Détermination de la fonction de Green

n . grad G = 0 sur le contour e' (2.7) Rappelons la condition aux limites sur le champ (2.3):

-» »

n . grad H = 0 sur le contour E

Ainsi le contour d'intégration dans l'équation (2.6) se réduit à la partie tronquée:

H(r,z) « - J H ( r⁰,^{Z ( )}) grtd G f r A T ^ i ï T^Q à\^Q (2.8) ABUCD

Finalement, il suffit de connaître le champ H sur les parties tronquées pour le déterminer en tout point de la cavité. Le problème se ramène à déterminer la fonction H(r,z) uniquement sur les segments AB et CD en l'identifiant avec une intégrale de cette même fonction.

II.2.5 Détermination de la fonction de Green

La procédure est décrite dans l'annexe 4. Rappelons simplement que la fonction de Green vérifie:

'a² a² l a 2 1 * + + _ _

dz dr r dr 1 a

- — ( r G(r,z)) = 0 en r = R. et r • R r 8r

G(r,z) = ôir-rj . ô(z-^{Z o})

aG(r,z) h h

= 0 en z = + et z =

-dz 2 2

Le spectre des fonctions propres de £ étant complet, la fonction de Green est une combinaison linéaire de ces fonctions propres qui décrivent les modes propres TEM et TM de la cavité coaxiale:

G(r,z,r^o,^{Z o}) =

h n = 0 p = 0 ^Sn ^{A k}n p ^^{h 2} ' ^{l h 2} ' (n,p)*(0,0)

avec:

e 2 2 2 , »2

» : = I B l (r)r dr et A k „ = k. - k^-' ^p* '

- ^{r e} -, 2 2 2

£ = I K (n j n n p o c ^f)r dr et Ak = k - k R. i

Ç(0) = I Ç(p*0) = 1

Rappelons que B^Q(T) = ^ k^{C ( )}= 0 et *ⁿ(r) = Aⁿ J ^ r ) + Bⁿ Y ^ r ) , où k et le rapport entre A et B sont déterminés par les conditions aux limites sur les conducteurs [9] (voir l'annexe 3); n est le nombre de fois où le champ magnétique H« et le champ électrique radial E s'annulent entre les deux conducteurs. On peut de plus normer les fonctions B (t) par:

£

^{R C}

^{V ) * -}

¹

^-

^{n^}

Elles sont représentées sur la figure 2.7 dans le cas particulier du prototype (RJR. = 4). Les coefficients de la double somme (2.9) sont déterminés en effectuant la projection (c.à.d le produit scalaire) de l'équation (2.4) sur chaque fonction de base (ou mode) de la cavité coaxiale (annexe 4).

Figure 27 : Base de décomposition de la fonction de Green IL? f Equation aux valeurs propres

La cavité étant symétrique par rapport au plan z = 0, les modes de la cavité tronquée sont symétriques ou antisymétriques en z. On peut alors ne considérer qu'un quart de coupe de cavité, par exemple la partie supérieure, ce qui limite le domaine de recherche de la fonction inconnue au segment CD; il faudra selon que Ton cherche les modes antisymétriques ou syndiques ne sommer dans la décomposition de la fonction de Green (2.9) que sur its indices p impairs ou pairs. (2.8) et (2.9) donnent l'équation intégrale:

*» oo I pji h »

mi>

' L> l '* *»

^{w c o s}

( ^T

^{( z +}

i )

^<210)

(piin ou ioiptirt)

8 Ç(P)

Il en découle que le champ dans la cavité tronquée s'exprime comme une combinaison linéaire des modes de la cavité coaxiale, la partie biaisée du cylindre se comportant comme une source de champ qui exciterait chaque mode avec le coefficient f .

np

D faut péciscr ici que le terme y de (2.9) tient compte d'un facteur multiplicatif 2 qui doit être affecté au terme de droite de l'équation (2.8) [4] [6]. En effet la fonction mathématique H(r,z) présente une discontinuité lors de la traversée du tronc de cône (non nulle à l'intérieur de la cavité, nulle à l'extérieur), or elle est exprimée sous la forme d'une somme de fonctions continues sur cette transition Qes fonctions de Bessel et cosinus s'étendent au delà de la discontinuité). La théorie de Fourier-Bessel montre que la valeur vers laquelle converge la série est la moyenne entre les limites de part et d'autre de la discontinuité; ceci justifie la correction par un facteur 2 de l'expression en série du champ sur le tronc de cône.

Il est maintenant nécessaire de discrétiser la fonction H(r ,ZQ) sur le segment CD, afin de pouvoir la déterminer numériquement Nous allons découper le segment CD en Ns sous-segments de même longueur 5, sur lesquels nous considérerons que le champ H est constant et a la valeur H. du point milieu (r.,z.) (figure 2.8).

H^:

1 :

Figure 2.8 : Discrétisation de la fonction H inconnue

Le terme source est alors la somme des contributions élémentaires de chaque segment:

La fonction H en tout point "d'observation" (r,z-) s'écrit donc comme une combinaison linéaire des champs aux points "source" (r-,z-). Alors l'équation intégrale (2.11) s'écrit sous forme matricielle:

M - M h)

^(2.12)

Les fréquences qui annulent le déterminant DET ( I - A ) sont les fréquences de résonance et les vecteurs propres correspondants permettent de déterminer la forme des champs. La variation du déterminant en fonction de la fréquence est représentée sur la figure 2.9, dans la configuration du prototype. Les singularités correspondent aux résonances de la cavité coaxiale (annulation du terme Ak ²); les zéros sont les fréquences de résonance de la cavité

np ' ^ tronquée.

n.3 Résultats

Vérifions la validité de la R. * 0.1125 m R, = 0.45 m

méthode sur le cas du prototype réalisé h = 0.916 m Z„ = 0.298 m

c 6^C = 34.4*. Pour cette géométrie nous pourrons comparer les résultats d'une part avec ceux des simulations de SUPERFISH et d'autre part avec les mesures.

DETfoE-flO Figure 2.9 : Dépendance en fréquence du déterminant; traits pleins: modes antisymétriques, pointillés: modes symétriques.

n.3.1 Convergence de la méthode

Dans la simulation numérique, trois degrés de liberté existent: le nombre de segments N subdivisant la partie tronquée du contour, les nombres n^{m a x} et p _^{a x} qui définissent les périodicités les plus élevées dans la décomposition modale. Pour simplifier l'analyse des résultats nous prendrons n » p_„., = NL „, soit une décomposition sur le même nombre de fonctions dans

max ^rmax max ^r

les deux directions r et z. Le tableau 2.1 donne la fréquence obtenue pour différents échantillonnages. Ces résultats sont ensuite portés sur la figure 2.10 qui donne l'écart relatif avec la fréquence donnée par Supertïsh soit 178.90 Mhz.

!max N

Tableau 2.1 : Convergence de la valeur de la fréquence du mode fondamental

I

Figure 2.10 : Convergence de la valeur de la fréquence du mode fondamental; en ordonnée, la différence relative avec la valeur théorique calculée par

éléments finis.

Nous constatons que, quelle que soit la précision de la décomposition modale, la fréquence converge nettement pour un nombre de segments de l'ordre de 20.

La taille maximale de la matrice traitée sera donc de 20X20 termes. D'autre part, dès que N est supérieur à 30 la précision du résultat est meilleure que 10'. En guise de comparaison, le maillage utilisé pour cette exécution de SUPERFISH donne environ 15 points de calcul sur la partie tronquée et 60 points sur la hauteur totale, à rapprocher du nombre de zéros de la fonction cosinus avec p = 30.

H.3.? Reconstitution du champ

On reconstitue donc le champ magnétique en tout point de la surface à partir des valeurs sur les points discrets du contour (2.10) (2.11). La figure 2.11 montre le résultat de cette reconstitution: on vérifie que le champ tend vers zéro du côté extérieur du segment biaisé CD, en passant par la valeur intermédiaire prévue au §11.2.6 sur la frontière. Mais cette discontinuité s'accompagne d'oscillations de Gibbs, qui sont d'autant plus localisées que le nombre de modes est élevé.

n.3.3 Modes d'ordre supérieur

Les annulations successives du déterminant (2.12) correspondent aux modes d'ordre supérieur ayant la symétrie de révolution et un champ magnétique purement azimutal. Dans le tableau 2.2 nous donnons les fréquences de résonance calculées par SUPERFISH, par notre méthode intégrale, mesurées sur le prototype, et nous les rapprochons de celles des modes correspondants de la cavité d'origine. Nous voyons que la déformation de la cavité est assez peu importante, si bien que l'on retrouve les modes de la cavité coaxiale assez peu décalés en fréquence. On peut voir sur la figure 2.12 la déformation des lignes de champ calculées par SUPERFISH. Il est intéressant de noter qu'il n'est absolument pas utile de calculer les composantes E et E pour calculer les lignes de champ électrique puisque d'après (2.1) on montre que ce sont les courbes isoniveau de r.H(r.z):

dr E

— = — « THA = constante

dz E^z °

z-.

/

/ z.

2*

z«

p

, 1

/ /

- 0 . 5 «

0 0.1 0.2 0,3 0.4 0 0,1 0 , 2 0,3 0,4

H

0 , 5 _

1 1

\ i

i • i

- ATYUL

^ ^ L

1 • i . i

b)

0 0,1 0,2 0,3 0,4 o 0,1 0 , 2 0 , 3 0,4

H 'r : j : — •

0,5- C N S S ^ ! ^ 7. -I 0,SU

*** U - 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 0.1 0,2 0,3 0,4

RAYON(P) ALTITUDE(Z)

Figure 2.11 : Reconstitution du champ magnétique en fonction de la décomposition de la fonction de Green a) N ^m « 10, b) N = 10, c) N = 70

max max max

a)

b)

Figure 2.12 : Déformation des lignes de champ électrique pour des modes à symétrie de révolution; (calcul par SUPERFISH); a) TEM^X, b) TEM^f c) TEM^y

Dans le document - Note CEA-N CEA-N-2721 (Page 67-77)