Opérades en Algèbre, Géométrie et Physique-Mathématique

(1)

Op´ erades en Alg` ebre, G´ eom´ etrie et Physique-Math´ ematique

Bruno VALLETTE

(Max-Planck-Institut f¨ur Mathematik Bonn et Universit´e de Nice Sophia-Antipolis)

Colloquium Algèbre-Géométrie-Logique

23 novembre 2009

(2)

Plan

1 D´efinitions et exemples

2 Th´eorie des op´erades

3 Alg`ebre homotopique

4 Opérades en combinatoire algébrique, logique et informatique théorique

(3)

Opérades en Algèbre, Géométrie et Physique-Mathématique Définitions et exemples

Plan

(4)

Introduction

Op´erade=Op´erations + Monade

Théorie des représentations :V espace vectoriel G →Hom(V,V) ou A→Hom(V,V) avec G groupe ouAalgèbre associative

Hom(V,V) : ensemble des opérations linéaires agissant surV Théorie des représentations “multilinéaires” :

End_V :={Hom(V^⊗n,V)}n∈N

ensemble de toutes les op´erations multilin´eaires agissant surV

???→End_V

(5)

Op´ erade des endomorphismes

Collection : End_V :={Hom(V^⊗n,V)}_n∈_N Compositions :

Hom(V^⊗k,V)⊗Hom(V^⊗i¹,V)⊗ · · · ⊗Hom(V^⊗i^k,V)→ Hom(V^⊗i¹^+···+i^k,V)

(f;g1, . . . ,gk)7→f ◦(g1⊗ · · · ⊗gk) v₁

!!B

BB BB v₂

v₃

}}||||| v₄

!!B

BB

BB v₅

}}||||| v₆

!!B

BB BB v₇

v₈

}}|||||

_

_ g₁ _ _ _ _ _ _ _ _

**U

UU UU UU UU UU UU UU

UU g₂ _ _ _ _ _ _ _ _

g₃_ _

ttiiiiiiiiiiiiiiiii

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ f

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Associatives et unitaires

Ceci est une op´erade

(6)

D´ efinition : Op´ erade non sym´ etrique

D´efinition

Collection :P :={P(n)}_n∈_N,P(n) : espace vectoriel

(P◦Q)(n) := M

k≥1,n=i1+···+i_k

P(k)⊗Q(i₁)⊗ · · · ⊗Q(i_k)

Proposition

La cat´egorie des collections (Collection,◦,I = (0,K,0, . . .)) est une cat´egorie mono¨ıdale.

D´efinition

Uneopérade non symétrique P est un mono¨ıdeP = (P, γ, η) dans cette catégorie mono¨ıdale.

(7)

D´ efinition : Op´ erade

Composition : γ : P◦P →P associative (P◦P)◦P ∼=P ◦(P◦P)

γ◦Id_P

IdP◦γ //P◦P

γ

P◦P ^γ ^//P

Unit´e : η : I →P

I ◦P ^η◦Id^P ^//

∼=

%%K

KK KK KK KK

KK P◦P

γ

P◦I

Id_P◦η

oo

∼=

yysssssssssss

P Exemples :

EndV, A algèbre associative unitaire ⇔ P = (0,A,0, . . .) opérade concentrée en arité 1.

(8)

P-alg` ebres

D´efinition (Morphisme d’op´erades)

f : P → Q: famille d’applications lin´eairesf_n : P(n)→Q(n) telles que

P ◦P

f◦f

γP //P

f

Q◦Q ^γ^Q ^//Q

D´efinition (P-alg`ebre)

Une structure deP-alg`ebre sur V est un morphisme d’op´erades P →End_V.

C’est unerepr´esentationde P.

(9)

Exemples As et uAs

Alg`ebres associatives : µ : V^⊗2→V, µ(µ(a,b),c) =µ(a, µ(b,c))

Posons As(0) = 0,As(1) =K,As(2) =K,As(3) =K, . . . Composition op´eradique :

γ : As(k)⊗As(i1)⊗ · · · ⊗As(i_k)→As(i1+· · ·+i_k) (λ;λ₁, . . . , λ_k)7→λλ₁. . . λ_k

Exercice

1 Il s’agit d’une op´erade non sym´etrique.

2 {alg`ebres associatives}=As-alg`ebres

3 Pour coder les alg`ebres associatives unitaires, consid´erer uAs(0) =K,uAs(1) =K, . . ..

(10)

D´ efinition : Op´ erade sym´ etrique

Legroupe sym´etrique Sn agit surHom(V^⊗n,V).

D´efinition

S-module:P :={P(n)}_n∈_N,P(n) : Sn-module (P◦Q)(n) :=

M

k≥1

M

n=i1+···+i_k

P(k)⊗_S_k Ind^S_Sⁿ

i1×···×S_ikQ(i1)⊗ · · · ⊗Q(ik)

Proposition

La cat´egorie(S-modules,◦,I)est une cat´egorie mono¨ıdale.

D´efinition

Uneopérade symétriqueP est un mono¨ıdeP = (P, γ, η) dans cette catégorie mono¨ıdale.

(11)

Exemples Com et uCom

Algèbres commutatives et associatives : µ : V^⊗2→V, µ(µ(a,b),c) =µ(a, µ(b,c)), µ(a,b) =µ(b,a) Com(0) = 0,Com(1) =K,Com(2) =K,Com(3) =K, . . . avec la représentation triviale du groupe symétrique.

Composition op´eradique :

γ : Com(k)⊗Com(i₁)⊗ · · · ⊗Com(i_k)⊗K[Sn]→Com(n) (λ;λ1, . . . , λ_k,σ)7→λλ1. . . λ_k

Exercice

1 Il s’agit d’une op´erade sym´etrique.

2 {alg`ebres commutatives et associatives}=Com-alg`ebres

3 Pour coder les alg`ebres commutatives et associatives unitaires, consid´erer uCom(0) =K,uCom(1) =K, . . ..

(12)

G´ en´ erateurs et relations

Adjonction :T : S-modulesOp´erades : Oubli

−→ T est l’op´erade libre Proposition

Pour toutS-module M,

T(M)(n) = M

t:arbre `anfeuilles

t(M),

t(M): arbre t avec les sommets indicés par les éléments de M.

Proposition

As ∼=T(M)/(R)

avec M = (0,0,^?^? ,0, . . .) et R = (0,0,0,???? − _??^??,0, . . .)

(13)

Opérades en Algèbre, Géométrie et Physique-Mathématique Théorie des opérades

Plan

(14)

Op´ erades topologiques

Changer la cat´egorie de base :

(Vect,⊗)→(dg-Mod,⊗), (Ens,×) ou (Top,×)

D´efinition (Op´erade des petits disquesD2)

D2(n) :={Configurations de n disques dans le disque unit´e}

Proposition (Principe de reconnaissance (B-V. May)) X = Ω²(Y) =Top∗(S²,Y) : D2-alg`ebre.

X : D₂-alg`ebre ⇒ X ∼Ω²(Y).

(15)

Op´ erades topologiques −→ Op´ erade lin´ eaires

PourKun corps : H•(X×Y)∼=H•(X)⊗H•(Y) [K¨unneth].

⇒ H•(D₂) : op´erade lin´eaire Proposition (Arnold, Cohen)

H•(D₂)∼=T ^@

@@

•~~~, BB B |||

[,]

! /(R),

R={Assoc(•),Jacobi([,]),Leibniz(•,[,])}

Proposition (Gerstenhaber)

Cohomologie de Hochschild HH^•(A,A) : H•(D₂)-alg`ebre.

−→Conjecture de Deligne (CH^•(A,A) : C•(D₂)-algèbre), Quantification par déformation des variétés de Poisson [Kontsevich].

(16)

Autres types d’op´ erades

Op´erations • @ ~~@_• @ ~~@_•

~~ @@

Composition •

•

@ ~~ @@ ~~@_• LL

L • •

•rrr

@ ~~@_•

@@

@@ ^•

~~~~

• •

~~ @@ Categorie mono¨ıdale (Vect,⊗) (S-Mod,◦) (S-biMod,) Mono¨ıde _Alg`ebre associative^A⊗A→A

P◦P→P Op´erade

PP→P Prop´erade

Représentation Modules Algébres Bigébres Exemples S(V),Λ(V),U(g),Ap As,Com,Lie,

Gerst,Prelie,BV,...

BiAs,BiLie, Frob,

Mono¨ıde libre (module tensoriel)^Chaˆınes Arbres _connexes^Graphes

Properads;prop[MacLane]−−−−→âlg`êbres théories algébriques[Lawvere].

Opéradescolorées(V1⊕ · · · ⊕Vk), opéradescycliquesetmodulaires (V, < , >), opéradesà boucles(dimV <∞, trace).

(17)

Exemple en topologie

Op´erations cohomologiques stables

Sqⁱ : H^•(X,F2)→H^•+i(X,F2), i ≥1 Alg`ebre de Steenrod

A₂ :=T(Sqⁱ,i ≥1)/(Relations d⁰Adem)

SqⁱSq^j = j−1

i

Sq^i+j + [ⁱ2] X

k=1

j−k−1 i−2k

Sqⁱ^+j^−kSq^k Pour tout espace topologique X,A₂ →End_H^•_(X_,F₂₎

Applications : Groupes d’homotopie des sph`eres, invariants de Kervaire [Hill-Hopkins-Ravenel, 09]

(18)

Exemple en g´ eom´ etrie

Invariants de Gromov-Witten

M_g_,n : espace de modules de courbes de genre g avecn points marqu´es

Compactification [Deligne-Mumford-Gr¨othendieck-Knudsen]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

M_g_,n : espace de modules de courbes stables de genre g avec n points marqu´es← op´erade

Proposition

Les invariants de Gromov-Witten : H•(M_g_,n)→End_H^•_(X₎, X : variété symplectique compacte ou variété projective lisse.

D´efinition : nombre de courbes pseudo-holomorphes.

Structure d’alg`ebre : relations entre les invariants de GW.

(19)

Exemple en physique-math´ ematique

Surfaces de Riemann :

Surface de RiemannR_g_,n,m de genre g avecn+m disques paramétrés← propérade

Th´eorie conforme des champs

D´efinition (Segal-Getzler)

Théorie de champs conformes ouCFT: algèbre surR_g_,n,m. Théorie topologique de champs conformes ouTCFT: algèbre sur C•(R_g_,n,m).

Applications : Alg`ebres vertex [Huang], topologie et th´eorie des cordes [Cohen, Costello, Godin, Sullivan].

(20)

Plan

(21)

Opérades en Algèbre, Géométrie et Physique-Mathématique Algèbre homotopique

Alg` ebre + Homotopie

Homotopie : ´equivalence de complexes de chaˆınes (W,d_W)

h⁰ && ⁱ //

(V,d_V) xx h

oo p

ip−IdV =dVh+hdV, pi −IdW =dWh⁰+h⁰dW

Alg`ebre : ν : V^⊗2 →V produit associatif.

Homotopie + Alg`ebre : Transfert surW µ:=pνi^⊗2

Question : µassociatif ? Non, mieux que cela.

(22)

Alg` ebre associative ` a homotopie pr` es

D´efinition (A∞-alg`ebre)

Famille d’op´erations {µ_n : W^⊗n→W}_n≥2,|µ_n|=n−2, X

2≤k≤n−1 1≤i≤k

±µk◦

id^⊗(i−1)⊗µn−k+1⊗id^⊗(k−i)

=∂(µn)

dansHom(W^⊗n,W), pour tout n≥2.

Alg`ebre associative⇔ A∞-alg`ebre avecµn= 0,n≥3.

Théorème (Kadeishvili, Merkulov, Kontsevich-Soibelman, ...) Toute structure d’A∞-algèbre sur V se transfert en une structure de A∞-algèbre sur W telle que µ₂=µ.

.Formules explicites en termes d’arbres [Kontsevich-Soibelman].

(23)

Produits de Massey sup´ erieurs

Application : Aalgèbre associative différentielle graduée Décomposition de Hodge: W =H•(A)

i //

A=V ^{{ ^h oooo p

D´efinition

op´erations A∞ sur H•(A) =produits de Massey sup´erieurs Exemple : A= (C_Sing^• (X),∪)

⇒ produits de Massey sup´erieurs “classiques” surH_Sing^• (X) produit de Massey µ3 : anneaux borrom´eens.

Homotopie :Reconstruction du type d’homotopie de A.

(24)

Alg` ebres ` a homotopie pr` es

Remplacer

As =T (^?^? )/_????

− _??^??

| {z }

quotient

←∼−A∞:= T ^{@@ ~~}• ⊕^{@@ ~~}• ⊕ · · · ,d

| {z }

quasi−libre

.

Propriété : quasi-libre⇒ cofibrante [Quillen] (=“projective”) une opérade P

P∞ : remplacement cofibrant

oo ∼

catégorie d’algèbres ^//catégorie d’algèbres à homotopie près Intérêt :P_∞ cofibrant⇒ P_∞-algèbres ont des bonnes

propri´et´es homotopiques (Transfert, etc.).

(25)

Dualit´ e de Koszul

D´efinition (Op´erade duale de Koszul)

P =T(M)/(R)−→P^!=T(M^∨)/(R^⊥) Proposition

(P^!)^!∼=P

Candidat :



T P^!^∗

|{z}

Syzygies op´eradiques

, d

|{z}

γ_P!





−−→ P?∼?

Dualit´e de Koszul [P, G-K, V.] : crit`ere pour −^∼→.

(26)

Transfert

Th´eor`eme ((B-M, F), V.)

Toute structure deP∞-alg´ebre sur V se transfert en une structure deP_∞-alg`ebre sur W telle queµ2 =µ.

D´emonstration. D´emonstration conceptuelle et formules

explicites.

(27)

Exemples de dualit´ e de Koszul des alg` ebres

S(V)^! =Λ(V^∗) :

Correspondance BGG [Bernstein-Gelfand-Gelfand]

(géométrie algébrique, cohomologie équivariante).

U(g)^!= (Λ^c(g),d_CE)^∗ :

Homologie des alg`ebres (groupes) de Lie [Koszul, Cartan-Chevalley-Eilenberg].

A^!₂= (Λ-alg`ebre,d) :

op´erations homotopiques stables ↔πn(S^k) Calculs effectifs :H•(Λ,d) =E_Adams² .

(28)

Exemples de dualit´ e de Koszul des op´ erades

As^!=As :

Homologie de Hochschild et l’homologie cyclique, dualit´e : suspension P

↔lacet Ω, en topologie alg´ebrique.

Com^!=Lie :

Homotopie rationnelle [Quillen, Sullivan],

Théorie de la déformation [Deligne, Gröthendieck], (L∞-algèbres).

PreLie^! =Perm :

Renormalisation en Physique-Math´ematique, [Connes-Kreimer, Chapoton-Livernet].

dualité dérivation-intégration [Uchino 08]

(via les produits de Manin [G-K, V.].)

(29)

Exemples de dualit´ e de Koszul d’autres types d’op´ erades

H•(M_0,n)^! =H•(M_0,n) :

Invariants de Gromov-Witten de genre 0, cohomologie quantique, homologie de Floer, vari´et´es de Frobenius [Kontsevich, Manin, Getzler, ...]

Frob^!=invBiLie :

big`ebres de Frobenius : 2−TQFT [Abrams 97]←→

big`ebre de Lie involutive : H^S

1

• (LM) topologie des cordes [Chas-Sullivan 99].

(30)

Alg` ebres de Batalin-Vilkovisky ` a homotopie pr` es

Th´eor`eme (Drummond-Cole-V.)

BV∞= (T(H•(M_0,n)⊕K[~]),d∞) : Modèle minimal BV =H•(fD₂),fD₂ : opérade des petits disques paramétrés fD2 ∼ R_0,n,1 ←→ M_0,n et K[~] (résolution deH•(S¹)).

Th´eor`eme (GC-T-V.)

Y : espace topologique avec action de S¹.

H•(Ω²Y) : BV∞-alg`ebre (rel`eve la structure BV de Getzler).

A alg`ebre de Frobenius,

CH^•(A,A) : BV∞-alg`ebre[Conjecture de Deligne cyclique].

TCFTg=0 : BV∞-alg`ebre.

Algèbre vertex topologique : BV∞-algèbre [Conjecture : réciproque aussi vraie]

(31)

Applications du th´ eor` eme de transfert

Conjecture de la bigèbre de Lie quantique Théorème (Chas-Sullivan 99, Sullivan 09)

H^S

1

• (LM) :invBiLie∞-alg`ebre

invariants homotopiques sur les cordes : intersection, etc.

Exemples : produit de Goldman et coproduit de Turaev.

Formalisme BV [Losev, Mnev, Merkulov] :

Actions = bigèbres de Lie unimodulaires à homotopie près Diagramme de Feynman⇔ Théorème de transfert

Formalité de Kontsevich Théorème (Calaque-V.)

∃ ∞-quasi-isomorphisme de BV_∞-alg`ebres TpolyKⁿ,divω,∧,[,]S

∼

−→ DpolyKⁿ,m^l_r¹^,...,l^k

(32)

Plan

(33)

Opérades en combinatoire algébrique, logique et informatique théorique

Op´ erades en alg` ebre et combinatoire alg´ ebrique

Ensemble partiellement ordonn´e :

Π_n:= (partititons de {1,2, . . . ,n}; {1,3} {2,4} ≤ {1,2,3,4}) Sn agit sur Πn ⇒ Sn agit surH•(Πn)

Proposition (Stanley, Bj¨orner, ...)

H•(Πn)∼=Lie(n)^∗⊗sgn_S_n Proposition (V.)

P 7→Π^P_n et H•(Π^P_n) = (P(n)^!)^∗⊗sgn_S_n P Koszul ⇔ {Π^P_n}_n∈_NCohen-Macaulay

Applications :´etude des arrangements d’hyperplans [Chapoton-V.]

et op´erades sur un groupe de Coxeter quelconque [Bellier]

(34)

Op´ erades en informatique th´ eorique et en logique

Généralisation desbases de Poincaré-Birkhoff-Witt etde Gröbner aux opérades.

−→ systèmes de réécriture, informatique théorique [Burroni, Guiraud, Lafont, Malbos].

Théorie des catégories (supérieures) [Baez-Dolan, Leinster, Lurie]

En logique :

logique lin´eaire [Girard, Hyland, Kelly, Street]

sémantique des jeux(Mono¨ıde libre [V.], lois de distributivité) [Curien, Mèllies, Tabareau]

(35)

Opérades en combinatoire algébrique, logique et informatique théorique

R´ ef´ erences

Yu. I. Manin,Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology and Moduli Space, AMS.

J.-L. Loday-B.V., Algebraic operads, livre en pr´eparation.

Propérades en algèbre, topologie, géométrie et physique mathématique, Habilitation à diriger des recherches (Juin 2009).

http ://math.unice.fr/∼brunov/

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