Master Math´ematiques, Alg`ebre et Calcul Formel

Master Math´ematiques, Alg`ebre et Calcul Formel

Examen du 15 Avril 2011, dur´ ee 3 heures Documents interdits.

Exercice 1: Soit K un corps de caract´ eristique diff´ erente de 2 et contenant une racine primitive n-i` eme de l’unit´ e ω pour n = 2 <sup>k</sup> . Soit f(x) et g(x) deux polynˆ omes ` a coefficients dans K de degr´ es inf´ erieurs ` a n. On note f ∗ g l’unique polynˆ ome de degr´ e inf´ erieur ` a n et tel que f (x)g(x) = (f ∗ g)(x) mod x ⁿ − 1 (autrement dit, f ∗ g est le reste du produit f (x)g(x) dans la division par x ⁿ − 1). On consid` ere l’algorithme suivant:

Algorithm 1 Convolution rapide

Entr´ ees: n = 2 ^k ; {ω, ω ² , . . . , ω ^n/2−1 }; f, g ∈ K[x], deg(f ) < n, deg(g) < n.

Sorties: f ∗ g.

1: Si k = 0, sortir f g.

2: Calculer f ₀ , g ₀ les restes respectifs de f et g modulo x ^n/2 − 1 ainsi que f ₁ , g ₁ les restes respectifs de f et g modulo x ^n/2 + 1.

3: Appeler r´ ecursivement l’algorithme pour calculer h 0 (x) = f 0 (x) ∗ g 0 (x) et h ₁ (ωx) = f ₁ (ωx) ∗ g ₁ (ωx) ` a l’ordre n/2 = 2 ^k−1 .

4: Sortir 1/2((h ₀ + h ₁ ) + x ^n/2 (h ₀ − h ₁ )).

1. Ex´ ecutez cet algorithme pour n = 4, f = 1 + x ³ et g = 1 + x + x ² et v´ erifiez votre r´ esultat.

2. Montrez que f = f 0 +(x ^n/2 −1)q = f 1 +(x ^n/2 +1)q pour q = (f 0 −f ₁ )/2.

3. En d´ eduire que 2f g = f ₀ g ₀ (x ^n/2 + 1) − f ₁ g ₁ (x ^n/2 − 1) mod x ⁿ − 1.

4. Montrez que h ₁ (x) = f ₁ (x)g ₁ (x) mod x ^n/2 + 1.

5. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que la sortie de l’algorithme est correcte.

6. Montrez que sa complexit´ e est en O(n log n) op´ erations dans K.

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Exercice 2: Le but de cet exercice est de donner une version dans le cas de la caract´ eristique 2 de l’algorithme de Cantor-Zassenhaus, que l’on rappelle ci-apr` es:

Algorithm 2 Cantor-Zassenhaus

Entr´ ees: q = p ^k impair, Q ∈ F q [X] de degr´ e n un produit de polynˆ omes irr´ eductibles sur F q , deux ` a deux distincts, et tous de degr´ e d.

Sorties: Un diviseur de Q non trivial ou bien “´ echec”.

1: Tirer au hasard A ∈ F q [X] de degr´ e inf´ erieur ` a n.

2: Calculer D = gcd(A, Q). Si D 6= 1, sortir D.

3: Calculer B = A ^(q

^−1)/2 − 1 mod Q.

4: Calculer D = gcd(B, Q).

5: Sortir D si D 6= 1, sinon “´ echec”.

1. Soit m ≥ 1 et soit T _m = X ²

+ X ²

+ · · · + X ⁴ + X ² + X ∈ F 2 [X].

(a) Montrez que T m (T m + 1) = X ²

+ X.

(b) En d´ eduire que, si α ∈ F 2

, alors T _m (α) ∈ F 2 .

(c) Montrez que l’application α 7→ T _m (α) de F 2

dans F 2 est une application lin´ eaire de F 2 -espaces vectoriels. En d´ eduire que {α ∈ F 2

: T _m (α) = 0} et {α ∈ F 2

: T _m (α) = 1} ont mˆ eme cardinal, soit 2 ^m−1 .

Soit maintenant q = 2 ^k , et Q(X) ∈ F q [X] de degr´ e n. On suppose que Q est le produit de r polynˆ omes irr´ eductibles sur F q not´ es P 1 , . . . P r , deux ` a deux distincts et tous de mˆ eme degr´ e d. On note R = F q [X]/(Q), R i = F q [X]/(P i ) et φ i : R → R i l’application canonique d´ efinie par:

φ i (P mod Q) = P mod P i .

2. Soit A ∈ R. Montrez que φ i (T kd (A)) = T kd (φ i (A)). En utilisant les r´ esultats de la question 1. en d´ eduire que φ _i (T _kd (A)) ∈ F 2 , et que, si A est choisi au hasard et uniform´ ement dans R, T _kd (A) appartient ` a F 2 avec probabilit´ e 2 ^1−r .

3. En d´ eduire un analogue de l’algorithme de Cantor-Zassenhaus pour factoriser Q et montrez que sa probabilit´ e d’´ echec est inf´ erieure ` a 1/2.

On ´ ecrira cet algorithme sous la forme conventionnelle.

4. ´ Etudier la complexit´ e de l’algorithme d´ ecrit ` a la question pr´ ec´ edente.

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Exercice 3: Dans cet exercice, on veut d´ emontrer le r´ esultat de g´ eom´ etrie bien connu suivant: les m´ edianes d’un triangle sont concourantes et leur point d’intersection est le centre de gravit´ e du triangle, ` a l’aide des bases de Gr¨ obner. Soit donc dans le plan un triangle ABC dont les sommets ont pour coordonn´ ees: A = (0, 0), B = (1, 0) et C = (x, y). Soit P , Q, R les milieux respectifs des cˆ ot´ es [BC], [AC], [AB]. Soit S = (u, v) l’intersection des m´ edianes AP et BQ.

A B

C Q P

R

1. Soit f ₁ = uy − v(x + 1) et f ₂ = (u − 1)y − v(x − 2). Montrez que S = (u, v) est l’intersection des droites AP et BQ si et seulement si f 1 = f 2 = 0.

2. Soit g 1 = −2uy − (v − y) + 2vx. Montrez que g 1 = −f ₁ − f 2 . En d´ eduire que les trois m´ edianes sont bien concourantes en S.

3. Soit g 2 = 3u − x − 1 et g 3 = 3v − y. Montrez que les conditions:

−→ AS = 2 −→

SP , −→

BS = 2 −→

SQ, −→

CS = 2 −→

SR sont ´ equivalentes ` a g 2 = g 3 = 0.

4. On consid` ere d´ esormais x, y, u, v comme des variables de polynˆ omes ` a coefficients r´ eels. Soit I = hf ₁ , f 2 i l’id´ eal de R [x, y, u, v] engendr´ e par f ₁ et f ₂ . Calculez une base de Gr¨ obner de I , relativement ` a l’ordre lexicographique not´ e ≺, pour lequel u v x y.

5. En d´ eduire que yg ₂ et g ₃ appartiennent ` a I et conclure.

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