Charge d'espace dans les aimants

**iffy- f\ »^*^itjj5**

PHASE AU CENTRE

III.5.3 Charge d'espace dans les aimants

L'axe du faisceau étant courbe, les forces électrique et magnétique propres n'ont plus une symétrie de révolution qui leur permet de se compenser (3.12).

De plus, les particules les plus énergétiques sont déportées à l'extérieur du virage, ce qui modifie continûment la distribution dans le plan (x,x').

Lorsqu'on crée une corrélation phase-énergie afin de comprimer le faisceau (§ni.3.3.f), les particules à l'avant du paquet prennent un virage plus large que celles situées à l'arrière, si bien que celui-ci avance tout en pivotant (voir la figure 3.26). Toutes ces conditions font que les champs propres perdent leur symétrie de révolution et leur linéarité, alors remittance augmente de manière irréversible (elle est non-corrélée). Des études numériques sur un demi-tour achromatique composé de trois secteurs magnétiques [19] mettent en évidence l'accroissement d'émittance dû à la charge d'espace et montrent qu'elle peut devenir extrêmement importante si on utilise ce dispositif pour réaliser une compression longitudinale du paquet, mais qu'elle augmente peu si l'impulsion garde la même longueur. Un calcul complet de la charge d'espace dans un aimant, qui tient compte des potentiels retardés [14], montre que remittance induite d'un faisceau d'1 A et de rayon 1 mm est de

quelques it mm.mrad dans un virage de quelques dizaines de centimètres de rayon.

Dans le cas du Rhodotron l'utilisation des aimants en tant que compresseurs d'impulsion nécessiterait une trop grande dispersion en énergie (§m.3.3.f).

Le principal problème qui réside est l'éclatement du faisceau sur le parcours circulaire en l'absence de focalisation, si ce n'est les lentilles équivalentes localisées aux extrémités. Si dans le plan vertical on peut penser que l'enveloppe du faisceau va évoluer de la même façon qu'en espace libre, ce n'est pas le cas dans le plan horizontal dans lequel des trajectoires initialement parallèles vont se croiser (voir les figures 3.23 et 3.24). Toutefois un critère pourra être fixé en se ramenant à un glissement en espace libre sur la distance de giration L = (ït + 2 a) R . D'après le tableau 1.2, on a typiquement L * X / 3, soit pour un Rhodotron à 100 MHz L « I r a . La loi d'évolution de l'enveloppe donnée sur la figure 3.33 permet de calculer la taille minimale que peut prendre un faisceau de courant I sur une longueur L. La figure 3.36 illustre cette minimisation, et le calcul montre que le rayon aux extrémités vaut environ 2.3 fois le rayon au milieu du parcours (en z = L/2):

•Bel *

^{2 3}

^ - /?

PVi.

(3.18)

On peut aussi donner la densité de courant critique correspondante:

|3 ..3

J "

n i ²

(3.19)

Figure 336 : Minimisation de la taille d'un faisceau soumis à ta charge

Le tableau 3.1 résume ces différentes données; on se préoccupe d'un courant de 10 A pour une application LEL (§IV.7). L'émittance normalisée équivalente à la charge d'espace (3.16) devient faible pour une énergie supérieure à 2 MeV, cela signifie que pour de telles énergies, la limitation sur le rayon n'est plus imposée par le courant mais par remittance.

En e r g i e

Tableau 3.1 : Densité de courant critique, rayon minimal pour un courant de 10 A et émittance normalisée équivalente dans un déviateur (Rhodotron ÎOO MHz) en fonction de l'énergie cinétique des électrons.

m.5.4 Interaction entre faisceaux dans le conducteur central

La trajectoire en forme de rosace se recoupe plusieurs fois en un même point O, le centre de la cavité. Ce point correspond donc à l'endroit où la densité de charge est la plus forte, et l'on peut craindre une importante défocalisation. Pour empêcher la présence simultanée de plusieurs paquets dans le conducteur central, il faudrait beaucoup décaler leur phase par rapport à la phase optimale <{>*⁰⁾= 90*. En effet, le rayon R. optimal valant 0.08 \ (§1.5) la traversée du conducteur central dure environ 50* H.F.

Nous prendrons une particule test dans un des paquets présents dans le conducteur central et nous estimerons l'effet des champs magnétique et électrique créés par les (N-1) autres paquets. Pour simplifier, nous supposerons que les champs émis par chaque paquet sont ceux d'un cylindre infini de rayon a uniformément chargé - les effets de la paroi seront négligés, celle-ci pouvant être sans inconvénient mauvaise conductrice. La zone d'intersection sera assimilée à une boule de rayon a et sera traitée séparément.

Figure 337 : Forces de répulsion électrique entre les paquets pour N pair et impair

Figure 338 : Champs magnétiques agissant sur la particule test pour N pair et impair

a^ Hors de la zone d'intersection

La figure 3.37 montre que quelque soit la parité du nombre de passages, la somme des forces électriques sur un électron test est parallèle à sa vitesse;

de plus le freinage qui en résulte entre B et O est compensé exactement par l'accélération entre O et C.

La figure 3.38 montre un comportement différent suivant la parité du nombre de passages N: si N est impair, les champs magnétiques s'annulent deux à deux;

par contre si N est pair, ceux créés par deux paquets symétriques par rapport à la particule test s'ajoutent, mais sont de signe opposé à celui créé par la paire suivante de faisceaux symétriques; de cette compensation partielle résulte un champ approximativement proportionnel à N/2. Dans ce dernier cas, la force magnétique horizontale transverse (le champ est vertical) a un effet global nul car elle change de sens après le passage par le centre O.

Si on considère des paquets de longueur finie (de l'ordre de 10* H.F) on aboutit à la représentation de la figure 3.39. La figure est asymétrique, mais d'une demi-traversée à l'autre les forces de répulsion se compensent Bien que l'on en déduise que l'impulsion transverse totale reçue par un électron est nulle, on peut craindre une augmentation de remittance.

Figure 3.39: Configuration des paquets de longueur finie au centre de la cavité.

bj Zone d'intersection

\ \

**I * \ t.**

^ja/A~^=s~

i

^{• L}

I

\ /

Figure 3.40 : Schéma (revaluation de la déviation au point de croisement des faisceaux.

La construction géométrique montre que la somme géométrique des courants n'est pas nulle; cependant on peut considérer qu'à l'intérieur de la boule les champs magnétiques ne s'additionnent pas de manière constructive alors que le champ électrique augmente avec la densité; par conséquent la répulsion entre charges est considérablement augmentée puisqu'elle n'est plus compensée par le facteur 1/y* (3.12). Nous allons évaluer la deflection induite par le champ électrique, celle qui résulte de la force magnétique est plus difficilement calculable, mais au pire elle est égale à la précédente.

A partir de la densité volumique de charge de la boule résultant de la superposition des faisceaux, on obtient le champ électrique:

N I p P « 7—\

K a c ^%' 3 C

On peut alors estimer la quantité de mouvement transverse communiquée à la particule lorsqu'elle passe à la distance u de l'axe (figure 3.40):

2 Ici N I

AP (u) = u (3.19)

" 3 t £ ⁰ c ² B a

Comparons cette impulsion transverse, reçue ponctuellement, à celle communiquée par le champ propre du faisceau sur la distance parcourue entre deux passages successifs au centre O, soit X , (en supposant que le rayon a

n'a pas varié significativement et que l'électron est resté à la distance u de l'axe). On trouve en utilisant l'expression de la force (3.12):

A Pn (point O) _ ³ _!_ N B y² A P^a (champ propre) 4 X^w

Ainsi, même si la longueur d'interaction est faible à l'intersection (a/V_

H T

est de l'ordre de 1/1000 ou 1/100), le fait que la densité de charge soit multipliée par N (N est compris en général entre S et 10) et que la compensation relativiste des champs propres n'existe pas, peut induire une divergence comparable voire supérieure à celle créée par le champ propre du faisceau lui-même (dès que le faisceau atteint 3 à S MeV).

L'action de la boule centrale étant quasiment ponctuelle, on peut considérer qu'elle agit comme une lentille défocalisante de focale:

M AP

f = - - avec u' - —•

iï F on trouve d'après (3.19)

z très grande devant les dimensions de la machine (au premier passage en O B y « 0.8) et la déviation sera parfaitement négligeable. Pour un Rhodotron avec un courant crête plus élevé et plus dense, par exemple I = 10 A, a = 2 mm, N » 5 , alors fr , « - 0.2 B²y, et la déviation est importante tant que le faisceau n'a pas atteint 5 MeV. De plus, les champs étant fortement inhomogènes, on peut s'attendre à une forte dégradation de remittance.

Pour éviter de faire se croiser les faisceaux au centre, il suffit de n'envoyer un paquet de charges une impulsion toutes les N périodes H.F, N étant le nombre total de passages. Dans ce cas, la fréquence des impulsions est f / N. Or cette fréquence ne doit pas être trop inférieure à 20 MHz, sinon la taille de la cavité optique du LEL devient excessive (§IV.3.2). n en résulte que pour un Rhodotron à 100 MHz le nombre de passage sera limité à N = 5, tout au plus N = 6.

in.5.5 Premier passage accélérateur à vitesse faiblement relativiste

Il est indispensable de traiter séparément le premier passage accélérateur car la vitesse des électrons issus d'un canon est faiblement relativiste (P = 0.2 pour un canon de 10 kV), ce qui augmente le temps de transit dans la cavité.

H en résulte que le gain en énergie et la phase d'injection optimale sont différents du cas ultra-relativiste. De plus, l'énergie étant faible, l'effet de la charge d'espace est bien plus important que dans les autres passages.

a} Regroupement du faisceau

Nous nous préoccupons ici seulement de la dynamique longitudinale, c'est-à-dire de l'évolution de la vitesse d'un électron unique en fonction de son énergie et sa phase d'injection et de la tension accélératrice. Les deux cas illustrés sur la figure 3.41 concernent des gradients accélérateurs différents (gain de 1 MV ou S MV sur une longueur de 2m) avec des faisceaux issus de canons réalistes (10 à 100 kV). La courbe <J> (4»J donne le retard des électrons faiblement relativistes et permet d'évaluer la possibilité de groupement du faisceau (quand la pente de cette courbe est inférieure à l'unité). La courbe Y^s(<j>J donne l'acceptance en phase à l'entrée pour une dispersion en énergie donnée. Enfin la courbe Y^e(4Û, qui se déduit des précédentes, permet de visualiser le groupement du faisceau et de déterminer la longueur d'une impulsion en sortie pour une dispersion en énergie donnée.

On constate bien évidemment que plus la vitesse d'injection et le gradient accélérateur sont importants, plus le retard des électrons est faible et moins les taux de compression sont importants (1.2 seulement pour un canon à 10 kV et une accélération de S MeV). On peut envisager des facteurs de compression de 3 à 5 dans le cas de l'accélération de 1 MeV en utilisant un canon de 10 ou 20 kV, mais une faible dispersion d'énergie implique une impulsion courte (2 2ty < 10* H.F avec des dispersions de 2 % au lieu d'une vingtaine de degrés

1200

ftgv* 3.41 : Relations phase • in:rvt pour un faisceau injecté faiblement relaùmte. a) Faible gradient accélérateur. i>) Fort gradient accélérateur

en l'absence de compression). De plus cette option est en contradiction avec le confinement transverse du faisceau dont nous allons parler ensuite.

b} Courant crête admissible

Nous allons à nouveau utiliser le critère (3.17), soit v, < v_, après avoir

I F

vérifié qu'il est encore valide pour les faibles énergies à l'injection. Une premier test consiste à intégrer pas à pas l'équation de la vitesse V et l'équation d'enveloppe (3.15) en omettant le terme d'émittance, et aussi les forces transverses de la cavité, puisque nous avons vu au §111.5.2 qu'elles ne modifient pas beaucoup les trajectoires. Cn a reporté sur les courbes résultantes, tracées sur la figure 3.42, les abscisses correspondant à v = v , et on s'aperçoit que cette condition conduit à une augmentation du rayon du faisceau d'un facteur à peu près constant et voisin de 2. On conforte la validité du critère avec des simulations de trajectoires (calculées avec le code RHODOS et reportées sur la figure 3.43) qui montrent que si on a une densité de courant S fois supérieure à celle donnée par v = v , alors le faisceau éclate quelle que soit la pente avec laquelle il a été injecté.

Figure 3.42 : Accroissement relatif du rayon du faisceau sous l'effet de la charge d'espace seule dans un Rhodotron 100 MHz, selon la tension accélératrice effective et la tension d'injection. Les croix correspondent au critère v, = v^c.

I F

Figure 3.43 (page suivante): Trajectoires dans le premier passage accélérateur avec une injection à 300 kV et une accélération de 2 MV; a) I = 10 A, pentes initiales x'Ix = 0 et y'Iy - -1, émittance nulle; b) même cas que a) avec une

P I an Kor i z o n t a I

Le critère appliqué à un Rhodotron de rayon extérieur 1 m donne la densité de courant critique par MV d'accélération:

J(A/cm²) < °⁶ ² A/cm²/MV à V^ = 300 kV J(A/cm²) <³'⁸ A ^ W ^à ^V, j⁼ ¹ ^M ^V

Le tableau 3.2 donne le rayon minimal pour passer un courant de 10 A dans le premier passage et remittance normalisée équivalente. Il montre la difficulté d'accélérer 10 A au premier passage: le rayon devra être important, ce qui favorise l'accroissement de remittance. La simulation de l'injection d'un courant de 10 A est reportée sur la figure 3.43a,b et montre la nécessité d'avoir une émittance plus faible que celle qui équivaut à la charge d'espace, sinon il n'est pas possible de tirer parti des conditions d'injection pour comprimer le faisceau transversalement

Vi n j <^{k V}>

Tableau 3.2 : Rayon minimal à l'injection au premier passage d'un faisceau de 10 A; émittance normalisée équivalente.

c} Contraintes sur l'injecteur

L'ordre de grandeur du courant à injecter dans le Rhodotron est de 10 A pendant une durée voisine de 250 ps (10'HF à 100 MHz), soit une charge de 2.5 nC environ. A cause de l'éclatement sous l'effet de la charge d'espace, une tension de plusieurs centaines de kilovolts est nécessaire.

Si la tension nécessaire est en-deçà de 300 kV, on peut envisager un canon thermoïonique classique fonctionnant en triode; au-delà, la taille des isolateurs devient prohibitive. De tels canons peuvent délivrer quelques nanocoulombs (<7<10 nC) pendant quelques nanosecondes, soit quelques ampères crête [21]; on peut espérer une émittance normalisée de l'ordre de 30 n mm.mrad. Etant donné qu'il est difficile de moduler la grille d'un canon triode en créneaux de tension plus courts qu'une nanoseconde - l'amplitude

nécessaire est de Tordre de 100 V [22] - et que le courant crête émis est inférieur à 10 A, alors un regroupeur sera nécessaire afin de comprimer l'impulsion dans le temps d'un facteur de l'ordre de 3 à S. Ce groupeur, fonctionnant à la même fréquence que le Rhodotron ou à une fréquence sous-harmonique, augmentera probablement remittance normalisée jusqu'à une valeur de 50 à 100 7t mm.mrad.

L'injection avec une tension de l'ordre du mégavolt suppose, soit d'intercaler entre le groupeur et le Rhodotron une section pré-accélératrice à champ élevé, soit d'utiliser un canon radio-fréquence. La seconde solution est préférable car la source d'électrons et le pré-accélérateur sont regroupés en un seul élément, ce qui en plus limite la distance d'action de la charge d'espace. Les charges sont extraites par le champ alternatif (quelques MV/m) [21] d'une cavité. La fréquence de cette dernière devant être celle du Rhodotron ou un sous-multiple, elle sera nécessairement volumineuse et il ne sera probablement pas possible d'ajouter une focalisation extérieure au niveau de cet espace accélérateur. De plus, la création d'une tension de l'ordre du MV entraînera forcément des pertes Joule du même ordre de grandeur que celles du Rhodotron.

On peut envisager par exemple une cavité coaxiale quart d'onde (longueur de 70 cm à 100 Mhz) terminée par un espace accélérateur capacitif, telle qu'elle est représentée sur la figure 3.44. Un calcul simplifié, en ne prenant en compte que les pertes sur les conducteurs intérieur et extérieur, donne l'ordre de grandeur de l'impédance shunt:

Z [MÛ] * 23 In' f - i r ] - ( R-⁺ R" ) '

s (à 100 MHz) l^K0 y^Ke^Ki J ,

Pour des rayons de quelques dizaines de centimètres, l'impédance shunt est de l'ordre du MQ, alors pour accélérer à 1 MV, il fau dépenser une puissance de l'ordre du MW. On obtient un résultat similaire si on envisage une cavité résonnant sur le mode TM , laquelle aurait un rayon supérieur à 1 m. Il faudra choisir entre un canon R.F à cathode thermoïonique et un canon R.F à photocathode. Le premier est limité en intensité crête et il faut filter en énergie les électrons qui sont émis pendant environ un quart de période H.F [21], tandis que le second peut délivrer un courant crête de quelques centaines d'ampères avec une forme d'impulsion très bien définie par celle du laser qui illumine la cathode [23]. L'émittance normalisée créée dans de tels dispositifs est en général inférieure à 100 Jt mm.mrad.

y/y//////////y//////y/////////y^^^

Â

to»JM»/M/»»»M»MM»M»»m

>»»»MMMMM»»»/»M»»»*m

7/MWMW/MMW/AM^^^^^

Figure 3.44 : Cavité coaxiale quart (Tonde.

ULS Conclusion

Dans notre étude de l'optique électronique, basée sur des modèles numériques, nous avons distingué le régime à faible courant dans lequel les forces de charge d'espace n'interviennent pas, de celui à fort courant

A faible courant, moyennant une linéarisation des équations du mouvement et l'hypothèse ultra-relativiste, un modèle matriciel nous a permis de cerner les propriétés optiques de la cavité, des déviateurs, puis de l'ensemble de la machine. En raison de sa configuration symétrique, la cavité se comporte en gros comme un système afocal (pour à = 90') dont les paramètres dépendent peu de la géométrie. Les termes de la matrice de transfert varient peu sur une extension en phase de quelques dizaines de degrés autour de la phase optimale 90*, si bien que l'accroissement résultant de remittance est très faible. Le confinement des électrons autour de la trajectoire centrale sur l'ensemble du parcours est essentiellement lié au choix de l'angle des faces d'entrée et de sortie des aimants. Bien que la valeur de cet angle ne soit pas critique, il faut impérativement choisir une géométrie intermédiaire entre l'aimant à faces plates et l'aimant à faces normales à la trajectoire; dans ce cas on peut dire que le Rhodotron est auto-focalisant par construction. Les déviateurs n'étant pas achromatiques, il en résulte un élargissement non négligeable de l'extension horizontale du faisceau et l'apparition d'une émittance horizontale corrélée à la dispersion en énergie. L'hypothèse de linéarité des forces ne nous a pas permis de chiffrer l'accroissement de remittance. Un

code de calcul en trois dimensions serait nécessaire pour modéliser l'effet sur les trajectoires des champs dans les trous de passage (préoccupant au premier passage surtout), des champs exacts de la cavité, et des aberrations géométriques des aimants. L'augmentation d'émittance résultante est d'autant plus importante que le rayon du faisceau est grand. En raison de la basse fréquence, les champs de la cavité sont homogènes sur des distances transverses plus importantes que dans les tinacs, ce qui est favorable, par contre le faisceau n'a pas une symétrie de révolution.

Pour les régimes à fort courant, nous avons introduit dans un modèle de calcul pas à pas des trajectoires, une description linéaire des forces de charge d'espace, afin de prévoir comment il est possible de contrer l'éclatement du faisceau lors de son parcours dans le Rhodotron. Contrairement aux accélérateurs linéaires autour desquels il est possible de disposer des solénoïdes de focalisation, la géométrie de la cavité coaxiale ne le permet pas, et on peut tout au plus insérer de petits solénoïdes ou quadrupôles à l'entrée et à la sortie de chaque déviateur (10 à 20 cm sont disponibles).

L'effet de lentille des faces des aimants est très ponctuel et les forces propres ne sont pas compensées lors de la rotation du faisceau. Alors, il est indispensable d'accroître le plus rapidement possible l'énergie des électrons, surtout au premier passage où la faible énergie implique la plus forte contrainte. Les estimations effectuées concernent des courant crête de 10 A, puisqu'il s'agit de l'ordre de grandeur requis dans un LEL (chapitre IV). Il est alors souhaitable que l'énergie soit supérieure à 1 MeV dans le premier déviateur. Dans la cavité, les champs magnétiques transverses jouent un rôle mineur et seul un fort gradient accélérateur peut s'opposer à l'éclatement du faisceau. L'énergie d'injection doit être supérieure à 300 keV, voire de l'ordre du MeV et il faut que la tension effective d'un passage soit supérieure à 2 MV, voire égale à 4 MV. Il en résultera un diamètre de faisceau de 1 à 2 cm à l'entrée, ce qui laisse supposer un accroissement non négligeable de remittance. Toutefois cet effet n'a pas été chiffré ici car il nécessite une simulation tri-dimensionnelle incluant aussi bien les non-linéarités des champs électromagnétiques que l'évolution de la distribution des charges et que les transformations relativistes des champs propres lors de la rotation dans les déviateurs. Le point de croisement des

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