Importance du gain

Dans un oscillateur le processus d'amplification du signal électromagnétique par interaction avec les électrons est en compétition avec les pertes de la cavité optique. Celles-ci sont produites par absorption, par diffraction sur les extrémités de la chambre à vide (quatre fois pour un aller-retour), et du prélèvement de la fraction dédiée à l'utilisateur, qui constitue en général la partie la plus importante (quelques %). Sur la figure 4.7 qui illustre le bilan de puissance laser au cours d'un aller-retour, on considère pour seules pertes le facteur de transmission à chacune des extrémités de la chambre à vide T, et l'extraction à travers un miroir - qui par là-même a un facteur de réflexion R<1 -, l'autre miroir étant supposé parfaitement réfléchissant Le gain propre à l'effet laser est noté G . Alors le gain net d'un aller-retour est:

Gⁿ = ( 1 + Gp T ⁴ R - 1 (4.3)

En théorie il suffit que le gain net G soit positif pour que le signal croisse exponentiellement II atteindra un niveau de saturation au bout d'un nombre de passages d'autant plus élevé que le gain est faible. Si

1'9CCélétat*»nr fonctionne en m o H e nulce* l e «icmal lacer Hoit atteindre la

saturation en un nombre de micro-impulsions bien inférieur à celui que contient la macro-impulsion [16]. Par exemple, si on désire que la puissance croisse de 1% à 99 % en 100 micro-impulsions (5 us pour T * 20 MHz), un gain net G = 4.7% est nécessaire. Si le fonctionnement de l'accélérateur est

n

continu, on dispose d ' u n temps important pour construire le signal laser, mais on choisira tout de même un gain laser G de queleques 10% pour disposer d'une marge suffisante.

po ^POT 2 ( , + G )

I ,] I I I I I I I I I I I I I I

i i i i i i i ! i i i i i i r

H

P⁰.T.(l*G)Jl P .t?(l*GVR

Figure 4.7: Schéma synoptique de l'évolution de la puissance laser au cours d'un aller-retour dans la cavité.

r v . 4 Paramètres d'un L E L avec un faisceau électronique idéal

Le but de ce paragraphe est de trouver les paramètres d'onduleur et d e faisceau associés à une longueur d'onde laser X donnée. Cette étude nous permettra de situer grossièrement le domaine de longueurs d ' o n d e accessibles avec un faisceau délivré par un Rhodotron tout en respectant les limitations liées à la technologie d e s onduleurs. Le faisceau considéré n ' a ni émittance ni dispersion en énergie, le gain du LEL sera appelé gain idéal et noté C . Il faut déterminer les six paramètres suivants:

- X^Q, B^Q, L : période, champ magnétique et longueur de l'onduleur - Y, j — 1/ S : énergie des électrons et densité de courant crête - S^L : Section du faisceau laser

IV.4.1 Longueur d'onde rayonnéc

X. relie Xⁿ, B et y :

avec K = — L £ J — \ B^A = 93.4 JL B^A

2 * me ° ° ° °[Sn

En général le paramètre sans dimension X, appelé paramètre de déflexion, est voisin de l'unité.

IV.4.2 Expression du gain

Le rapprochement des paramètres d'un Rhodotron (énergie de l'ordre de 10 MeV, courant crête de quelques ampères) avec les données d'expériences LEL existantes montre que le régime de fonctionnement sera de type Comptor. Ce constat, qui sera vérifié par un calcul plus général [11], a l'avan ..;ç de conduire à une expression asymptotique simple du gain G-:

l e i³ B ² I L³

G. = 0.27 X^Q — F (JJ)² (4.5)

m³ c⁵ 4 je e„ 2 S . y³ o e '

avec (JJ) = J f — - -I - J„ f *• -1 (J et J, fonctions de Bessel)

1 U + 2 K²) ° U + 2 K²J ° *

A 3

soit G. • 2.76 À. B ² — t - F (JJ)² en unités SI

î o o „ 3 ^v '

\ ^Y

F est le facteur de recouvrement des faisceaux; si les profils transverse d'intensité des deux faisceaux sont gaussiens [17], alors:

F = ^t— (4.6)

S e ⁺ \

On peut déjà tirer les conclusions suivantes:

- Le gain croît avec le cube de la longueur c'interaction, ce qui incite à utiliser des onduleurs longs.

- Le gain ne dépend pas de l'intensité mais de la densité de courant par unité de surface, c'est-à-dire de la densité volumique de charges dans la zone d'interaction. En effet, il est proportionnel au terme j homogène à une densité de courant:

A A

i - - ! - . F - '

Se ^Se ⁺ \

Pour un gain donné, j est la densité de courant minimale (F = 1, soit S » S ). Pour un courant donné, on a tout intérêt à minimiser les surfaces S

Ci* La

et S ; ces limites inférieures sont imposées par la divergence des deux faisceaux et seront détaillées dans les paragraphes §IV.4.4 et §IV.4.5.

La longueur d'onde X étant fixée, exprimons le gain (4.5) en fonction de la période de l'onduleur:

A 2

G.= 0.89 10'³ — L³ (JJ)² X,^3a — £ — — (4.7)

1 S + S, ^L X⁵ⁿⁿ (1 + K²/ 2 )^{3 / 2} [SI]

Le gain est d'autant meilleur que le pas de l'onduleur est petit, c'est-à-dire lorsque l'énergie des électrons tst faible. X étant fixé le gain présente un maximum (peu étroit) pour K = 1.6.

IV.4.3 Onduleur

Le champ et la période de l'onduleur sont liés par la technologie employée.

Nous envisageons d'utiliser une technique d'onduleur de type Halbach [18] [7]

à aimants permanents, représentée sur la figure 4.8. Avec des aimants en Samarium-Cobalt, le champ d'un onduleur de période X. et d'entrefer g est [19]:

B^o = 1.27 exp f - Î - I 1 (4.8)

0 [T] l % i

La technologie des micro-onduleurs [20] étant encore peu maitrisée, nous considérons ici que la valeur minimale de la période X est 2 cm. De plus, le choix de la valeur optimale du paramètre K (K = 1.6) conduirait alors à (X = 2 cm, g = 2.5 mm, B = 0.86 T). Mais nous allons voir qu'il n'est pas possible de choisir un entrefer aussi petit à cause de la diffraction optique.

\ ^ ^ \ ^ ^ X \ ^ \ ^ \

L _ i — î — 4 -—

\ \ \ \ \ \ \ \

V - i — Î — i

—-Figure 4.8: Association d'aimants de type Holbach IV.4.4 Diffraction optique

Pour simplifier, nous supposerons que la chambre à vide incluse dans l'onduleur a une section circulaire de diamètre * . Cette ouverture diffracte le faisceau optique, ce qui constitue une source de pertes. Ainsi, la réduction de l'entrefer g qui permet d'augmenter le gain conduit à des pertes par diffraction plus importantes: il faut trouver un compromis.

Nous supposons que seul le mode fondamental de propagation TEM intervient:

son profil transverse est gaussien [20]. La dimension caractéristique w du faisceau optique est définie sur la figure 4.9.a), ainsi que la surface équivalente du spot (w = Ar d'après les conventions définies dans la section:

notations mathématiques).

S, *

-L 2

(4.9)