OPTIQUE DU FAISCEAU D'ELECTRONS
III.3.1 Rappel des hypothèses et des notations a) Le système de coordonnées
Le système de coordonnées employé est représenté sur la figure 3.4. L'axe optique Oz, dirigé dans le sens de propagation du faisceau est défini géométriquement:
• dans la cavité et les espaces de glissement situés de part et d'autre, l'axe optique est le segment de droite passant par l'axe des trous et donc exactement par le centre de la cavité 0;
précédents et qui leur est tangent Qc point de raccordement correspond à la limite magnétique de l'aimant [5]).
Figure 3.4 : Système de coordonnées
Nous appellerons particule idéale celle qui suit exactement ce trajet et nous lui attribuerons l'exposant ( 0 >; c'est elle qui permet le calcul de la position des aimants selon la procédure donnée au §1-3. Tout électron du paquet est repéré par rapport à cette particule de référence par les six coordonnées suivantes (x , P , y , P , 8z , 5P ). Nous utiliserons plutôt les coordonnées suivantes: (x , x' , y , y' , 5z , 5P/P) où:
dx P P dy P P X' = — . JE « - ï y ' = _ « _ Z « _ y .
dz P P dz P P 8P
P
8 Pz
— (3.4)
Pz
De plus, pour des vitesses ultra-relativistes, l'écart relatif en quantité de
AP
=A M
=A y . i _ « el
( 3 5 )P pY y ' p2 Y
Dans la mesure où les vitesses des particules sont presque identiques, leurs positions longitudinales peuvent se mesurer en unité de temps: nous associons à chacune l'instant t- auquel elle passe par la cote z du point O (centre de la cavité pour le i passage), ainsi que la phase H.F t0 =t 0 *;• Une particule en avance (8t. et ôé < 0) est en avant de la particule de référence (Ôz > 0).
&
»
>o
=- V
&- - j ï c
6 z ( 3 6 )On considérera que le paquet, ou plus exactement l'ellipsoïde équivalent, est centré sur la particule idéale et s'étend entre les coordonnées: ±Ax, ±Ax\
±Ay, ±Ay\ ±Az, ±AP/P. Ces valeurs limites valent exactement deux fois les écart-types de la distribution (Annexe S). L'émittance au sens statistique (3.3) est dans le cas d'un paquet centré sur la particule idéale:
Ex = 4 / < x2> <x'2> - <x x ' >2 (3 7 ) Désormais e et e désigneront les émittances projetées, c'est-à-dire celles
x y
qui correspondent à la statistique sur le paquet entier; dans les cas contraires nous mentionnerons explicitement qu'il s'agit de l'émittance d'une section transverse à une cote z fixée.
bj Hypothèses et corollaires du calcul linéaire
Entre deux plans définis par z = z et z = z. sur la trajectoire en forme de rosace, la transformation du vecteur à six dimensions décrivant un électron quelconque est obtenue par une combinaison linéaire de la transformation des coordonnées de six vecteurs particuliers seulement Cela se traduit par la multiplication par une matrice de transfert:
W -
T<Ve> W
Cela implique que les termes du second ordre sont négligés dans les équations
du mouvement. C'est le cas, par exemple, du terme V .B qui intervient dans y x
l'expression de la composante F de la force dans la cavité (Annexe 6). En effet B est proportionnel à y et V a y'. Comme nous le verrons dans l'étude
A y
de la cavité et des déflecteurs, 5z et ÔP/P n'influent sur la trajectoire dans le plan yz qu'au second ordre. D'autre part le champ magnétique axial B , qui est seul à pouvoir coupler les directions x et y per l'intermédiaire des vitesses x' et y', est nul dans les déflecteurs, et il est du premier ordre en y dans la cavité et en bordure des aimants et donc crée une force du second ordre. Par conséquent le plan (y,y') est découplé du reste de l'espace des phases au premier ordre, ce qui nous permettra de manipuler séparément les matrices de dimension 2 du plan (y,y') et les matrices de dimension 4 de l'espace (x, x', ôz, 5p/p). De plus, dans la cavité (x,x') et (5z,8P/P) pourront être traités séparément Alors remittance normalisée dans le plan (y>y') (P Y e v ) se conserve sur toute la trajectoire, alors que dans le plan (x,x') P y £ se conserve dans la cavité mais pas dans les déflecteurs.
Dans la nomenclature des matrices de transfert que nous adopterons, les indices c et A désignent respectivement la cavité et l'aimant et « , yy. &,
», désignent respectivement les espaces (x,x')r (y,y'), (ôz,8P/P), (x,x',5z,6P/P): T0**, T ^ , î *2 2, T0", 1e, T**2, TAyy, T*.
Il convient d'ajouter d'une part que l'effet de la charge d'espace est négligé et d'autre part que la plupart des calculs qui suivent reposent sur l'hypothèse ultra-relativiste (v = c). Ces deux hypothèses ne s'appliquant pas du tout pour le premier passage accélérateur, celui-ci sera traité différemment par la suite.
c] Signification des termes des matrices de transfert
Pour illustrer les propriétés du système optique dans le plan (x,x') ou (y,y'), il suffit de représenter les angles et positions (x et x') en z = z pour deux électrons particuliers, l'un entré parallèlement à l'axe optique (x. * 0 et x ' « 0 en z * z j , l'autre entré sur cet axe (x. * 0 et x ' *• 0 en z - z ) Les systèmes particuliers suivants sont représentés sur la figure 3.5:
- T = 0 : relation image-objet entre les plans z et z.
- T = 0 : z définit le plan focal image.
11 S
- T = 0 : z définit le plan focal objet.
- T = 0 : le système est afocal.
Figure 35 : Systèmes optiques particuliers III.3.2 Transport du faisceau dans la cavité Û Géométrie, notations
Les trajectoires s'écartant peu du plan médian, il est raisonnable de supposer que la déformation des lignes de champ liée à la conicité de l'extrémité du conducteur central (Chapitre II) n'intervient pas sur l'optique. Les champs sont approximativement ceux de la cavité coaxiale parfaite résonnant à la même fréquence; ils sont donnés par l'expression (2.1) que nous rappelons ici:
"* ^ o it "*
E(r,t,y) = —— cos 5jJ— cos cot ef
-» U _ -»
B (r,t,y) = - p - £ sin Zjf- sin cot e^
A l'instant de référence t = 0 le champ électrique est maximum et accélère un électron vers le centre de la cavité. Nous dirons d'un électron qu'il est aligné dans le plan (x,z) si x = 0 et x' = 0. Les plans de référence de la matrice de transfert coupent l'axe optique aux points A et D.
t>} Analyse qualitative
- Effet d'un désalignement dans le plan (x,z)
sur les lignes de champ. La convergence de ces lignes, propre à la structure coaxiale, a un effet focalisant dans le premier intervalle accélérateur et défocalisant dans le second. L'effet global sur un électron dépend donc de la manière dont il a été accéléré, autrement dit de sa phase de passage au centre de la cavité <t>Q. Au premier ordre un désalignement dans le plan horizontal n'induit pas de mouvement vertical. Un trajet non rectiligne dans le plan xz modifie seulement au deuxième ordre la phase et l'énergie (annexe 6).
Figure 3.6 : Focalisation dans le plan xz par les lignes de champ électrique - Effet d'un désalignement dans le plan (y,z)
Une particule qui s'éloigne du plan médian de la cavité voit un champ magnétique Bx non nul et subit donc une force principale - Je j V X B verticale dont l'effet est alternativement focalisant et défocalisant Le sens de cette force est représenté sur la figure 3.7 pour une particule qui passe au centre de la cavité avec la phase $ = 90*- Pour une phase $ différente, l'alternance des zones focalisantes et défocalisantes pourra être inversée, ce qui implique que l'effet global dépend de l'histoire de l'électron. Comme dans le plan (x,z), l'effet d'un parcours non rectiligne sur l'énergie et la phase est du deuxième ordre.
- Effet d'un écart en phase ou en énergie.
Une particule «vilement alignée ne sera pas défléchie quelles que soient son énergie et & phase initiales. Par contre un écart en phase à l'entrée se traduit par un écart en énergie à la sortie. Toutefois l'allongement ou le raccourcissement du paquet résultant de cette modulation de vitesse ne sera pas important car les vitesses sont ultra-relativistes.