13 Particules chargées
13.1 Avant-propos
Le comportement de particules chargées placées dans des champs électromagnétiques est surprenant.
Les collisions successives d’un proton avec d’autres corps produit dans l’image qui suit pas moins de 26 nouvelles particules chargées dont les trajectoires nous renseignent sur leurs propriétés de masse ou de charge.
Fig. 13.1 – Particules chargées dans une chambre à bulle - energy.gov, domaine public
Comment déduire la masse d’une particule avec une telle photo ? Il suffit de lire la suite !
13.2 La force de Lorentz
13.2.1 Loi de force
Le chapitre introductif à la mécanique nous a permis d’exprimer une première fois la loi de force de Lorentz. On la rappelle ici :
Loi de force de Lorentz
On appelleloi de force de Lorentzla relation permettant d’exprimer la force subie par une particule de chargeq et de vitesse #”v soumise à un champ électrique #”
E et un champ magnétique #”
B :
#” #” #” #”
13. Particules chargées 13.2. La force de Lorentz
Cette force comporte deux composantes, l’une dite électrique, #”
FE =q#”
E, et l’autre, ditemagnétique, F#”B =q#”v ∧ #”
B, que nous étudierons séparément.
13.2.2 Propriétés
Le calcul de la puissance de la force de Lorentz donne un premier résultat intéressant : P#”
FL
=q#”
E+ #”v ∧#”
B·#”v =q#”
E·#”v
Ainsi, le théorème de la puissance cinétique, appliqué à une particule chargée uniquement soumise à la force de Lorentz magnétique, permet de voir que l’énergie cinétique se conserve dans ce cas, et qu’un champ magnétique ne peut que dévier une particule mais ne peut pas modifier la norme de sa vitesse.
Champ électrique, champ magnétique & mouvement de particules
On retiendra les idées suivantes : – Un champ électrique #”
E peut accélérer, freiner et dévier une particule chargée ; – Un champ magnétique #”
B ne peut que dévier une particule, sans modifier la norme de son vecteur vitesse.
La comparaison des diverses forces en présence est également instructive. Considérons un ion de masse m=A uma, où 1 uma '1,6×10−27 kg et A est son nombre de masse, et de chargeke où k∈Z avec
|k| ≤Z où Z est le nombre de charge et e= 1,6×10−19 C est la charge élémentaire.
La valeur du champ électrique nécessaire pour compenser le poids est donc telle que mg
qE '1⇔E' A
k ×10−7 V.m−1
En prenant l’élément le plus lourd du tableau périodique A= 266 et la charge la plus faible |k|= 1, le champ électrique est de l’ordre de E = 10−5 V.m−1. On pourra évaluer cette valeur en la comparant à au champ électrique présent dans un œil humain au repos qui est de l’ordre deE = 10−2 V.m−1 pour conclure que le poids sera toujours négligeable devant la composante électrique de la force de Lorentz.
De même, en considérant le même ion et le champ magnétique terrestre, qui est de l’ordre de BT ' 10−5 T, on établit que :
mg
qvB '1⇔v ' A
k ×10−3 m.s−1
Avec les valeurs de l’exemple précédent, la vitesse minimale de v = 0,1 m.s−1 peut paraître élevée, mais elle est à comparer avec les vitesses usuelles d’une particule chargée qui sont plutôt de l’ordre de v '103 m.s−1. On conclura également que le poids sera toujours négligeable devant la composante magnétique de la force de Lorentz.
Force de Lorentz & poids
On retiendra que la force poids est très généralement négligeable devant les composantes électriques et magnétiques de la force de Lorentz.
13. Particules chargées 13.3. Champ électrique & mouvement
13.3 Champ électrique & mouvement
13.3.1 Trajectoire d’une particule chargée
L’étude de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme ne pose pas de problème particulier. Elle est très similaire à celle d’un point matériel soumis à son poids.
Exemple
On considère une particule chargée de masse m et de charge q, soumise au champ électrique E#”=E0#”ez dans un référentiel supposé galiléen. La particule est initialement au point origine du repère O où elle a une vitesse initiale #”v(t= 0) =v0#”ex. On souhaite établir sa trajectoire.
Le mouvement étant inconnu, la base de projection cartésienne paraît la mieux adaptée. En négli- geant le poids, le principe fondamental de la dynamiques’écrit donc :
m#”a =qE0#”ez⇔
m¨x= 0 m¨y = 0 m¨z=qE0
Deux intégrations successives, et les conditions initiales permettent de conclure que :
x(t) =v0t y(t) = 0 z(t) = qE2m0t2
⇔z(x) = qE0 2mv02x2
On retrouve une trajectoire parabolique, comme pour la chute libre, qui pourra néanmoins être de convexité différente en fonction du signe deq.
Même si les champs électriques peuvent dévier des particules chargées, on les utilise plutôt pour accélérer les particules chargées pet leur communiquer un très grande vitesse.
13.3.2 Notion de potentiel électrique
Si le but d’un champ électrique est d’accélérer une particule et de lui donner une nouvelle vitesse, un théorème énergétique est plus rapide à utiliser que le principe fondamental de la dynamique. Le travail de la force de Lorentz est
WF = ˆ F
I
δWF = ˆ F
I
q#”
E·#”
d`
On verra en deuxième année qu’en régime permanent, on peut définir une grandeur, notéeV, appelée potentiel électrique, telle que : dV =−#”
E·#”
d`.
Ce potentiel électrique est celui que l’on retrouve en électrocinétique lorsque l’on définit la différence de potentielU =VA−VB aux bornes d’un dipôle AB.
Potentiel électrique
On appelle potentiel électrique la grandeur scalaire notée V, exprimée en volt (V), qui s’exprime en régime permanent selon :
dV =−#”
E·#”
d`
Cette grandeur permet de voir que la force de Lorentz est conservative, et que l’on peut lui associer une énergie potentielle électrique.
13. Particules chargées 13.4. Champ magnétique & mouvement
Énergie potentielle électrique (de Lorentz)
On appelleénergie potentielle électriquela grandeur scalaire exprimée en joule (J), ou en coulomb- volt (C.V), telle que :
Ep,Lorentz =qV + cste
où q est la charge du point matériel, et V le potentiel du pointM où il se trouve.
Exemple
On considère un électron, de charge q = −e et de masse m, placé au centre d’une plaque O de potentielVO, sans vitesse initiale. On place une deuxième plaqueP à une distancedde la première, que l’on amène au potentiel VP. On note U = VP −VO la différence de potentiel entre les deux plaques.
O
•
P
#”ex
#”ez
d
Fig. 13.2 – Particule chargée entre deux plaques de potentiels différents
Les forces en présence se résument à celle de Lorentz électrique, qui est conservative, et en associant la base de projection représentée à un référentiel galiléen, on peut écrire le théorème de l’énergie mécanique :
∆Em= 0⇔ 1
2mvP2 −0 +q(VP −VO) = 0 On en déduit que :
v2P =−2q mU
Avecq =−e, il faut donc une différence de potentielU >0 et doncVP > VOpour amener l’électron de O à P, où il aura la vitesse :
vP = r2e
mU
On remarquera que cette vitesse est indépendante de la distancedentre les plaques.
13.4 Champ magnétique & mouvement
13.4.1 Pulsation cyclotron
L’étude de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme est un peu plus complexe. Le programme officiel limite donc cette étude à celle des mouvements circulaires où le vecteur vitesse initial est perpendiculaire à #”
B.
Sous cette hypothèse, on associera une référentiel galiléen à la base de projection cylindrique, telle que :
– le vecteur #”ez soit colinéaire et de même sens que #”
B;
– les vecteurs unitaires #”er et #”eθ forment une base directe, telle que −−→
OM =R#”er+z#”ez où R est le rayon de la trajectoire etz la côte à laquelle a lieu cette trajectoire.
13. Particules chargées 13.4. Champ magnétique & mouvement
x
y z
B#”
θ R
z M•
#”er
#”ez
#”eθ
Fig. 13.3 – Champ magnétique et base de projection pour l’étude du mouvement circulaire
L’écriture du principe fondamental de la dynamiqueen coordonnées cylindriques, avec r =R = cste, amène au système suivant :
m
−Rθ˙2 Rθ¨
z¨
=q
0 Rθ˙
z˙
∧
0 0 B
=
qRBθ˙
0 0
À l’aide de l’hypothèse #”v(t= 0)⊥ #”
B, on en déduit les résultats suivants : – z= cste et le mouvement est plan ;
– ˙θ=−qBm et le mouvement est circulaire <em>uniforme</em>,ωc=θ˙est appelée <em>pulsation cyclotron</em>.
Pulsation cylotron
On appelle pulsation cyclotronla vitesse angulaireωc à laquelle une particule chargée placée dans un champ #”
B uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ parcourt sa trajectoire.
La pulsation cyclotron vérifie :
ωc= |q|B m
On remarque que la pulsation cyclotron est indépendante de la valeur de la vitesse initiale.
13.4.2 Rayon cyclotron
Si la vitesse angulaire et le rayon de la trajectoire sont constants alors la norme de la vitesse,k#”vk=Rθ,˙ l’est également. On en déduit l’expression du rayon de la trajectoire qui, par contre, est fonction de la vitesse initiale.
Rayon cyclotron
On appelle rayon cyclotron le rayon Rc de la trajectoire d’une particule chargée placée dans un champ magnétique #”
B uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à #”
B. Le rayon cyclotron vérifie :
Rc= v0
θ˙
= mv0
|q|B
