Précision des résultats

« ^f K

ff H²(r,z) rdrdz f H(r,z) t dl

(2.14)

Z^s= 8

/ P

ff H (r.z) dr dz f H(r,z) r dl

(2.15)

Dans le terme donnant les pertes situé au dénominateur des deux expressions (2.14) et 52.15) il faudra faire attention à multiplier par deux la valeur donnée par la double sommation (2.10), en vertu de la remarque faite au

§11.2.6.

II.4.2 Précision des résultats

Nous allons encore comparer le résultat avec celui de SUPERFISH sur l'exemple du prototype:

Méthode intégrale SUPERFISH

Q 3.68 10⁴ 3.60 10⁴

Jsh 15.3 14.9

La convergence de ces valeurs est légèrement moins bonne que celle de la fréquence (tableau 2.4).

Nm a x

Tableau 2.4 : Valeurs calculées du coefficient de qualité de l'impédance shunt en fonction de la discrétisation du problème.

II.4.3 Optimisation de l'impédance Shunt

Le but de cette étude est de trouver la géométrie, soit le couple de valeur»

(Z ,0 ), qui optimise l'impédance shunt Z , ou plutôt l'impédance shunt effective Z , les deux étant reliées par le facteur de temps de transit F . En toute rigueur, ce facteur dépend de la variation en r du champ radial dans le plan médian E (r,0), mais vu l'imprécision sur la valeur des champs donnée par la méthode intégrale, son évaluation serait entachée d'erreur. En fait, le calcul aux éléments finis nous montre quela variation de lacomposante E dans le plan médian est encore très proche de la loi en 1/r et donc que le facteur F est quasiment inchangé.

Pour cette tâche d'optimisation, la méthode intégrale présente l'important avantage, par rapport à la méthode aux éléments finis, d'être aisément automatisable:

- Il n'y a pas d'opération préliminaire de maillage de la surface de oupe; modifier la géométrie implique seulement de faire varier deux paramètres dans le programme (Z ,0 ).

- Si on désire imposer la fréquence de résonance, il n'est pas nécessaire de tâtonner pour trouver les côte, géométriques qui conviennent En effet, lors de la recherche des zéros du déterminant (2.12), on peut très bien fixer la fréquence et faire varier une des variables Z ,0 ou h.

Dans le cas traité ici, pour différents couples de valeurs (Z ,0 ), le

programme calcule la hauteur h qui fait résonner la cavité à 179 MHz et donne les valeurs du coefficient de qualité et de l'impédance shunt. Il faut noter qu'une solution n'existe pas pour tous les couples de valeurs (Z ,8 ), il y a des cas où la fréquence minimale, obtenue en prenant la hauteur maximale (figure 2.16), est supérieure à la fréquence désirée, 179 MHz. Nous observons sur la figure 2.17 et sur les tableaux 2.5 et 2.6, un optimum très peu prononcé; la conception de la troncature est assez peu critique, elle doit se situer autour des valeurs: 0 = 35* et Z = 0.28. Cela permet de gagner

c c

environ 10% sur l'impédance shunt (15.2 Mil au lieu de 13.9) et sur le facteur de qualité (36000 au lieu de 32900).

Z

(mm)

50 34800 33500 27900

89 35000 34400 31100

128 35200 35600 33300

167 34800 35500 35000 29000

206 34500 35700 35700 34000

244 34200 35500 36000 35900 32300

283 33600 35200 35800 36700 36300

322 33200 34300 35000 36000 36200 36300

361 32500 33500 34100 34600 34900 35100 35500 35000

400 3220C 33300 33400 33300 33100 33200 33600 33400 33200 32600

Tableau 25 ; Variation du facteur de qualité avec la géométrie du cône terminant le conducteur central

Z^c(mm)

6^c( d c^§ 10.0

jrés)

17.8 25.6 33.3 41.1 48.9 56.7 64.4 72.2 80.0 50 12.7 10.5 7.1

89 13.3 11.6 9.0 128 13.9 12.9 10.7 167 14.2 13.7 12.4 9.2 206 14.4 14.4 13.7 12.2 244 14.4 14.7 14.6 14.1 12.0 283 14.3 14.8 15.0 15.1 14.7 322 14.1 14.6 14.8 15.2 15.2 15.1

361 13.8 14.3 14.5 14.7 14.8 14.9 15.0 14.8

400 13.7 14.1 14.2 14.1 14.0 14.1 14.3 14.2 14.1 13.9

Tableau 2.6 : Variation de l'impédance shunt (exprimée en MSI) avec la géométrie du cône en extrémité du conducteur central

Figure 2.16 : Demi-hauteur maximale pour un couple de valeurs (Z ,B J

4 0 va ^{C e}° '«O

rvi

">J

Figure 2.17: a) QfZ^ ,b) ZJZ^J

IL5 Avantages et inconvénients de la méthode intégrale

Les critères de comparaison les plus immédiats entre la méthode intégrale et les éléments finis sont le temps de calcul et la place mémoire. Il faudra prendre dans les deux cas des discrétisations équivalentes; si on considère qu'une direction (r ou z) est découpée en N éléments, cela implique que la surface est divisée en N mailles environ et que le contour comporte environ N segments. Les performances de SUPERFISH sont données par les créateurs du code [3]. Dans notre méthode intégrale, il faut stocker la matrice de dimension N² qui donne l'influence entre les segments et dont chaque élément est la somme de N ² termes. On peut considérer qu'il faut N * N, car la

m ^r ^ m

résolution spatiale est aussi liée à la périodicité des fonctions de Bessel et sinusoïdales. Le tableau 2.7 montre que le gain en place mémoire est N (typiquement supérieur à 20), mais que les temps de calcul sont du même ordre de grandeur. C'est ce qui a été vérifié en pratique; il faut préciser que la méthode intégrale oblige à évaluer des fonctions de Bessel, ce qui la défavorise un peu du point de vue du temps de calcul.

Place mémoire Temps SUPERFISH (N² mailles) « N³ ~ N⁴

Green (N sous-segments « N ~ N². N ²

N ²m modes)

Tableau 2.7 : Comparaison de l'espace mémoire et du temps de calcul nécessaires dans les deux méthodes numériques.

Nous avons vu aussi que le calcul par la méthode intégrale ne nécessitant pas de maiilage, il est plus souple d'utilisation et permet une automatisation aisée pour la recherche d'une configuration optimale.

La précision sur les valeurs des fréquences de résonance de tous les modes est comparable, par contre les valeurs de Z et Q sont légèrement moins précises par la méthode intégrale. Il faut ajouter que la recherche des modes dans notre code de calcul converge sans qu'il soit nécessaire de lui donner une

fréquence approchée comme dans SUPERFISH, cet atout étant surtout appréciable quand on veut connaître tous les modes d'ordre supérieur.

L'inconvénient majeur de la méthode intégrale est qu'elle donne une forme des champs inexploitable à cause des oscillations engendrées lors de leur reconstitution sur la base des modes de la cavité coaxiale.

En conclusion, les deux formes de calcul sont complémentaires, l'une est adaptée à la recherche rapide d'une configuration optimisant l'impédance shunt, l'autre nécessaire pour connaître la forme des champs.