La dernière conclusion est la plus frappante puisque, contrairement aux accélérateurs linéaires pour lesquels les hautes fréquences sont choisies pour améliorer l'impédance shunt, ici on cherche au contraire à fonctionner à une fréquence la plus basse possible. En fait, la comparaison n'est pas triviale car ces machines sont dimensionnées très différemment:
- Un accélérateur linéaire (appelé aussi linac) est une structure longitudinale périodique composée en général de cellules identiques mises bout à bout, si bien que son impédance shunt est mesurée par unité de longueur. On montre que l'impédance shunt linéique r (Z = r L) est proportionnelle à f1/2 [8], ce qui incite à prendre des fréquences élevées. On peut augmenter l'impédance shunt en allongeant l'accélérateur: pour une tension accélératrice
donnée, si la longueur est multipliée par un facteur a, alors les champs sont divisés par a et les pertes linéiques par a , ce qui fait que les pertes totales sont divisées par a.
- Par contre, la longueur d'accélération sur un passage dans un Rhodotron est égale au diamètre 2.R qui est fixé par la fréquence.
Définissons dans un premier temps l'impédance shunt linéique du Rhodotron comme l'impédance shunt effective optimale (2.23) divisée par la longueur d'accélérat' n correspondante (2.R <* X); le résultat est approximativement le même dans la géométrie réelle puisque le rayon est divisé par deux et Z diminue de 50% environ.
ZS T T 10.2 .—.
ro [MG/m] " — — = ~ ^ r = ° 5 9 ^ M H z ] <1 2 6>
(RHODO ) k V A., ,
On voit alors que dans le Rhodotron, tout comme dans un linac, l'impédance shunt linéique augmente avec la racine de la fréquence. On peut dans un premier temps comparer cette expression à celle que donnerait une cavité cylindrique de longueur infinie résonnant sur son mode TM [9]:
9 7
_ J~^
ro [Mfl/m] = t . 5'6 * f[MHz] ( L 2 7 )
<™o.o> / 3 l[ m ]
Toutefois, ce cas idéalisé est plus défavorable au Rhodotron que les cas pratiques. En effet dans les linacs R.F on utilise souvent ce mode, mais on doit disposer des obstacles (par exemple des iris) avec une périodicité du même ordre que la longueur d'onde H.F (pour réduire la vitesse de phase des ondes progressives), si bien que des pertes supplémentaires non négligeables viennent s'ajouter. C'est pourquoi il est préférable de donner des ordres de grandeur à partir de données concernant des linacs existants. De nombreux exmples montrent que l'impédance shunt effective linéique est de l'ordre de 30 MO/m vers 500 MHz, et de l'ordre de 70 Mft/m vers 3 GHZ, soit environ 4 fois moins importante que pour une cavité cylindrique sans bords. Alors à fréquence égale, le Rhodotron a une impédance shunt linéique seulement 2 fois moins élevée. Le tableau 1.3 donne des exemples de Rhodotrons calculés pour 6 passages.
Re( m ) Z m (Mû) rQ (MÛ/m)
100 MHz 0.96 13.1 6.8
200 MHz 0.49 9.25 9.4
500 MHz 0.19 5.85 15.4
Tableau 13 : Performances H F de Rhodotrons (N=6 passages) pour différentes fréquences
D est alors possible de comparer, pour une même accélération totale, les puissances dissipées dans les parois des deux types de structure. Il convient cependant d'ajouter les contraintes sur la fréquence et sur l'encombrement:
- Si la fréquence est imposée, alors l'impédance shunt linéique du linac est deux fois plus importante que celle du Rhodotron; sinon nous comparerons les configurations extrêmes, un Rhodotron à 100 MHz et un linac à 3 GHz, auquel cas le rapport des impédances shunt linéiques est de 10, en faveur de la structure linéaire.
- Si on impose un encombrement identique (ou plus exactement la même longueur accélératrice), alors le champ électrique du linac est N fois plus élevé; réciproquement, si le même gradient accélérateur est requis, le linac est N fois plus encombrant que le Rhodotron.
Cette mise en parallèle, résumée dans le tableau 1.4, montre que lorsque la fréquence n'est pas imposée, le Rhodotron dissipe moins de puissance dans ses parois, à partir de 3 passages si l'encombrement est le même, et seulement à partir de 10 passages à même gradient accélérateur. Par contre, l'intérêt du Rhodotron est indéniable lorsqu'on doit fonctionner à basse fréquence, puisque deux passages suffisent à réduire les pertes par rapport à un linac.
D est très important de signaler que d'autres facteurs que l'encombrement et l'impédance shunt doivent être pris en compte lors de la définition de la fréquence de fonctionnement. Une limitation vers les hautes fréquences est imposée par les puissances des tubes existant sur le marché ainsi que par leur prix. D'autre part, une fréquence élevée signifie une petite cavité donc plus de contraintes sur la précision mécanique et moins de surface pour dissiper les pertes, ce qui rend d'autant plus délicat le problème du refroidissement.
Rhodotron 100 MHz même Linac 3 GHz fréquence
(^ V ^ x N passages
i
10 2
N N
^ ! N V : T
N N
^ i i *
N.L mime gradient
/ V A x N passages
L
10 2
N
2N
2| N V |
N
2N
2mémeenc iombrement
Tableau 1.4: Pfo^J P*^ » rapport des puissances dissipées par effet Joule dans te Rhodotron et dans un linac, pour une même tension accélératrice.
L5.5 Limitation de la tension accélératrice
La première limitation est bien entendue liée à la puissance des générateurs disponibles. En fonctionnement continu et à des fréquences de l'ordre de 100 MHz, on pourra trouver des tubes de plusieurs centaines de kW, voire de l'ordre du MW [10]. Au moins la moitié de cette puissance devra être communiquée au faisceau afin de garantir un rendement suffisant On peut alors raisonnablement envisager P. « 300 kW continus ce qui correspond à une accélération par passage Vf t f f « 3 MeV, étant donné que l'impédance shunt est
de l'ordre de 10 MU En fonctionnement puisé, les puissances crête peuvent augmenter d'un ordre de grandeur, soit une accélération par passage de l'ordre de 10 MeV.
D faut aussi tenir compte du risque de claquage si le champ sur le conducteur central Qà où il est maximal) dépasse une certaine valeur. Cette valeur empirique est pour notre gamme de fréquence de l'ordre de 10 MV/m [11] [12].
Cette valeur a été dépassée dans de nombreux accélérateurs, mais au prix d'un soin sur l'état des surfaces qui est peu envisageable dans le cas du Rhodotron à cause de sa grande taille. En considérant R = 1 m, R- = 0.225 m et en
C 1
utilisant (1.6) on trouve U . < 5 MV.
ciête
1.5.6 Energie emmagasinée
Charque micro-paquet, ponant une charge q, prélève au cours de la traversée de la cavité la quantité d'énergie W - tf.V ~. La variation relative de l'énergie emmagasinée vaut d'après (1.21):
(1.28)
Cela se traduit par une diminution et une redistribution du champ accélérateur dans la cavité [7], et les électrons en queue du paquet sont moins accélérés que ceux qui sont en tête. En première approximation on peut dire que la variation relative de tension est la moitié de la variation de l'énergie stockée (1.28) [11]. Cependant cette évaluation est d'autant plus fausse que le paquet est court, car la forme locale des champs au voisinage de la trajectoire est définie par la distribution des charges. Une étude rigoureuse consisterait à calculer l'intensité des harmoniques d'espace excités par le faisceau. Ici, nous nous contenterons d'évaluer dans le tableau 1.5 la quantité d'énergie prélevée par une charge donnée (1 nC), selon l'expression (1.28). Les expressions (1.24) et (1.25) montrent que le rapport Z«—/Cl est indépendant de la fréquence; alors on a encore intérêt à choisir la fréquence la plus basse possible.
A>V W „ CO
cm _ u. _ STT
We m We m Ve f f %
fw = 100 MHZ Z ^ « 13 MQ Q « 47000 Vc f f( M V ) Pj(kW)
* * « / * « . <» n C> E
1 80 1.8 10^* 2
2 300 8.7 105 4
4 1200 4.3 105 8
Tableau IJ : Caractéristiques Hf dun Rhodotron fonctionnant à 100 MHz (5 à 7 passages); tension effective d'un passage, puissance dissipée par effet Joule, variation relativede l'énergie emmagasinée pour une charge de 1 nC, champ maximal sur les surfaces conductrices.