Les r´esultats expos´es ici sont tir´es pour la plupart de [BCh] et [Sch3], dans lesquels on trouvera une bonne introduction aux congruences ([BCh] chapitre 1), et un d´ eveloppe-ment tr`es complet des r´esultats sur le nombre de solutions des polynˆomes dans les corps finis [Sch3].
Dans la suite,q est une puissance d’un nombre premier,nombre de solutions sous-entend nombre de solutions distinctes. D’autre part, les degr´es des polynˆomes consid´er´es sont suppos´es srictement positifs.
4.4.1 R´ esultats g´ en´ eraux
L’encadrement suivant synth´etise en quelque sorte ces divers r´esultats.
Proposition 4.4.1 Si f est un polynˆome absolument irr´eductible de IFq[x1, . . . , xr] et si N est le nombre de solutions IFq-rationnelles de f, alors
|N −qr−1| ≤C(f)qr−32 o`u C d´epend uniquement de r et du degr´e de f.
Preuve C’est un corollaire direct du th´eor`eme 7A de [Sch3] section VI.7. 2 Corollaire 4.4.1 Soit f un polynˆome absolument irr´eductible de ZZ[x1, . . . , xr]. Si N(p) est le nombre de solutions IFp-rationnelles de f modp, alors pour p assez grand :
|N(p)−pr−1| ≤C(f)pr−32
o`u C d´epend uniquement de r et du degr´e de f.
Preuve Pourpassez grand, f modpest absolument irr´eductible (corollaire 4.2.1) et on
peut appliquer la proposition 4.4.1 sur IFp. 2
Proposition 4.4.2 Soit f un polynˆome absolument irr´eductible de ZZ[x1, . . . , xr], d´ epen-dant effectivement de la variable xr.
Pour p assez grand, f modp admet une solution IFp-rationnelle (a1, . . . , ar) telle que
∂f
∂xr(a1, . . . , ar)6≡0 modp . Nous utiliserons le lemme suivant :
Lemme 4.4.1 ([BCh] lemme section I.5.2) Si f n’est pas congru `a 0 modulo p, alors le nombre N(p) de solutions IFp-rationnelles de f modp satisfait `a l’in´egalit´e
N(p)≤d pr−1 o`u d est le degr´e total de f.
Remarque: L’hypoth`ese de [BCh] est : “Si aucun des coefficients n’est divisible par p...”, ce qui est une erreur de traduction.
Preuve de la proposition 4.4.2. Nous allons montrer que pourpassez grand, le nombre N de solutions dans IFpr de
f(x1, . . . , xr)≡0 modp (4.1) est strictement sup´erieur `a Nr, le nombre de solutions dans IFpr du syst`eme
f(x1, . . . , xr) ≡ 0 mod p
∂f
∂xr(x1, . . . , xr) ≡ 0 mod p . (4.2) Soit Dxr(x1, . . . , xr−1) le discriminant de f en xr. Ce discriminant n’est pas identique-ment nul car sinon f aurait un facteur carr´e ce qui contredit l’hypoth`ese d’irr´eductibilit´e absolue. Soit p tel que Dxr modp ne soit pas congru `a 0. Si (c1, . . . , cr) est une solution dans IFpr du syst`eme (4.2), alors
Dxr(c1, . . . , cr−1)≡0 modp .
D’apr`es le lemme 4.4.1, le nombre de solutions de cette congruence est inf´erieur `aK pr−2 o`u K est le degr´e total deDxr et d´epend donc uniquement de f.
Pour c1, . . . , cr−1 donn´es, cr v´erifie la congruence
f(c1, . . . , cr)≡0 modp
dont le nombre de solutions ne d´epasse pas le degr´e de f enxr. Le nombre de solutions du syst`eme (4.2) est donc inf´erieur `a
L pr−2 o`u L=K·degxr(f).
D’apr`es le corollaire 4.4.1
N ≥pr−1−C pr−32
pour p assez grand, et nous venons de montrer que Nr ≤L pr−2. Par suite N −Nr ≥pr−1 −C pr−32 −L pr−2,
soit
N−Nr ≥pr−2(p−C p12 −L)
qui est positif pour p suffisamment grand. 2
Corollaire 4.4.2 Soit f un polynˆome absolument irr´eductible de ZZ[x1, . . . , xr] : Pour p assez grand, f modp admet une solution IFp-rationnelle simple.
Preuve C’est une cons´equence ´evidente de la proposition 4.4.2 (revenir `a la d´
efini-tion 4.1.2 d’une soluefini-tion simple page 69). 2
Le th´eor`eme suivant donne une borne inf´erieure pour l’existence de solutions rationnelles simples.
Th´eor`eme 4.4.1 ([Sch2]) Soit f un polynˆome de IFq[x1, . . . , xr] absolument irr´eductible de degr´e d > 0. Soit p la caract´eristique de IFq et soit N le nombre de solutions IFq -rationnelles de f. Notons enfin P(m) le m-`eme nombre premier.
Supposons q >104r3d5P (b4 logdc). Alors :
N > qr−1−(d−1)(d−2)qr−32 −6d2qr−2;
si de plus f n’est pas un polynˆome en xp1, . . . , xpr alors il y a des solutions simples.
4.4.2 R´ esultats sur les courbes
Nous allons maintenant pr´eciser l’encadrement de la proposition 4.4.1 dans le cas des courbes (i.e. r = 2), cadre dans lequel de nombreuses recherches ont ´et´e faites (Weil, Lang, Serre, Stepanov, Schmidt, . . .). Nous donnerons ensuite des conditions suffisantes d’existence de solutions IFp-rationnelles simples.
Th´eor`eme 4.4.2 ([FrJ] section 4.4 th´eor`eme 4.9) Soit f(x, y) un polynˆome absolument irr´eductible de degr´e d `a coefficients dans IFq, et soit N le nombre de solutions IFq -rationnelles de f(x, y) = 0. Alors
q+ 1−(d−1)(d−2)√
q−d≤N ≤q+ 1 + (d−1)(d−2)√ q . En particulier, nous nous int´eressons `a la minoration
N ≥q−(d−1)(d−2)√
q−(d−1). (4.3)
D’autre part, le r´esultat suivant nous permet de donner une majoration du nombre de solutions multiples.
Th´eor`eme 4.4.3 ([Ful] section 5.4 th´eor`eme 2) Soit f(x, y) un polynˆome absolument irr´eductible de degr´e d `a coefficients dans un corps k alg´ebriquement clos. Notons mP la multiplicit´e de f en tout point P de k2, alors
X
P∈k2
mP(mP −1)
2 ≤ (d−1)(d−2)
2 .
Corollaire 4.4.3 Le nombre de solutions multiples de f est major´e par (d−1)(d−2)
2 .
Preuve Le nombre de solutions multiples de f est X
P:mP>1
1. Or
X
P:mP>1
1≤ X
P:mP>1
mP(mP −1)
2 = X
P∈k2
mP(mP −1)
2 .
On a donc
X
P:mP>1
1≤ (d−1)(d−2)
2 .
2 Proposition 4.4.3 Soit f(x, y) un polynˆome absolument irr´eductible de degr´e d `a coef-ficients dans IFq.
Si q≥(d−1)4, alors f a des solutions IFq-rationnelles simples.
Preuve Soit Nm le nombre de solutions multiples IFq-rationnelles de f. En vertu du corollaire 4.4.3,
Nm ≤ (d−1)(d−2)
2 . (4.4)
Soit Ns le nombre de solutions IFq-rationnelles simples def. Ns =N −Nm
et donc, `a partir des in´equations (4.3) et (4.4), on a Ns≥q−(d−1)(d−2)√
q−(d−1)− (d−1)(d−2)
2 .
La r´esolution de ce trinˆome du second degr´e en √q nous am`ene `a Ns>0 si √
q > (d−1)(d−2) +√
∆ 2
avec
∆ = (d−1)2(d−2)2+4(d−1)+2(d−1)(d−2) = (d−1)h(d−2)3 + (d−2)2+ 2(d−2) + 4i que l’on peut majorer par
(d−1)h(d−2)3+ 3(d−2)2 + 3(d−2) + 1i (pour d≥3), soit
∆≤(d−1)4 . On obtient alors
(d−1)(d−2) +√
∆
2 <(d−1)2 , ce qui conduit `a
Ns >0 si √
q ≥(d−1)2 .
Ainsi, pour q≥(d−1)4, le polynˆome f a des solutions IFq-rationnelles simples. 2 Une autre minoration deNs peut ˆetre int´eressante quand le degr´e de f en l’une des deux ind´etermin´ees est tr`es inf´erieur `a l’autre.
Th´eor`eme 4.4.4 ([Sch1] section 1 satz) Soit f un polynˆome absolument irr´eductible `a coefficients dans IFq. Soit n le degr´e de f en y etm son degr´e en x. Soit N le nombre de solutions IFq-rationnelles de f.
Si q >9 (m+ 1)2(n+ 1)2, alors
|N −q|<2 minm2n , n2m√ q .
Proposition 4.4.4 Soit f(x, y) un polynˆome absolument irr´eductible `a coefficients dans IFq. Soit n le degr´e de f en y et m son degr´e en x. Supposons 2≤m ≤n .
Si q >(2m2 + 1)2(n+ 1)2, alorsf a des solutions IFq-rationnelles simples.
Preuve Notons tout d’abord que m ≥ 2⇒ (2m2+ 1)2(n+ 1)2 ≥9 (m+ 1)2(n+ 1)2, et que l’on est bien sous l’hypoth`ese du th´eor`eme 4.4.4. On a
N > q−2m2n√
q . (4.5)
Le degr´e total est major´e par n+m, et l’in´equation (4.4) se r´e´ecrit Nm ≤ (n+m−1) (n+m−2)
2 . (4.6)
En combinant les in´equations (4.5) et (4.6), on obtient Ns> q−2m2n√
q− (n+m−1) (n+m−2)
2 .
On a donc
Ns>0 si √ q > b o`u b= 2m2n+√
∆
2 et ∆ = 4m4n2+ 2 (n+m−1) (m+n−2). Majorons ∆ :
2 (n+m−1) (m+n−2) ≤2 (2n−1) (2n−2) <8n2 , ce qui conduit `a √
∆<
q
(4m4+ 8)n2 ≤2
q
(m2+ 1)2n2 et
b <(2m2+ 1)n . Or√
q >(2m2+ 1) (n+ 1) d’o`u le r´esultat. 2