1 Une extension alg´ebrique de degr´e fini R dek(x) est appel´ee corps de fonctions alg´ebriques d’une variable sur k.
Notons n le degr´e de R sur k(x) .
D´efinition 2.2.2 Les ´el´ements deR alg´ebriques surk sont appel´es les constantes.
L’ensemble de ces constantes forme un sous-corps de R. C’est la clˆoture alg´ebrique de k dans R. Soit kc ce corps des constantes. R est aussi un corps de fonctions alg´ebriques d’une variable sur kc.
Remarque: Si R est une extension simple dek(x) , ce qui est vrai quandk est parfait par exemple, il existe y alg´ebrique sur k(x) tel que R = k(x, y) . Soit F(x, Y) le polynˆome minimal de y sur k(x) . Le polynˆome F est de degr´e n.
Soit C la courbe alg´ebrique d´efinie comme ´etant l’ensemble des couples (a, b) dek2 solu-tions de F(X, Y) = 0 . Notons k(C) le quotient k(X)[Y]/(F(X, Y)) . Si x et y sont les images de X etY dans k(C) , alors k(C) =k(x, y) .
Il est clair que si R=k(x, y) , alors R est aussi ´egal `a kc(x, y).
D´efinition 2.2.3 Un anneau de valuation deR est un sous-anneau V de R tel que : 1. V contient k;
2. V est diff´erent de R;
3. si f n’appartient pas `a V, alors f−1 appartient `a V. Les ´el´ements non inversibles dans V forment un id´eal P deV.
D´efinition 2.2.4 Une place de R est l’id´eal P des ´el´ements non unitaires d’un anneau de valuation V de R.
Une place donn´ee P constitue le seul id´eal maximal d’un anneau de valuation V, et d´etermine cet anneau de fa¸con unique. V est l’anneau de place P, et ses ´el´ements sont ditsentiers `a la place P, ou encore n’ayant pas de pˆole en P.
En particulier, les places℘ dek(x) sont caract´eris´ees de la fa¸con suivante :
• Les places dites “finies”, pour lesquelles il existe un polynˆome irr´eductibleP dek[x]
tel que
℘=
Pa
b ∈k(x)|gcd(a, b) = 1, gcd(b, P) = 1
; L’anneau de valuation de k(x) correspondant est alors
o℘ =
a
b ∈k(x)|gcd(a, b) = 1, gcd(b, P) = 1
.
Inversement, tout polynˆome irr´eductible de k[x] caract´erise une place unique de k(x) .
• La place “`a l’infini”∞qui est l’ensemble des fractions rationnelles de degr´e stricte-ment n´egatif (i.e. les fractions dont le degr´e du num´erateur est strictement inf´erieur
`
a celui du d´enominateur) et son anneau de valuation o∞ qui est l’ensemble des fractions rationnelles de degr´e n´egatif ou nul (voir [Sti] section I.2).
Avec cette caract´erisation des places de k(x) , il est clair que
Proposition 2.2.1 \
℘6=∞
o℘=k[x].
Pour tout anneau de valuation o℘ de place℘ dek(x) , il existe un nombre fini d’ anneaux de valuationV1, . . . ,Vr de placesP1, . . . ,Pr deR tels queo℘ =Vi∩k(x) et℘=Pi∩k(x) , pour touti de 1 `ar. Ces anneaux sont dits au-dessus deo℘ et ces places au-dessus de℘. Inversement, pour tout anneau de valuation V de place P de R, l’intersectionV ∩k(x) est un anneau de valuation de k(x) de place P ∩k(x) .
2.2.2 Notions de valuation et ramification
Pour tout anneau de valuation V de place P de R, il existe un ´el´ement t ∈ R tel que P =tV, et
\∞ µ=1
tµV = {0}. Pour tout ´el´ement f non nul de R, il existe un entier ν tel que ν = max{µ : f ∈tµV}. On note ν =valP(f) , c’est la valuation def enP. Ainsi
( valP(f)≥0 ⇔ f ∈ V; valP(f)>0 ⇔ f ∈ P. Si f etg sont deux ´el´ements non nuls de R, alors
( valP(f g) = valP(f) +valP(g) ; valP(f+g) ≥ min{valP(f), valP(g)}.
Pour compl´eter la d´efinition de valP, on conviendra que valP(0) = +∞ en toute place P de R. Ceci permet d’´etendre les formules ci-dessus `aR tout entier ([Sti] I.1.9 `a I.1.12, [Che] page 4).
Soit ℘ une place de k(x) et P une place de R au-dessus de ℘. Il existe un entier e ≥1 tel que pour toute fonction f de k(x) , valP(f) = e val℘(f) . L’entier e est l’indice de ramificationdeP par rapport `a℘. Si e >1 , la place P est dite ramifi´ee, non ramifi´ee si e= 1 . ([Sti] d´efinition III.1.5, [Che] page 51).
2.2.3 Notion de diviseur
SoitP une place de Ret soitVP son anneau de valuation. CommeP est maximal, le quo-tientFP =VP/P est un corps; comme de plusk ∈ VP etk∩ P ={0}, l’homomorphisme canonique de V vers FP induit une injection de k vers FP. le corps k peut ainsi ˆetre vu comme un sous-corps de FP et on notera degP le degr´e de FP sur k.
Ce degr´e est fini et plus pr´ecis´ement inf´erieur `a celui de R sur k(x) ([Sti] d´efinition I.1.13 et proposition I.1.14).
Un diviseurde R est une somme formelle
D = X
P∈R
dPP,
o`u dP est un entier relatif, nul pour presque toute place P deR. Le degr´e de Dest alors d´efini par
degD= X
P∈R
dP ·degP. Notons (fi) le diviseur associ´e `a la fonction fi, d´efini par
(fi) = X
P∈R
valP(fi)P. Alors
deg(fi) = X
P∈R
valP(fi)·degP = 0 ([Sti] th´eor`eme I.4.1) (2.1) (i.e. une fonction alg´ebrique a autant de z´eros que de pˆoles compt´es avec les “bonnes”
multiplicit´es).
2.2.4 El´ ements entiers – Constantes
D´efinition 2.2.5 Soit R un anneau, A un sous-anneau de R et f un ´el´ement de R. L’´el´ementf est dit entier sur A si et seulement si f est solution d’un polynˆome unitaire
`
a coefficients dans A.
D´efinition 2.2.6 Soit ℘ une place de k(x) et o℘ son anneau de valuation. Une fonction f deR est dite enti`ere en ℘ si elle est enti`ere sur o℘.
Proposition 2.2.2 Soit A un anneau contenu dans un corps R. Un ´el´ement f de R est entier sur A si et seulement si f appartient `a tous les anneaux de valuation de R contenant A.
Preuve [Lan] page 302 proposition 16 ou [AMD] page 66 corollaire 5.22. 2 D’apr`es cette proposition, les fonctions deRenti`eres en la place℘dek(x) sont les fonctions qui n’ont pas de pˆole en P pour toute place P deR au-dessus de ℘. Soit O℘ l’ensemble de ces fonctions. On v´erifie ais´ement en utilisant les propri´et´es des valuations que O℘ est un anneau. C’est la clˆoture int´egrale de o℘ dansR, etO℘ forme un module libre de rang n sur o℘ ([Eic] pg 53-54) . Une base de O℘ sur o℘ sera dite base enti`ere en℘.
D´efinition 2.2.7 On appelleanneau des entiersdeRl’ensemble des ´el´ements de R solu-tions d’un polynˆome unitaire `a coefficients dans k[x] (conform´ement `a la d´efinition 2.2.5).
Appelons O cet anneau.
Proposition 2.2.3 O est l’ensemble des fonctions deR sans pˆole en les places finies de R (i.e au-dessus des places ℘ 6=∞).
Preuve Il est clair que o∞ est le seul anneau de valuation de k(x) auquel xn’appartient pas. Ainsixappartient `a tous les anneaux de valuation deRsauf `a ceux qui sont au-dessus de o∞. Il en est de mˆeme pour k[x] car k est inclus dans tous les anneaux de valuation de R. Par la proposition 2.2.2 , les ´el´ements de R entiers sur k[x] sont les fonctions de R appartenant `a tous les anneaux de valuation contenantk[x] , ce sont donc les fonctions n’ayant de pˆole (´eventuellement) qu’en les places `a l’infini de R. 2 On d´eduit ais´ement de ceci le corollaire suivant :
Corollaire 2.2.1
O = \
℘6=∞
O℘.
Proposition 2.2.4 O est un k[x]-module libre de rang n.
Preuve ([Eic] pages 53-54). 2
Une base de O sur k[x] est dite base enti`ere globale.
Proposition 2.2.5 Une famille de R libre sur k[x] l’est aussi sur k(x) et sur o℘ pour tout ℘.
Preuve En effet, une combinaison lin´eaire nulle sur k(x) se ram`ene, par r´eduction au mˆeme d´enominateur, `a une combinaison lin´eaire nulle surk[x] , et donc suro℘pour tout℘. 2 Une cons´equence de ceci est qu’une famille de R de dimension n, libre sur k[x] ou sur o℘ pour une place ℘quelconque, est une base de R sur k(x) .
Proposition 2.2.6 La clˆoture alg´ebrique kc de k dans R est exactement l’ensemble des fonctions de R qui n’ont pas de pˆole.
Preuve La preuve de cette proposition est analogue `a celle de la proposition 2.2.3. En effet, k est contenu dans tous les anneaux de valuation de R, et sa clˆoture int´egrale est
en fait sa clˆoture alg´ebrique. 2
Corollaire 2.2.2 kc est un sous-corps de O.