- Note CEA-N CEA-N-2721

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ISSN 0429 - 3460

- Note CEA-N-2721 - CEA-N-2721

Centre d'Etudes de Saclay Direction des Technologies Avancées

Laboratoire d'Electronique, de Technologie et d'instrumentation Département d'Electronique et d'Instrumentation Nucléaire

ETUDE DE L'ACCELERATEUR RHODOTRON ET PERSPECTIVES D'APPLICATION A UN LASER A ELECTRONS LIBRES

par

Jean-Marc BASSALER

NOTE CEA-N-2721 - Jean-Marc BASSALER

ETUDE DE L'ACCELERATEUR RHODOTRON ET PERSPECTIVES D'APPLICATION A UN LASER A ELECTRONS LIBRES"

Sommaire - Le Rhodotron est un accélérateur radiofréquence à recirculation, dédié à l'irradiation industrielle, qui délivre des électrons dans la gamme d'énergie 3-20 MeV. L'étude se propose de dégager les points forts et les limites de cette machine dans une autre application : le laser à électrons libres.

La recirculation dans une cavité coaxiale unique permet une importante réduction des pertes Joule par rapport à une structure linéaire. Nous optimisons la forme de la cavité grâce à la méthode des équations intégrales d e frontière.

En utilisant différents modèles d'optique électronique, nous obtenons les conditions d e focalisation à courant faible et montrons que la limitation en intensité est liée au gradient accélérateur.

Nous dimensionnons des lasers à électrons libres dans l'infrarouge lointain, en fonction de l'énergie des électrons ; ils requièrent des courants crête de 10 A environ. Il en résulte une contrainte sur l'énergie d u faisceau injecté dans le Rhodotron, qui doit valoir plusieurs centaines de keV.

1993 • Commissariat à l'Energie Atomique - fronce

NOTE CEA-N-2721 - Jean-Marc BASSALER

-STUDY OF THE RHODOTRON ACCELERATOR AND OUTLOOK ON ITS APPLICATION TO A FREE-ELECTRON LASER"

Summary - The Rhodotron is a recirculating radiofrequency acceleralor.

dedicated to industrial irradiation, which delivers electrons in the 3-20 MeV energy range.

This study aims at pointing out the advantages a n d limits of such a device in another application : the free-electron laser.

The recirculation in a single coaxial cavity allows an important reduction of Joule losses, as compared t o a linear structure. We optimize the shape of the cavity thanks to the method of boundary integral equations.

Using various models of electron optics, we find out the focusing conditions within a tow current and show that the intensity limit depends on the accelerating gradient.

We design far-infrared free-electron lasers, according to the electrons' energy ; about 10 A peak currents are required. As a result, the energy of the beom injected in the Rhodotron will have to be several hundred keV.

1993 • Commissariat à l'Energie Atomique • France

THESE

présentée pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE

Spécialité: ELECTRONIQUE par

Jean-Marc BASSALER

Titre:

ETUDE DE L'ACCELERATEUR RHODOTRON ET PERSPECTIVES D'APPLICATION A UN LASER A ELECTRONS LIBRES

Soutenue le 17 février 1993 à l'Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires de Saclay, devant le jury composé de:

MM. H. BAUDRAND Président

J.M. BUZZI Examinateur H. DOUCET Examinateur C. ETIEVANT Examinateur Y. JONGEN Examinateur J.M. ORTEGA Rapporteur J. POTTIER Rapporteur

Cette étude a été menée au Centre d Etudes Nucléaires de Saclay, dans le Département d'Electronique et d'Instrumentation Nucléaire, CEA/DTA/LETI/DEIN, 91191 Gif-sur- Yvette

Le laboratoire universitaire de rattachement était le Groupe de Recherches en Micro-ondes de l'ENSEElHT, 2 rue Charles Camichel 31071 Toulouse

- Note CEA-N-2721 -

Centre d'Etudes de Saclay Direction des Technologies Avancées

Laboratoire d'Electronique, de Technologie et d'instrumentation Département d'Electronique et d'Instrumentation Nucléaire

ETUDE DE L'ACCELERATEUR RHODOTRON

ET PERSPECTIVES D'APPLICATION A UN LASER A ELECTRONS LIBRES

Jean-Marc BASSALER

Je tiens beaucoup à remercier M. ETIEVANT qui, en m'accueillant au Département d'Electronique et d'Instrumentation Nucléaire du Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, pour mener à bien ce projet de recherche qu'il a initié, m'a fait découvrir le domaine passionnant des accélérateurs et des lasers à électrons libres. C'est avec lui que nous avons dégagé les orientations à prendre parmi de nombreuses voies possibles, au terme d'entretiens au cours desquels il m'a communiqué son optimisme, et que nous avons pris les premiers contacts très bénéfiques avec des laboratoires extérieurs.

Je suis a «si très reconnaissant à M. DE COSNAC qui a toujours soutenu mon activité u oour laquelle il n'a pas manqué de me glisser ses suggestions au hasard de nos re .contres.

Je ne i - contenterai pas de remercier M. BAUDRAND de me faire le plaisir en accept-nt de présider le jury, mais je veux lui exprimer ma profonde reconnaissance pour le réel soutien qu'il m'a apporté. Il a été un responsable de recherche extrêmement disponible, tant par les précieux conseils en modélisation électromagnétique et les recommandations pour l'organisation de ma thèse qu'il m'a prodigués, que par ses visites fructueuses à Saclay, et ce, malgré l'éloignement géographique.

Je remercie très vivement MM. POTHER et ORTEGA qui ont accepté de consacrer beaucoup de leur temps, non seulement à la lecture attentive de ce

"manuscrit", mais aussi à de longues discussions amicales au cours desquelles je me suis enrichi de leurs conseils, lesquels ont très largement guidé mes conclusions.

Je suis très touché par l'intérêt que manifeste M. JONGEN pour mon travail et je souhaite tirer profit de son jugement d'industriel, tout comme j'ai beaucoup appris des méUiodes de développement du nouveau Rhodotron dans sa société, I.B.A.

Que MM BUZZI et DOUCET sachent combien je les remercie pour l'intérêt portés à mes travaux et pour les discussions riches en enseignements, auquelles ils m'ont amicalement invité.

Je dois avouer que l'ambiance très sympathique qui m'a environné pendant ces trois années, due à l'humour et la permanente bonne humeur de mes collègues de travail, m'a énormément aidé à surmonter les périodes difficiles où je ne percevais pas l'aboutissement de mes efforts. C'est surtout grâce à eux que j'ai pu progresser et je tiens beaucoup à leur exprimer mon amitié et ma reconnaissance:

à Annick NGUYEN qui m'a consacré de longues heures riches en critiques pos.dves et en suggestions et m'a ainsi permis de me remettre perpétuellement en question et de réordonner ma démarche scientifique; je lui suis aussi très redevable de m'avoir facilité beaucoup de démarches officielles qui étaient pour moi des barrières indésirables;

à Olivier GAL, toujours ravi de m'aider à résoudre les problèmes théoriques qui ont jalonné mes recherches, et avec qui j'ai beaucoup appris dans les domaines de la physique et des mathématiques appliquées, et ce, au cours de longues discussions souve \t agrémentées de souvenirs de haute montagne;

à Jean-Marc CAPDEVJLA, Frédéric LAINE et Jean-Paul NICOLAÏ qui ont toujours été très disponibles pour m'apporter leur aide indispensable dans les

"manips"; ils m'ont permis d'appréhender les difficultés liées à la mise en pratique d'idées parfois simples sur le papier, réalité qui a même été concrétisée par des apprentissages intensifs du maniement de la clé de 17;

à Krzysztof UMIASTOWSKI qui a su me faire partager son vaste savoir concernant les phénomènes physiques;

à Jean VALAT qui m'a été d'un grand secours pour les résolutions mathématiques;

à Cyrille GUETIN qui m'a prêté main-forte avec bonne humeur lorsque les journées devenaient trop courtes;

à tous ceux qui ont ingurgité les centaines de pages des versions précédentes de ce document, au style plutôt aride, et m'ont proposé des remarques pertinentes.

JJ me serait trop difficile de constituer ici la liste de toutes les personnes qui n'ont pas ménagé leur temps pour me faire découvrir les accélérateurs ou les LELs sur lesquels elles travaillaient. Elles m'ont très largement aidé à la compréhension des mécanismes physiques, dévoilé leur savoir-faire et ont fait chaque fois croître mon enthousiasme. J'espère qu'elles sauront toutes se reconnaître et me pardonneront de ne citer ici que le nom de leurs laboratoires, dans lesquels j'ai toujours fort bien été accueilli, à savoir le laboratoire de Physique des Milieux Ionisés de l'Ecole Polytechnique, le service de Physique et Techniques Nucléaires du CEA de Bruyères-le-Châtel où en particulier Daniel IRACANE m'a rendu de grands services, CLIO et Super-ACO à l'Université d'Orsay, et les laboratoires d'accélérateurs de l'Orme de Merisiers au CEN Saclay.

Je n'oublierai jamais la gentillesse et la patience de Mme DOMINICELLI face à mes fantaisies lorsque j'ai complété dossier final destiné à l'Institut National Polytechnique.

Pour finir, je n* manquerai pas d'adresser une pensée reconnaissante à mes camarades, thésards pour la plupart, avec qui nous avons réalisé des projets, parfois ambitieux r-omme EURODOCT 91, ou tout simplement avec qui nous avons échangé be -coup d'idées et passé de bons moments. L'ouverture d'esprit qu'ils m'ont apportée était un complément indispensable à mon activité spécialisée de recherche.

SOMMAIRE

Introduction

CHAPITRE I : L'ACCELERATEUR RHODOTRON 1.1 Les accélérateurs à recirculation

1.2 Accélère don dans une cavité coaxiale 1.2.1 Forme du champ électromagnétique 1.2.2 Trajectoires et synchronisme 1.2.3 Gain en énergie sur ui» diamètre 1.2.4 Recirculation

1.3 Déflecteurs magnétiques 1.3.1 Géométrie

1.3.2 Champ magnétique 1.3.3 Filtrage en énergie 1.4 Forme temporelle du courant

1.5 Performances liées à la haute fréquence 1.5.1 Pertes H.F; rendement

1.5.2 Coefficient de qualité et impédance shunt 1.5.3 Configuration optimisant l'impédance shunt 1.5.4 Comparaison avec les performances énergétiqu 1.5.5 Limitation de la tension accélératrice

1.5.6 Energie emmagasinée

1.5.7 Couplage avec le générateur H.F.

1.6 Pertes d'énergie et de courant 1.7 Le prototype

1.7.1 Caractéristiques principales 1.7.2 Déflecteurs magnétiques

1.7.3 Source haute fréquence ci régulation 1.7.4 Canons à électrons

1.7.5 Refroidissement, vide

1.7.6 Schéma global de l'installation 1.8 Mesures effectuées sur le prototype

1.8.1 Paramètres réglables 1.8.2 Moyens de mesure

1.8.3 Résultats

1.9 Conclusion: les atouts du Rhodotron

CHAPITRE 11 : ANALYSE HAUTE FREQUENCE DE LA PAR LES EQUATIONS INTEGRALES DE FRONTIERE

n.l Modification de la géométrie de la cavité coaxiale n.1.1 Objectif

n.l.2 Modification de la fréquence de résonance n.2 Méthode intégrale de contour

II.2.1 Choix d'une méthode intégrale n.2.2 Principe du calcul

n.2.3 Formalisme mathématique

n.2.4 Réduction à une dimension par la formule de Green II.2.5 Détermination de la fonction de Green

n.2.6 Equation aux valeurs propres II.3 Résultats

11.3.1 Convergence de la méthode 11.3.2 Reconstitution du champ

11.3.3 Modes d'ordre supérieur

11.3.4 Identification expérimentale des modes n.4 Impédance shunt et coefficient de qualité

11.4.1 Expression

11.4.2 Précision des résultats

11.4.3 Optimisation de l'impédance Shunt

II.5 Avantages et inconvénients de la méthode intégrale

CHAPITRE m : OPTIQUE DU FAISCEAU D'ELECTRONS in.l Introduction : les modèles utilisés

ni.2 Généralités sur l'évolution d'un faisceau de particules chargées 111.2.1 Formalisme hamiltonien et théorème de Liouville 111.2.2 Espace des phases pour un faisceau. Emittance 111.2.3 Modèle de faisceau ellipsoïdique

111.2.4 Emittances au sens statistique

111.2.5 Phénomènes non-linéaires dégradant remittance

III.3 Analyse optique linéaire 97 111.3.1 Rappel des hypothèses et des notations 97

m.3.2 Transport du faisceau dans la cavité 101 111.3.3 Transport du faisceau dans les déviateurs 119 111.3.4 Optique de l'ensemble des éléments 129

m.4 Effets non-linéaires à faible courant 129 n i 4.1 Forces transverses non linéaires 129

111.4.2 Effets longitudinaux 132 m.5 Effets de la charge d'espace 134

ni.S.l Champs propres d'un faisceau rectiligne 134

m.5.2 Charge d'espace dans la cavité 138 m.5.3 Charge d'espace dans les aimants 143 IH.5.4 Interaction entre faisceaux dans le conducteur central 145

m.S.S Premier passage accélérateur à vitesse faiblement relativiste 150

I1I.6 Conclusion 156 CHAPITRE IV : CONFIGURATIONS DE LASERS A ELECTRONS LIBRES

COMPATIBLES AVEC UN RHODOTRON 161 IV. 1 Description phénoménologique du laser à électrons libres 161

IV. 1.1 Qu'est-ce qu'un laser à électrons libres? 161

IV. 1.2 Principe de fonctionnement 162 IV. 1.3 Mécanisme de l'amplification 163

IV.2 Modélisation de l'interaction 165 IV.2.1 Définition des paramètres 165 IV.2.2 Laser Compton faible gain - Théorème de Madey 166

IV.2.3 Modèle linéaire global 167 IV.3 LEL en configuration oscillateur 168

IV.3.1 Croissance et saturation du signal. Rendement 168

IV.3.2 Longueur de la cavité optique 170

IV.3.3 Importance du gain 171 IV.4 Paramètres d'un LEL avec un faisceau électronique idéal 172

IV.4.1 Longueur d'onde rayonnée 172

IV.4.2 Expression du gain 173

IV.4.3 Onduleur 174 IV.4.4 Diffraction optique 175

IV.4.5 Procédure d'optimisation 177

IV.5 Contraintes imposées par un faisceau réel

IV.5.1 Elargissement inhomogène de la courbe de gain 180

IV.5.2 Dispersion en énergie 181

IV.5.3 Emittance 181 IV.5.4 Effet de la charge d'espace 185

IV.5.5 Longueur du paquet d'électrons 186

IV.5.6 Validation des calculs 189 IV.6 Configurations de LELs accordables 189

IV.7 Conclusion 196 Conclusion 197 Récapitulatif des notations 203

Annexe 1 : Modèles d'analyse du laser à électrons libres 206 Annexe 2 : Calcul de l'impédance shunt d'une cavité coaxiale 212

Annexe 3 : Modes de résonance des cavités coaxiales 216 Annexe 4 : Détermination de la fonction de Green 221 Annexe S : Représentation d'un faisceau dans l'espace des phases 223

Annexe 6 : Transport du faisceau dans la cavité 226 Annexe 6 : Transport du faisceau dans les déflecteurs magnétiques 238

Références bibliographiques 243 Liste des tableaux et des figures 249

Résumé 257

INTRODUCTION

Le travail présenté dans cette thèse a été effectué au Commissariat à l'Energie Atomique, à Saclay, au Département d'Electronique et d'Instrumentation Nucléaire (CEA/DTA/LETI/DEIN), dans le laboratoire où a été inventé le Rhodotron. Cet accélérateur radiofréquence à recirculation, basé sur une géométrie originale, peut délivrer des électrons dans la gamme d'énergie 3-20 MeV. La recirculation allie les avantages de compacité et d'économie de puissance haute fréquence (H.F), tandis que que le fonctionnement à une fréquence relativement faible (quelques 100 MHz) réduit le coût des amplificateurs. Ces atouts justifient bien que cette machine soit en premier lieu dédiée à l'irradiation industrielle, application qui requiert un faisceau de puissance élevée en continu, sans forte contrainte sur la qualité (dispersion en énergie, émittance) en général.

L'étude présentée ici porte sur une application différente, le laser à électrons libres. Ce dispositif, inventé il y a une quinzaine d'années, est un générateur d'ondes électromagnétiques cohérentes de très forte puissance instantanée. Outre l'avantage indéniable de son accordabilité, il ouvre de nouveaux champs d'utilisation du rayonnement En effet, il peut émettre dans des bandes spectrales desquelles les sources cohérentes étaient jusqu'alors absentes, plus particulièrement dans l'infrarouge lointain. Le milieu amplificateur est un faisceau d'électrons relativistes, qui interagit avec la lumière au sein d'un onduleur. Les faisceaux électroniques utilisés dans les expériences existantes sont issus de divers types d'accélérateurs, radiofréquence ou électrostatiques. Afin de produire les électrons relativistes nécessaires, il serait intéressant de tirer parti des avantages du Rhodotron, à savoir la compacité, le coût relativement faible et la possibilité d'un fonctionnement continu avec un bon rendement. Toutefois, les exigences sur le faisceau, à savoir une forte intensité crête et une grande qualité, sont bien différentes de celles requises pour les irradiateurs. Il est donc nécessaire d'extrapoler les observations faites sur le prototype, unique, de Saclay. Nous avons développé des modèles physiques et mathématiques pour répondre à la question de la faisablité d'un LEL à partir du faisceau d'un Rhodotron.

Au premier chapitre, nous rappelons le principe de fonctionnement du Rhodotron et nous présentons quelques résultats expérimentaux concernant le prototype de Saclay. Ces résultats ont permis de valider le concept de la recirculation dans une cavité coaxiale. Après avoir calculé les caractéristiques H.F optimales, nous comparons notre structure avec les accélérateurs linéaires, du point de vue du rendement.

Ce rendement peut encore èttc amélioré en déformant la cavité coaxiale.

L'objet du second chapitre est la modélisation électromagnétique de cette nouvelle cavité, dans le but de trouver la géométrie qui optimise l'impédance shunt Une méthode d'analyse basée sur les équations intégrales de frontière est développée. Ses résultats sont comparés à ceux d'un code d'éléments finis et à des mesures.

Au chapitre trois, nous utilisons un modèle d'optique linéaire afin de comprendre les mécanismes de focalisation à faible courant La charge d'espace est prise en compte avec différentes approximations, en vue de déterminer les limites de la machine à forte intensité. Nous décrivons aussi les mécanismes d'accroissement de remittance.

Nous rappelons brièvement au chapitre quatre le principe de fonctionnement du laser à électrons libres (LEL). Puis, différents paramètres d'onduleurs sont calculés afin d'obtenir un rayonnement accordable dans l'infrarouge lointain, domaine compatible avec la gamme d'énergie délivrée par le Rhodotron.

L'intensité et la qualité du faisceau requises sont évaluées par des modèles au premier ordre qui passent en revue les imperfections du système.

Si cette étude ne prétend pas apporter une réponse défînitive à la question de la faisabilité d'un laser à électrons libres avec un Rhodotron, elle en soulève les problèmes majeurs. Des critères sont déterminés, de façon à définir des limites et à permettre d'effectuer les meilleurs choix technologiques.

Chapitre Un

L'ACCELERATEUR

RHODOTRON

CHAPITRE I

L'ACCELERATEUR RHODOTRON Historique

Cette nouvelle configuration d'accélérateur d'électrons à recirculation est inventée au Commissariat à l'Energie Atomique à Saclay par Jacques Pottier en mars 1986. La première publication concernant ce type de machine est faite au congrès international de Denton en 1987 [1]. Le Département d'Electronique et d'Instrumentation Nucléaire investit dans la validation expérimentale de ce concept d'accélérateur compact et économique, avec pour principal objectif l'irradiation industrielle. Le dimensionnement du prototype conforté par les premières simulations numériques est réalisé en 1987. Le montage de la cavité et de l'électronique débute en 1988. La première validation expérimentale de la recirculation, selon le schéma original de la rosace, est réalisée en mars 1990 et publiée au congrès Européen de Nice [2J; le faisceau a l'énergie nominale de 33 MeV. Conjointement aux efforts menés pour obtenir la puissance nominale du faisceau, soit 20 kW en continu, la recherche d'un partenaire industriel s'intensifie. En décembre 1991 la licence est cédée à un industriel belge qui possède déjà une grande expérience des accélérateurs compacts.

1.1 Les accélérateurs à recirculation

L'idée de dévier des particules chargées dans un aimant afin de les faire recirculer dans une même cavité radiofréquence (R.F.) accélératrice a depuis longtemps été mise en oeuvre, comme le prouve l'apparition des cyclotrons très tôt dans l'histoire des accélérateurs, puis celle des microtrons. On peut comparer le Rhodotron à ces deux machines dans la mesure où, dans les trois cas, la fréquence H.F et l'intensité des champs magnétiques déflecteurs sont invariantes dans le temps.

Dans un cyclotron [3] une particule passe plusieurs fois dans les mêmes aimants; la synchronisation avec le champ H.F est basée sur l'invariance de la période gyromagnétique des particules non relativistes, ce qui limite ses applications aux ions. Par contre, dans un microtron [4] les trajectoires sont discrètes et d'une longueur multiple de la longueur d'onde H.F, ce qui permet de maintenir le synchronisme pour des électrons relativistes. En ce sens, la

recirculation dans un Rhodotron ressemble plutôt à celle d'un microtron, à la différence près qu'à la suite de chaque segment accélérateur, les électrons relativistes passent dans un déflecteur magnétique différent

09 b

Figure 1.1 : Schémas de principe a) du cyclotron b) du microtron.

S: source C: cavité D: déflecteur magnétique

Citons les principaux avantages des accélérateurs à recirculation [4]:

- La puissance H.F nécessaire pour communiquer une accélération donnée est moindre comparativement à une structure linéaire.

- L'encombrement et le coût de la structure radio-fréquence sont plus faibles.

- La déflexion magnétique confère naturellement à ces machines des propriétés de spectromètre, d'où des faisceaux d'une meilleure qualité spectrale.

L2 Accélération dans une cavité coaxiale

1.2.1 Forme du champ électromagnétique

Le RHODOTRON est un accélérateur radio-fréquence constitué d'une seule cavité résonnante. Sa grande originalité tient au fait que cette cavité est coaxiale et résonne sur son mode TEM (transverse électromagnétique) fondamental, et

aussi à l'utilisation d'un champ électrique transverse par rapport à l'axe de révolution. En effet, la plupart des accélérateurs radiofréquence utilisent le champ électrique longitudinal du mode TM des cavités cylindriques [3].

Le résonateur du Rhodotron est un tronçon de ligne coaxiale de longueur A/2 court-circuité à ses extrémités, dans lequel s'établit un régime d'ondes stationnaires. Les champs électrique et magnétique sont représentés sur la figure 1.2. L'expression mathématique de ces champs est:

-> U % y ->

E (r,y,t) = cos cos <M e_ (1.1a)

r h ^r

-» U JC y •»

B (r,y,t) = —— sin sin (M c^a (l.l.b)

r c h **

où h est la hauteur de la cavité et o> = 2 n f , où la fréquence de résonance est donnée par:

Il est important de noter que cette fréquence ne dépend que de la hauteur de la cavité et pas du tout des rayons des conducteurs (notés R et R-). Ces deux degrés de liberté seront exploités par la suite afin d'optimiser le rendement de la machine (§1.5.2).

Le terme U , homogène à une tension, est défini par la tension maximale interconducteurs; celle-ci est localisée spatialement dans le plan médian (y = 0) et dans le temps à l'instant où la phase cot vaut 0 ou n:

l^V<^Re > -^V<^Ri > L a x = ^U o ^{l n} ^

Ki

Ce que nous appellerons par la suite la tension crête, est la tension maximale disponible sur un diamètre, c'est-à-dire deux fois la tension maximale interconducteurs:

Uc ^^{a 2}l ^V( V -^V(^Ri > l m a x ^{s 2 U} o ^{l n} r <^U>

Ki

|hft

Figure 12 a) Champs électrique et magnétique dans une cavité coœâale résonnant sur son mode fondamental; b) système de coordonnées.

1.2.2 Trajectoires et synchronisme

Les deux propriétés fondamentales du mode TEM qui permettent l'utilisation d'une telle cavité en accélérateur de particules sont les suivantes:

- Le champ électrique est radial: les particules chargées sont accélérées selon des rayons. De plus, le champ électrique est maximum dans le plan médian (y * 0), de telle sorte que le maximum d'énergie est communiqué aux particules passant dans ce plan.

- Le champ magnétique est nul dans le plan médian: les particules qui se meuvent dans ce plan ne subissent pas de déviation magnétique.

Par conséquent, on peut injecter les électrons selon n'importe quel diamètre dans le plan médian de la cavité, à condition bien entendu de pratiquer dans les deux conducteurs quatre trous alignés. La présence de ces trous modifiera d'ailleurs tris peu la répartition des champs électromagnétiques, car les courants surfaciques s'annulent au niveau du plan médian.

Comme dans tout accélérateur radiofréquence, le sens du champ électrique s'inverse périodiquement, alors un électron doit rester synchrone avec l'onde de manière à subir une force dirigée constamment dans le même sens. Comme le montre la figure 1.3, un électron traversant la cavité selon un diamètre rencontre tout d'abord un premier intervalle accélérateur A-B entre les deux conducteurs, puis un espace de dérive sans champ B-C a l'intérieur du conducteur central, et enfin l'intervalle accélérateur C-D symétrique de A-B par rapport au centre O de la cavité. A un instant donné, les champs électriques dans les deux intervalles ont des sens opposés. H est donc nécessaire qu'une inversion du sens du champ ait lieu quand l'électron est dans l'espace de dérive; Si le champ s'inverse au moment exact où l'électron passe en O et que la vitesse de la particule est très proche de celle de la lumière, alors les deux intervalles jouent un rôle symétrique; nous allons voir que cette condition assure un gain d'énergie maximal.

EU etf o \c pi

» ' • mf • * »•

\-^V" J T

a)

b)

I -M

c)

Figure 13 : Accélération selon un diamètre, a) notations b) accélération dans ) -

1.2 3 Gain en énergie sur un diamètre

L'accélération de l'électron est liée à sa position (r) dans la cavité, à cause de la variation en 1/r du champ électrique, et au temps t par l'intermédiaire de la phase H.F t = COL Or la loi t(r) est déterminée par la loi de variation de la vitesse; on aboutit alors à une équation différentielle du mouvement (annexe 6) que l'on doit résoudre numériquement Mais les électrons atteignent, en raison de leur faible énergie au repos (me² s 0.511 MeV), une vitesse très proche de celle de la lumière dès que leur énergie cinétique dépasse le MeV, comme le montre le tableau 1.1

Ec (MeV) 0.5 1 2 5 10

P = v/c

y = ( 1 - p V

Tableau 1.1 : Vitesse des électrons et facteur de Lorentz pour différentes énergies cinétiques.

Alors la loi r(t) est connue dès que l'on connaît l'instant de passage en un point de la cavité, par exemple l'instant t. . d'entrée en r = R ou l'instant t du croisement de l'axe de la cavité; on leur associera les phases H.F é. .= <o t.. et <|> = (0 t reliées par:

Tm j mj ^T0 0 ^r

T0 ^Ti n j

Jp v (r)

d r> « * . + 2 « J* ^{v * c) (1.4)} Finalement l'hypothèse ultra-relativiste (v = c) permet d'obtenir une forme analytique du gain d'énergie:

Y - Y ^s G sin é

TD ^JK max ^yo (1.5)

avec

| C |^UA ( \

G

™x

Z-r si

) - si

) •

m c ^v '

Ri ^Re

HP HP

Si(x) désigne la fonction sinus intégral; sa définition est rappelée dans l'annexe 6.

Le gain d'énergie est proportionnel à l'intégrale du champ (en 1/r) multiplié par la fonction sinusoïdale du temps, c'est-à-dire à l'aire hachurée sur la figure 1.4. Pour une géométrie de cavité et un niveau de champ fixés, le gain en énergie de l'électron ne dépend que de sa phase de passage au centre 4» et il est maximum et vaut G^{m a x}m c² quand cette phase est 9 0 \ c'est-à-dire si le champ électrique s'annule au moment du passage en O.

Figure 1.4 : Gain d'énergie (matérialisé par la surface hachurée) selon la phase de la particule par rapport au champ.

A cause de la durée non nulle du transit dans la cavité, pendant laquelle la tension interconducteurs varie, l'accélération est la même que celle d'une tension effective plus faible que la tension crête disponible dans les deux intervalles, c'est-à-dire deux fois la tension interconducteurs définie par (1.3). Le rapport entre la tension effective et la tension crête, qui est inférieur à 1, s'appelle facteur de temps de transit [5]:

F =

U ^to

crélc

G

m a x

/ M

TT U ^to

crélc

2 U⁰ In (R^c/R.) (1.6)

Compte tenu de (1.5):

TT

S i ( y^e) - Si(\p.)

In ( R^e/ R . ) (1.7)

La figure 1.5 montre la variation de ce facteur en fonction des deux

paramètres géométriques (RJ^w et Rj/^w); la configuration qui le rend égal à l'unité n'est pas envisageable (couronne infiniment mince de diamètre

V

>-

O

£ D

C£

0 , 5

R /R

i e

Figure 15 : Courbes équi-niveau du facteur de temps de transit; dans les zones en pointillés F < 0.

La validité de l'hypothèse ultra-relativiste a été vérifiée en comparant la formule analytique (1.5) avec le résultat d'une intégration numérique du mouvement On constate sur la figure 1.6 que la forme analytique donne de bons résultats dès que l'énergie cinétique incidente atteint 0.5 MeV. Par conséquent, seules les parties où l'électron a une énergie inférieure doivent être traitées séparément, ce qui en pratique concerne souvent le seul premier passage accélérateur.

600 1111111111 i/^i^^MJ i M 1111111111111

s 3 0 0 _

- 3 0 0

- 6 0 0

- 1 8 0 - 9 0 0 90 180

P h a s e e n e n t r e e

Figure 1.6: Comparaison de la fornuue analytique (Courbe confondue avec la courbe V. . « 10 MV) et de la valeur exacte du gain en énergie au cours d'un passage accélérateur pour différentes énergies d'injection,

pris en compte sont ceux du prototype.

Les paramètres

L2.4 Recirculation

Après une traversée de la cavité on renvoie les électrons vers un autre diamètre accélérateur. H suffît pour cela de leur faire décrire un peu plus d'un demi-tour dans un déflecteur magnétique dont le champ magnétique est perpendiculaire au plan des trajectoires. En répétant ce principe de recirculation plusieurs fois, la trajectoire adopte une forme de rosace telle qu'elle est dessinée sur la figure 1.7. La machine doit son nom au mot grec Rhodon qui désigne une rose.

Figure 1.7 : Principe de la recirculation dans un Rhodotron;

D: Déflecteur magnétique C: Cavité accélératrice S: Canon à électrons L: Lentille magnétique

L3 Déflecteurs magnétiques 1.3.1 Géométrie

La trajectoire qui donne une figure en forme de rosace telle qu'elle est représentée sur la figure 1.7 est en fait une succession de segments de droite tangentes par des arcs de cercle. Or le demi angle a entre les trajectoires est fixé par le nombre N de passages accélérateurs; il vaut (on choisira a priori une géométrie périodique azùnutalement):

x

a = (1.8) 2 N

Figure 1.8 : Détermination du rayon de giration et de la position de l'aimant.

De plus, la distance L parcourue entre deux passages successifs au point central O est entièrement déterminée par la vitesse de l'électron et par les conditions de synchronisme avec la phase H.F que l'on s'impose. Alors, par construction géométrique (figure 1.8) les points de raccordement des segments et de l'arc de cercle sont déterminés de manière univoque; cela signifie que la distance du bord de l'aimant considéré au centre de la cavité L. „ est fixée

OP

ainsi que le centre et le rayon de giration R . oo*

tfô

< *

>

(1.9)

— te a

i - i cosa ^B

" ⁼ o°' ' 2 ⁺ ( »⁺ 2 « ) . g « < ^{U 0 )} On essaie dans la plupart des cas de maximiser l'énergie finale des électrons,

donc de faire en sorte que • = 90 à chaque passage; alors la distance L doit être un multiple de la longueur d'onde k (dans la mesure où v « c, sinon elle est un peu plus courte, notamment entre les premier et second passages). Sachant qu'il faut laisser une distance minimale d d'environ 10 cm pour permettre l'insertion d'éléments mécaniques (tels que des brides ou des vannes) entre la cavité et l'aimant, on obtient une valeur maximale pour le rayon extérieur de la cavité:

R

w

« '

- <

>

La contrainte la plus forte est bien sûr donnée par le premier virage pour lequel la vitesse de l'électron est la plus faible, le parcours L étant inférieur à X . Toutefois, en diminuant le demi-angle entre les deux premiers passages (a < n/2N), on compense cet effet et la distance L est à nouveau la même pour tous les aimants. Cette solution a été adoptée sur le prototype (11*

au premier virage, 15* pour les autres).

Quant à l'encombrement horizontal total de la machine, il est dimensionné par les trajectoires les plus longues, que nous supposerons égales à une longueur d'onde ( L = X_); il serait possible de prendre 2 longueurs d'onde mais l'accélérateur serait nettement moins compact

1 + tga

e = 2X^m EPi« : ( U 2 )

" 2 + (* + 2a) tg a

Le tableau 1.2 montre que l'encombrement est de Tordre de la longueur d'onde, et que le rayon extérieur de la cavité est de Tordre du quart ou du tiers de la longueur d'onde. La figure 1.9 donne une idée de l'encombrement de la machine.

N 3 4 5 6 7 10 20 ^{N -» oo}

C f t A ^{H F} 0.78 0.83 0.8S 0.87 0.89 0.92 0.96 1

L° " \ , F 0.19 0.25 0.29 0.32 0.35 0.39 0.44 0 . 5

" « * « * 0.13 0.11 0.10 0.090 0.081 0.062 0.034 ^X T"TT

Tableau 12 : Encombrement transverse, distance du centre la cavité au bord dun aimant et rayon de giration rapportés à la longueur d'onde HI selon le nombre de passages; il s'écoule une période HJ entre deux passages sucessifs au centre de la cavité (L = X ^ .

r

Figure 1.9 : Encombrement de la machine 1.3.2 Champ magnétique

Le champ magnétique de chaque déflecteur est ensuite déterminé, connaissant le rayon de giration et l'énergie de l'électron:

P y m c

K -

g | e | B

(1.13) Pour imprimer une rotation de rayon 10 cm à un électron de 10 MeV un champ

magnétique de 0.35 Teslas est nécessaire. Cette application numérique typique montre que les champs magnétiques nécessaires sont aisément accessibles par la technologie des électro-aimants dipolaires.

Plus le nombre de passages augmente, plus les rayons de giration diminuent;

alors le champ magnétique doit être d'autant plus intense tandis que remplacement disponible pour chaque aimant diminue. Il semble de ce fait que le nombre de passages ne puisse pas être très supérieur à une dizaine, du moins en utilisant des électro-aimants classiques.

1.3.3 Filtrage en énergie

Comme l'illustre la figure 1.10a, chaque aimant se comporte comme un spectromètre qui élimine les électrons dont l'énergie est trop éloignée de l'énergie nominale. L'étalement en énergie des électrons non filtrés est directement lié au diamètre des trous de passage et à la géométrie de la chambre à vide.

AR^g _A(pY)

T

" ~F

Si, comme dans le prototype, la chambre à vide du déflecteur eu constituée d'un tuyau aux rayons de courbure minimal et maximal R et R^u, alors les

in M

rayons de giration sont compris entre ces deux valeurs et l'inclinaison maximale A (figure 1.10b) est donnée par:

2 2

sin A = cos a M m

2 2

R + R„ + 2 R R„ sin a _{in M m M} Les rayons de giration correspondants sont:

2 2 2 2

R + R , + 2 R R^w sin a R + R,, + 2 R R sin a

n _ m M m M n _ m M m M

*1 ^g2

1 2 ( R + R sin a ) ^z 2 ( R - R sin a )

M m M m

L'acceptance en énergie correspondante est:

A O Y ) RM - R

« _J! 21 (1.15)

PY R^M + R^m

Dans le cas du prototype de Saclay (données dans le tableau 1.7) elle vaut

±11% au premier virage et ± 15% dans les autres. L'acceptance en phase (définie au §1.4) correspondant à ±11% est approximativement 55* (2.A<J>), en supposant une loi d'accélération sinusoïdale. Des calculs plus précis montrent que cet ordre de grandeur est valable.

Figure 1.10 : a) Effet de spectromètre b) inclinaison maximale 1*4 Forme temporelle du courant

A cause de l'alternance du sens du champ électrique, un accélérateur radiofréquence ne peut pas accélérer les électrons en continu, mais seulement pendant une partie de la période H.F. La largeur de cet intervalle de temps s'appelle l'acceptance en phase et s'exprime usuellement en degrés. Dans le cas du Rhodotron, une partie des électrons, injectés au premier passage avec des phases très différentes de celles donnant l'énergie nominale, traversent une fois la cavité et sont filtrés par le premier déviateur. Il en résulte que l'acceptance totale de la machine est inférieure à l'acceptance du seul premier passage. H convient d'ajouter que le paquet est succeptible de se regrouper le long du parcours, alors l'extension en phase à la sortie du dernier passage peut être plus petite que l'acceptance. Finalement le courant est une succession périodique de micro-impulsions, de largeur x , séparées d'une période radiofréquence T = 1/f .

Si le courant issu du canon est continu, tous les électrons injectés en dehors de l'intervalle d'acceptance vont se perdre dans les parois de la cavité et surtout dans celles des déviateurs et y déposer l'énergie cinétique qu'ils ont acquise. Compte tenu des puissances mises en jeu (plusieurs dizaines de kW), de tels échauffements locaux peuvent être destructeurs. D est possible d'annuler ces pertes en hachant l'injection à la fréquence HF ou en intercalant un groupeur, de manière à n'envoyer les électrons que pendant l'intervalle d'acceptance (la seconde solution étant moins efficace car il restera toujours des électrons hors de cette fenêtre).

Dans la première phase de développement du prototype de Saclay, des canons à courant continu ont été utilisés. Afin de se rapprocher au mieux des conditions de fonctionnement nominales (en particulier de la valeur du courant dans la micro-impulsion), tout en évitant les échauffements indésirables dus aux électrons hors de l'acceptance en phase, l'injection a été réalisée périodiquement avec un faible cycle utile. Cela signifie que les micro-impulsions étaient contenues dans une macro-impulsion de durée x (plusieurs dizaines de |xs dans notre cas) et de période T (plusieurs ms), ces deux paramètres pouvant a priori être ajustés librement La majorité des accélérateurs radiofréquence fonctionnent en macro-impulsions, la principale raison étant la limitation en puissance continue des générateurs H.F, qui délivrent leur puissance maximale pendant quelques us ou quelques dizaines de

\is [6]. Ce constat concernera aussi le Rhodotron si on désire augmenter d'un ordre de grandeur la tension dans le plan médian (§1.5.5).

Définissons donc le courant crête I, le courant moyen dans la macro-impulsion I , et le courant moyen I

moy

I = î —£- .9 1 = 1 — — (1.16)

rr* moy np

HF m

où 9 est le facteur de forme de la micro-impulsion, il vaut 1 pour une impulsion carrée. Le rapport X / T est appelé cycle utile de l'accélérateur.

Ce que nous appelons une émission continue est en fait un fonctionnement sans macro-impulsion, c'est-à-dire avec un cycle utile égal à l'unité.

u

i Mkmm numm

n

Z, V . : 5=_

Figure 1.11 : Forme temporelle du courant L5 Performances liées à la haute fréquence

Afin de ne pas surcharger les formules de ce paragraphe, nous désignerons f , X^w par f et X.

1.5.1 Pertes H.F; rendement

Des courants circulent sur les surfaces internes de la cavité qui ont une résistivité non nulle. Alors, le fait de maintenir dans le plan médian la tension requise pour une accélération donnée se fait au prix d'une dissipation d'énergie par effet Joule. La puissance en question P. doit être fournie par le générateur H.F (puissance P ) en supplément de la puissance utile, c'est-à-dire celle acquise par le faisceau P^f (P^f = I N.V-j). Le rendement H.F est défini ainsi:

P^f P^f 1

1 U - —=- - — - (1.17)

Pg ^Pf^{+ P}j ^{l + ?}fi

Dans la pratique, le rapport Pyp. dépasse rarement 70% dans les machines continues. En effet, le transfert d'énergie de la cavité vers le faisceau s'accompagne d'une chute du champ accélérateur. Cet effet est appelé "beam loading" [7] et doit être compensé. Les performances du Rhodotron de ce point de vue n'ont pas encore pu être testées. Cependant, il est nécessaire de s'interroger sur la manière de dimensionner la machine, tout en limitant les pertes par effet Joule.

1.5.2 Coefficient de qualité et impédance shunt

Dans notre cavité coaxiale, comme dans les autres structures accélératrices,

qu'elles soient à ondes stationnaires ou à ondes progressives, la répartition des champs et des courants est totalement déterminée par la géométrie. Lorsque la tension accélératrice augmente, les champs électriques et magnétiques ainsi que les courants dans les parois augmentent dans le même rapport, tandis que les pertes ohmiques, proportionnelles au carré du courant, augmentent comme le carré du rapport des tensions. On peut alors associer à une structure une grandeur qui ne dépend que de sa géométrie et de la fréquence de fonctionnement et qui qualifie son aptitude à donner une accélération pour une puissance injectée donnée. Cette grandeur est homogène à une résistance et s'appelle l'impédance shunt [5]:

u

,

Z^c = — ^ (1.18)

Bien que cette expression ait l'avantage de se déduire des seules caractéristiques H.F, on lui préférera l'impédance shunt effective Z , qui

SI I

prend en compte le temps de transit des particules (§1.2.3) et rend ainsi mieux compte de la qualité de la cavité en tant que dispositif accélérateur.

2

V f f ²

Z = _ l l L = z F (1.19)

srr p s TT '

Il s'agit bien entendu de maximiser cette quantité.

L'intérêt de la recirculation est manifeste puisque la tension totale vue par les électrons est multipliée par N tandis que la puissance dissipée reste identique, alors que si l'on multiplie par N la tension sur un seul passage, il faudra dissiper une puissance N fois plus élevée. On peut alors dire que faire recirculer N fois le faisceau équivaut à améliorer d'un facteur N² l'impédance shunt effective de la machine.

Le coefficient de qualité est défini par le rapport entre l'énergie stockée W et l'énergie perdue par effet Joule:

j

Il intervient indirectement dans le rendement puisqu'il mesure aussi les pertes. Par contre, le rapport entre l'impédance shunt et le coefficient de

qualité est totalement indépendant des phénomènes dissipatifs en surface et est totalement donné par la répartition des champs et la fréquence [8];

d'après (1.19) et (1.20):

Zrrr ^{l V} , ,

STT e f f

Qo ²*^f„ P ^We m

(1.21) Z /O mesure la quantité d'énergie à stocker pour avoir une accélération donnée. On aura intérêt à avoir une grande énergie stockée dans la cavité du Rhodotron de telle sorte que la quantité d'énergie prélevée par chaque micro-impulsion perturbe le moins possible le niveau du champ.

1.5.3 Configuration optimisant l'impédance shunt

Les calculs de l'impédance shunt et du coefficient de qualité sont explicités en annexe 2. Les résultats présentés concernent les modes TEM qui peuvent de la même manière servir à accélérer les électrons. En effet, pour ces résonances en p.X/2 à la fréquence p.c / 2.h, il existe p plans ayant un champ magnétique nul et un champ électrique maximum avec une variation radiale en

1/r. Le matériau est du cuivre de résistivité p = 1.7 10'⁸flm.

In ^

Q, (TEM^p) = 93.3 10³ / p i ;^{[ m ] R fc} ' — d-22)

Pour une hauteur de cavité fixée, le coefficient de qualité est d'autant meilleur que l'ordre de l'harmonique est élevé.

Pour les modes pairs, le champ électrique étant nul dans le plan médian, l'impédance shunt est définie dans un des plans correspondant à un ventre de champ électrique.

Z^s = Ç(f) . ARj, R^e, h) Z ^ = Ç(f) . g(R^[t R^c, h) avec

350

[MQ] / p = 28.5 _/ '[m]

[MHz]

(1.23)

et

/ ( R ^ h ) =

^2 In

*7

1 , 1 R T⁺*

( ^ )

^(R^c,R^{i ?}h) =

f2 it R J

i

U

In C x h l nR T ⁺ 5

(2 n Rjl

( * • * )

Le mode fondamental (p = 1, h = A/2) donne la meilleure impédance shunt Pour une fréquence donnée, déterminons les rayons des conducteurs de manière à optimiser l'impédance shunt effective du TEM. On définit les variables réduites: x = RJk et x.= R./X, alors:

yoyyo =

xe

xi

g(R^c,Rj,h) = - i

S . ( 2 K x^e) - S . ( 2 * x . )

1 - 1

VxJo

Z S T T

0,8 R , / L a m b d a

CO r-g

V>d°

«« 0.8 — J — J _ A I L_

0.6 0.4 0.2 0

. | _ - - 4 — - I 1 - — I —

• f - / H — H 1-—I- I- / _ⁱ— . , ,_—y ,.

• 1 — i — r — r — r

i — i — T ~ T — r — [ '

J I I I I

d) ^{0.2 0 . 4} _{R# M l}^0.6 / L a m b d a ^0.8

Figure 1.12 -.Variation de l'impédance shunt avec les rayons des conducteurs a) Z normalisée à sa valeur maximale; b) Zf^xa ; c) Lignes à impédance shunt effective constante (espacées de 10% de la valeur maximale), et lieu des R. optimisant Z pour R donné, d) Valeur maximale de Z (normalisée à la valeur optimale) pour R donné

La variation de ces fonctions est reportée sur la figure 1.12:

- Z est d'autant meilleur que R. est grand car la résistance des parois est inversement proportionnelle à leur circonférence. Si R, est fixé, Z est optimale pour un rayon intérieur R. qui est un compromis entre une forte tension (R- petit) et de faibles pertes (R. grand).

- Z présente un optimum pour le couple de valeurs: R » 0.48 A, R. « 0.078 X.

176

STT [Mfl]

y '[MHz]

=

/ T

[m] ^(1.24)

Cette géométrie optimale donne le coefficient de qualité suivant:

564 10 ³

O = (1.25)

V f [MHz]

Le rayon extérieur qui optimise l'impédance shunt effective est à peu près égal à une demi-longueur d'onde, il est donc tel que la particule reste dans un champ ayant toujours le même signe pendant le temps maximal, soit une demi-période H.F (le facteur de temps de transit dans ce cas est F _ = 0.75).

Toutefois, le choix de cet optimum présente un inconvénient majeur, celui de doubler l'encombrement de la machine et la longueur des trajectoires. En effet, comme nous l'avons montré au §1.3.1, la longueur de parcours entre deux passages au centre de la cavité L doit être un multiple de X. Or le choix de la géométrie optimale pour le rendement conduit à un diamètre qui est quasiment égal à X, donc il faut au minimum une distance L égale à 2X.

Afin de ne pas doubler la taille de la machine, il faut choisir un rayon extérieur de l'ordre de 0.3 X comme nous l'avons montré dans le tableau 1.2, ce qui donnera une l'impédance shunt effective environ deux fois plus faible que la valeur optimale.

L'impédance shunt varie donc comme f^m, on aura alors tout à fait intérêt à travailler à la fréquence la plus basse possible, compte tenu de l'encombrement que l'on tolère.

1.5.4 Comparaison avec les performances énergétiques d'autres machines

La dernière conclusion est la plus frappante puisque, contrairement aux accélérateurs linéaires pour lesquels les hautes fréquences sont choisies pour améliorer l'impédance shunt, ici on cherche au contraire à fonctionner à une fréquence la plus basse possible. En fait, la comparaison n'est pas triviale car ces machines sont dimensionnées très différemment:

- Un accélérateur linéaire (appelé aussi linac) est une structure longitudinale périodique composée en général de cellules identiques mises bout à bout, si bien que son impédance shunt est mesurée par unité de longueur. On montre que l'impédance shunt linéique r (Z = r L) est proportionnelle à f^1/2 [8], ce qui incite à prendre des fréquences élevées. On peut augmenter l'impédance shunt en allongeant l'accélérateur: pour une tension accélératrice

donnée, si la longueur est multipliée par un facteur a, alors les champs sont divisés par a et les pertes linéiques par a , ce qui fait que les pertes totales sont divisées par a.

- Par contre, la longueur d'accélération sur un passage dans un Rhodotron est égale au diamètre 2.R qui est fixé par la fréquence.

Définissons dans un premier temps l'impédance shunt linéique du Rhodotron comme l'impédance shunt effective optimale (2.23) divisée par la longueur d'accélérat' n correspondante (2.R <* X); le résultat est approximativement le même dans la géométrie réelle puisque le rayon est divisé par deux et Z diminue de 50% environ.

ZS T T 10.2 .—.

ro [MG/m] " — — = ~ ^ r = ° ^{5 9} ^ M H z ] <^{1 2 6}>

(RHODO ) k V A., ,

On voit alors que dans le Rhodotron, tout comme dans un linac, l'impédance shunt linéique augmente avec la racine de la fréquence. On peut dans un premier temps comparer cette expression à celle que donnerait une cavité cylindrique de longueur infinie résonnant sur son mode TM [9]:

9 7

_ J~^

ro [Mfl/m] ^{= t} . ⁵'⁶ * ^f[MHz] ( L 2 7 )

<™o.o> ^{/ 3 l}[ m ]

Toutefois, ce cas idéalisé est plus défavorable au Rhodotron que les cas pratiques. En effet dans les linacs R.F on utilise souvent ce mode, mais on doit disposer des obstacles (par exemple des iris) avec une périodicité du même ordre que la longueur d'onde H.F (pour réduire la vitesse de phase des ondes progressives), si bien que des pertes supplémentaires non négligeables viennent s'ajouter. C'est pourquoi il est préférable de donner des ordres de grandeur à partir de données concernant des linacs existants. De nombreux exmples montrent que l'impédance shunt effective linéique est de l'ordre de 30 MO/m vers 500 MHz, et de l'ordre de 70 Mft/m vers 3 GHZ, soit environ 4 fois moins importante que pour une cavité cylindrique sans bords. Alors à fréquence égale, le Rhodotron a une impédance shunt linéique seulement 2 fois moins élevée. Le tableau 1.3 donne des exemples de Rhodotrons calculés pour 6 passages.

R^e( m ) Z ^m (Mû) r^Q (MÛ/m)

100 MHz 0.96 13.1 6.8

200 MHz 0.49 9.25 9.4

500 MHz 0.19 5.85 15.4

Tableau 13 : Performances H F de Rhodotrons (N=6 passages) pour différentes fréquences

D est alors possible de comparer, pour une même accélération totale, les puissances dissipées dans les parois des deux types de structure. Il convient cependant d'ajouter les contraintes sur la fréquence et sur l'encombrement:

- Si la fréquence est imposée, alors l'impédance shunt linéique du linac est deux fois plus importante que celle du Rhodotron; sinon nous comparerons les configurations extrêmes, un Rhodotron à 100 MHz et un linac à 3 GHz, auquel cas le rapport des impédances shunt linéiques est de 10, en faveur de la structure linéaire.

- Si on impose un encombrement identique (ou plus exactement la même longueur accélératrice), alors le champ électrique du linac est N fois plus élevé; réciproquement, si le même gradient accélérateur est requis, le linac est N fois plus encombrant que le Rhodotron.

Cette mise en parallèle, résumée dans le tableau 1.4, montre que lorsque la fréquence n'est pas imposée, le Rhodotron dissipe moins de puissance dans ses parois, à partir de 3 passages si l'encombrement est le même, et seulement à partir de 10 passages à même gradient accélérateur. Par contre, l'intérêt du Rhodotron est indéniable lorsqu'on doit fonctionner à basse fréquence, puisque deux passages suffisent à réduire les pertes par rapport à un linac.

D est très important de signaler que d'autres facteurs que l'encombrement et l'impédance shunt doivent être pris en compte lors de la définition de la fréquence de fonctionnement. Une limitation vers les hautes fréquences est imposée par les puissances des tubes existant sur le marché ainsi que par leur prix. D'autre part, une fréquence élevée signifie une petite cavité donc plus de contraintes sur la précision mécanique et moins de surface pour dissiper les pertes, ce qui rend d'autant plus délicat le problème du refroidissement.

Rhodotron 100 MHz même Linac 3 GHz fréquence

(^ V ^ x N passages

i

10 2

N N

^ ! ^{N V} : T

N N

^ i i *

N.L mime gradient

/ V A x N passages

L

10 2

N

N

| ^{N V} |

N

N

mémeenc iombrement

Tableau 1.4: Pfo^J P*^ » rapport des puissances dissipées par effet Joule dans te Rhodotron et dans un linac, pour une même tension accélératrice.

L5.5 Limitation de la tension accélératrice

La première limitation est bien entendue liée à la puissance des générateurs disponibles. En fonctionnement continu et à des fréquences de l'ordre de 100 MHz, on pourra trouver des tubes de plusieurs centaines de kW, voire de l'ordre du MW [10]. Au moins la moitié de cette puissance devra être communiquée au faisceau afin de garantir un rendement suffisant On peut alors raisonnablement envisager P. « 300 kW continus ce qui correspond à une accélération par passage V^{f t f f} « 3 MeV, étant donné que l'impédance shunt est