Passage du local au global

Reprenons les notations de la section 2.2. Nous allons montrer que la r´eunion finie de certaines familles g´en´eratrices enti`eres locales (i.e. de familles g´en´eratrices d’un nombre fini de modulesO℘) forme une famille g´en´eratrice deO. Cette assertion fait l’objet de la proposition 2.4.1, que nous prouverons apr`es avoir montr´e quelques r´esultats pr´eliminaires.

Une place finie ℘ de k(x) ´etant caract´eris´ee de fa¸con bijective par un polynˆome unitaire et irr´eductible P de k[x] , on notera dor´enavant o_P l’anneau de valuation de place ℘ et OP sa clˆoture int´egrale dans R.

Nous ´ecrirons simplement base, famille g´en´eratrice ou famille libre deOP – respectivement O – pour base, famille g´en´eratrice ou famille libre suro_P du moduleOP – respectivement surk[x] du moduleO –. Les r´esultats de cette section sont plus ou moins classiques, mais nous avons pr´ef´er´e les retranscrire et en redonner des preuves.

Lemme 2.4.1 Soit F = (ω1, . . . , ωn) une famille d’´el´ements de R. Si F est une base enti`ere en ℘ pour toute place ℘ diff´erente de ℘<sub>∞</sub>, c’est une base enti`ere globale.

Preuve Nous allons montrer la proposition contrapos´ee. Supposons que F ne soit pas une base enti`ere globale. Ceci se traduit par l’un des trois cas suivants :

1. L’un des ´el´ements deF n’appartient pas `aO; il existe alors P tel que cet ´el´ement n’appartienne pas `a OP (corollaire 2.2.1).

2. F est incluse dans O, mais n’est pas libre sur k[x] ; elle ne l’est donc pas non plus sur o_P et ce quel que soit P (proposition 2.2.5).

3. Supposons queF soit une famille deO, libre surk[x] . C’est alors une base dek(x, y) sur k(x) , d’apr`es la remarque suivant la proposition 2.2.5. Supposons maintenant que F ne soit pas g´en´eratrice de O. Il existe alors f dans O et i0 dans {1, . . . , n} tel que

f =

Xn i=1

a_iw_i avec a_i ∈k(x) eta_i0 6∈k[x]

cette ´ecriture de f dans F ´etant unique. Or si a_i0 n’appartient pas `a k[x] , il existe P tel que ai0 n’appartient pas `a oP (proposition 2.2.1), et F n’est pas g´en´eratrice deOP.

2 Soit F0 = (ω₁, . . . , ω_n) une famille libre d’´el´ements de O, et soit D son discriminant; D est un ´el´ement non nul dek[x] ([Sam] pg. 46 def. 1). Ecrivons D =δ∆², o`u δ est sans carr´e et premier avec ∆ .

Lemme 2.4.2 Quel que soit P ne divisant pas ∆, F0 est une base de OP sur o_P . Preuve Quelque soit P , F0 est une famille de OP libre sur oP (proposition 2.2.5). D est un ´el´ement de oP , et c’est le discriminant de OP sur oP . (Revenir `a la d´efinition du discriminant et voir que dans le cas pr´esent,DO/k[x](F0) =DOP/o_P(F0) =Dk(x,y)/k(x)(F0)).

Soit P ne divisant pas ∆ (dansk[x]), et soit B= (ν₁, . . . , ν_n) une base de OP sur o_P . Un

´

el´ementω_i deF0 s’´ecrit

Xn j=1

a_ijν_j avec a_ij ∈o_P . Soit M la matrice (a_ij) et soitDB le discriminant de B. on a

D= (det(M))²DB ([Sam] pg 46 prop. 1) MaisDB appartient `a o_P , donc (det(M))² diviseD dans o_P .

P² ne divisant pasD dans k[x] , il ne le divise pas non plus dans o_P , ce qui entraˆıne que P ne divise pas det(M) dans o_P. la matrice M est donc inversible dans o_P , prouvant

ainsi que F0 est aussi une base de OP sur o_P . 2

Lemme 2.4.3 Quel que soit P , OP admet une famille g´en´eratrice incluse dans O. Preuve Soit F une famille g´en´eratrice quelconque de OP , et soit f un ´el´ement de F. Soit ℘ la place de k(x) associ´ee `a P, et soit P1, . . . ,Pr les places de R au-dessus de ℘. Par d´efinition de OP, la fonction f n’a pas de pˆole en Pi pour tout i.

SoitP⁰ un polynˆome irr´eductible dek[x] diff´erent deP , soit ℘⁰ la place dek(x) qui lui est associ´ee, et soit P1⁰, . . . ,Ps⁰ les places de R au-dessus de℘⁰. Soit ei, ide 1 `a s les indices de ramification de ces places par rapport `a℘⁰, et soit ν_i les valuations def en Pi⁰ pour i de 1 `a s.

Soit m = min{d ∈ ZZ : ∀i , d ≥ −νi

e_i} . Alors P^0m·f n’a pas de pˆole au-dessus de ℘⁰ (i.e. en toute place Pi⁰). En effet

val_P0

i(P^0m·f) =m·val_P0

i(P⁰) +val_P0

i(f) =m·e_i+ν_i (section 2.2.2)

Or par d´efinition de m, m·e_i +ν_i ≥ 0 . Le polynˆome P⁰ ´etant inversible dans o_P , on peut remplacer f par P^0m ·f dans F sans changer sa qualit´e de famille g´en´eratrice de OP . En faisant cette op´eration pour chaque polynˆome P⁰ au-dessus duquel f a un pˆole et pour chaque ´el´ement de F, on obtient une famille g´en´eratrice de OP incluse dans O. 2

Proposition 2.4.1 Soit F0 une famille libre de dimension n d’´el´ements de O, et soit D son discriminant sur k[x]. Soit ∆ tel que D = δ∆², o`u δ est sans carr´e et premier avec ∆. Soit P₁. . . P_r la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles de la partie sans carr´e de ∆, et soit F1, . . . ,Fr des familles g´en´eratrices des modulesOP1, . . . ,OPr incluses dans O. Alors,

La r´eunion des Fi, i de 0 `a r, forme une famille g´en´eratrice de O.

Preuve Comme on l’a vu auparavant, F0 est une base de tous les OP pour P n’ap-partenant pas `a {P<sub>1</sub>, . . . , P<sub>r</sub>} (lemme 2.4.2). Les Fi appartenant `a O pour tout i, elles appartiennent aussi `aOP pour tout P. Ainsi, leur r´eunion forme une famille g´en´eratrice deOP pour tout P.

SoitB une base deO sur k[x] et soitF la r´eunion desFi. Les ´el´ements deF appartenant

`

a O, ils s’´ecrivent dans B. Soit M la matrice de F dans B, chacune de ses lignes repr´esentant un ´el´ement de F. La matriceM est une matrice rectangulaire `a n colonnes et l lignes, avecl sup´erieur ou ´egal `an, et `a coefficients dansk[x] .

Soit U une matrice carr´ee de dimensionl `a coefficients dans k[x] et inversible. Une telle matrice est dite unimodulaire. Le d´eterminant de U est une unit´e de k[x] , c’est-`a-dire un

´

el´ement de k. La matrice U est donc inversible sur tous les o_P. Ainsi, en multipliant `a gauche M par U, on ne change pas le module engendr´e par les lignes de M sur o_P quel que soit P .

L’anneauk[x] ´etant principal, il existe une matrice unimodulaireU dek[x] telle queU×M soit la concat´enation verticale d’une matrice triangulaire sup´erieure T et d’une matrice rectangulaire nulle. La matrice T est une matrice carr´ee de dimension n, et ses lignes repr´esentent les ´el´ements d’une famille g´en´eratrice deOP sur o_P pour toutP . Le module OP ´etant de dimensionn, les lignes de T repr´esentent en fait les ´el´ements d’une base de OP sur oP pour tout P. D’apr`es le lemme 2.4.1, ce sont donc les coordonn´ees d’une base de O, ce qui signifie que les lignes de la matrice M, qui s’obtient par multiplication `a gauche de T par U⁻¹, repr´esentent les ´el´ements d’une famille g´en´eratrice de O sur k[x] . 2 Dans cet esprit, on peut aussi transformer une base enti`ere en presque toute place en une base enti`ere globale. Partant d’une base B d’un sous-k[x]-module de rang n deO – donc enti`ere presque partout (lemme 2.4.2) – et d’une place ℘dek(x) en laquelleB n’est pas une base enti`ere, on transforme B de fa¸con `a la rendre enti`ere en ℘ sans changer ses propri´et´es ailleurs. On pourra consulter [Ryb2], dans lequel Marc Rybowicz montre que l’on peut calculer les entiers locaux `a partir des d´eveloppements de Hamburger-Noether.

L’it´eration de cette op´eration pour chaque place℘en laquelleBn’est pas une base enti`ere conduit `a rendre B enti`ere globalement.