- Rapport CEA-R CEA Saclay Direction de l Énergie Nucléaire Direction Déléguée aux Activités Nucléaires de Saclay

- Rapport CEA-R-6275 -

CEA Saclay

Direction de l’Énergie Nucléaire

Direction Déléguée aux Activités Nucléaires de Saclay Département de Physico-Chimie

Service de la Corrosion et du Comportement des Matériaux dans leur Environnement

CONTRIBUTION À L’ÉTUDE DE PHÉNOMÈNES MULTI-PHYSIQUES DANS LES MATÉRIAUX CIMENTAIRES

par

Benoît BARY

– Septembre 2011 –

RAPPORT CEA-R-6275 – Benoît BARY

«Contribution à l’étude de phénomènes multi-physiques dans les matériaux cimentaires»

Résumé - Ce document est une synthèse des travaux de recherche appliquée de l'auteur menés pendant une dizaine d'années à l'Université de Marne-La-Vallée durant la période 1999-2002, puis au CEA de Saclay. Ces travaux portent sur la modélisation et la simulation numérique du comportement des matériaux cimentaires soumis d'une part à des chargements thermomécaniques modérés et hydriques induits, et d'autre part à des attaques chimiques dues à la migration d'ions calcium, carbonate et sulfate.

Les approches développées sont multi-physiques dans le sens où les modèles décrivant le comportement couplent différents domaines et phénomènes tels que la mécanique, la thermique, les transferts hydriques et ioniques et la chimie. Par ailleurs, des techniques de changement d'échelle analytiques sont utilisées pour estimer les propriétés physiques associées à ces phénomènes (paramètres mécaniques, hydromécaniques, diffusivité) en fonction de la microstructure et de l'état hydrique du matériau.

Mots-clés : béton, THM, dégradations chimiques, modélisation, simulation numérique

2011 – Commissariat à l’Énergie Atomique – France

RAPPORT CEA-R-6275 – Benoît BARY

«Contribution to the study of multiphysical phenomena in cementitious materials »

Abstract - This document is a synthesis of the applied research studies undertaken by the author during ten years, first at the University of Marne-La-Vallée during the period 1999-2002, then at the CEA. These studies concern the modeling and the numerical simulations of the cementitious materials behavior subjected on the one hand to moderate thermomechanical and hydric loadings, and on the other hand to chemical attacks due to the migration of calcium, carbonate and sulfate ions. The developed approaches may be viewed as multi-physical in the sense that the models used for describing the behavior couple various fields and phenomena such as mechanics, thermal, hydric and ionic transfers, and chemistry. In addition, analytical upscaling techniques are applied to estimate the physical properties associated with these phenomena (mechanical, hydraulic and diffusive parameters) as a function of the microstructure and the hydric state of the material.

Key-words: concrete, THM, chemical degradations, modeling, numerical simulation

2011 – Commissariat à l’Énergie Atomique – France

MEMOIRE D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN

Présenté par Monsieur Benoît BARY

Domaine :

MECANIQUE - GENIE MECANIQUE – GENIE CIVIL

Sujet du mémoire :

Contribution à l’étude de phénomènes multi-physiques dans les matériaux cimentaires

Thèse présentée et soutenue à Cachan le 24 septembre 2010 devant le jury composé de :

A. KHELIDJ Président

P. DANGLA Rapporteur

G. PIJAUDIER-CABOT Rapporteur

J.F. SHAO Rapporteur

Q.C. HE Examinateur

J.M. TORRENTI Examinateur

F. TOUTLEMONDE Examinateur

Laboratoire d'Etude du Comportement des Bétons et des Argiles CEA Saclay, DEN, DPC, SCCME

91191 Gif/Yvette (France)

Résumé

Ce document est une synthèse des travaux de recherche appliquée de l'auteur menés pendant une dizaine d'années à l'Université de Marne-La-Vallée durant la période 1999-2002, puis au CEA de Saclay. Ces travaux portent sur la modélisation et la simulation numérique du comportement des matériaux cimentaires soumis d'une part à des chargements thermomécaniques modérés et hydriques induits, et d'autre part à des attaques chimiques dues à la migration d'ions calcium, carbonate et sulfate. Les approches développées sont multi-physiques dans le sens où les modèles décrivant le comportement couplent différents domaines et phénomènes tels que la mécanique, la thermique, les transferts hydriques et ioniques et la chimie. Par ailleurs, des techniques de changement d'échelle analytiques sont utilisées pour estimer les propriétés physiques associées à ces phénomènes (paramètres mécaniques, hydromécaniques, diffusivité) en fonction de la microstructure et de l'état hydrique du matériau.

L'objectif final de ce travail est le développement d'outils de simulation numérique à la fois simples et robustes du comportement de structures soumises aux chargements et agressions considérées. Différents codes et méthodes numériques ont été mis en œuvre : les éléments finis classiques avec Cast3M pour résoudre les problèmes thermo-hydro-mécaniques, les éléments finis mixtes hybrides pour les problèmes chimie-transport simplifiés, ainsi que la plateforme d'intégration Alliances pour les problèmes couplés chimie-transport-mécaniques. Pour chacune des applications, des simulations de cas test sont effectuées, et les résultats sont analysés et comparés aux résultats expérimentaux disponibles.

En perspective, des voies d'amélioration et d'extension des modèles et approches développés sont proposées. Celles-ci concernent principalement la description de la fissuration et des isothermes d'adsorption, la prise en compte du fluage, l'extension des simulations chimie-mécaniques avec Alliances aux phénomènes expansifs (attaques sulfatiques), et l'estimation analytique et numérique (par reconstruction de volumes élémentaires représentatifs) des paramètres physiques des matériaux cimentaires sains et dégradés.

Table des matières

1 Introduction ... 1

2 Couplages thermo-hydro-mécaniques et endommagement ... 4

2.1 Le couplage thermo-hydro-mécanique ... 4

2.1.1 Equations générales ... 4

• Equations de conservation de la masse ... 5

• Equations de conservation de l’énergie... 6

• Equations de conservation de la quantité de mouvement ... 6

2.1.2 Un modèle THM simplifié pour les bétons ... 7

2.1.3 Equations constitutives ... 9

2.2 Prise en compte de la fissuration et estimation des paramètres hydromécaniques ... 16

2.2.1 Modélisation de la fissuration ... 16

• Considérations générales ... 16

• Modèle d’endommagement isotrope basé sur la micromécanique ... 19

2.2.2 Estimation des paramètres hyromécaniques et de transfert ... 22

• Estimation du coefficient de Biot ... 22

• Estimation des coefficients de perméabilité ... 27

2.3 Simulations numériques ... 28

2.3.1 Comparaison avec un modèle THM à 3 phases fluides ... 28

2.3.2 Structure cylindrique en béton non armé ... 33

2.3.3 Structure annulaire en béton armé... 37

2.4 Conclusion ... 40

3 Modélisation simplifiée des couplages chimie-transport-mécanique ... 42

3.1 Modélisation simplifiée chimie-transport (CT) et application à la carbonatation ... 42

3.1.1 Modélisation simplifiée de la dégradation des bétons ... 42

3.1.2 Modélisation simplifiée de la carbonatation sous eau ... 45

3.1.3 Modélisation simplifiée de la carbonatation atmosphérique ... 49

• Conservation de la masse d’eau ... 49

• Conservation de la masse de calcium... 51

• Conservation de la masse de dioxyde de carbone ... 52

• Simulations numériques ... 53

3.2 Estimation des propriétés diffusives et mécaniques des matériaux cimentaires ... 55

3.2.1 Estimation des propriétés diffusives ... 57

3.2.2 Estimation des propriétés mécaniques ... 62

3.3 Modélisation simplifiée CTM ; application aux attaques sulfatiques et à la lixiviation 69 3.3.1 Modélisation simplifiée CTM des attaques sulfatiques ... 69

• Equations de conservation de la masse ... 70

• Modélisation mécanique ... 71

• Simulations ... 72

3.3.2 Modélisation CTM de la lixiviation ... 75

3.4 Conclusion ... 79

4 Conclusions, perspectives ... 81

5 Références ... 84

Annexe : liste de publications ... 89

Remerciements

Je présente à Monsieur A. Khelidj (professeur à l’Université de Nantes) mes remerciements respectueux pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de cette thèse. Mes remerciements sincères et chaleureux vont également à Messieurs G. Pijaudier-Cabot (professeur à l'Université de Pau et des Pays de l'Adour), J.F. Shao (professeur à l'Université de Lille) et P. Dangla (chercheur au LCPC, HDR) pour avoir accepté la lourde tâche d’être rapporteurs de ce mémoire.

Monsieur F. Toutlemonde (adjoint au chef de département au LCPC) m’a fait l’honneur de s’intéresser à ce travail et je lui adresse mes plus vifs remerciements. Je témoigne également toute ma gratitude à Monsieur J.M. Torrenti (chef de département au LCPC) pour avoir accepté de faire partie du jury et de suivre et superviser la constitution du dossier de thèse. Enfin, je tiens à exprimer toute ma gratitude à Monsieur Q.C. He (professeur à l'Université de Paris-Est Marne- La-Vallée) pour sa participation au jury de cette thèse, mais aussi et surtout pour les innombrables avis, conseils, idées, réflexions et discussions qui m'ont permis de découvrir de nombreuses théories et aspects de la recherche durant les dix années de notre collaboration. Qu'il soit assuré que sans lui ce travail n'existerait pas.

Je tiens également à remercier les collègues du LECBA dans leur ensemble pour avoir su instaurer vaille que vaille un climat propice aux collaborations et discussions enrichissantes, souvent dans la bonne humeur, et ponctué ici et là du célèbre "Ben c'est comme ça, hein". Une mention particulière doit être accordée à SB, PLB et SP avec qui j'ai entretenu des échanges privilégiés (en tout bien tout honneur), ainsi qu'à PB pour les nombreuses discussions menées tambour battant.

Mes remerciements vont également aux collègues du LSET, du LM2S, du LGLS (avec toutes mes excuses pour ceux que j'oublie) pour leur disponibilité et leur investissement. Le travail présenté dans ce document leur doit beaucoup.

1 Introduction

Ce mémoire constitue une synthèse de mes travaux de recherches appliquées menés pendant une dizaine d'années à l’Université de Paris Est - Marne-La-Vallée (LGCU, Laboratoire de Génie Civil et Urbanisme, maintenant MSME, Laboratoire de Modélisation et Simulations Multi- Echelle) entre 1999 et 2002, puis au CEA de Saclay (LECBA, Laboratoire d’Etude du Comportement des Bétons et des Argiles).

Les travaux effectués au LGCU ont porté dans un premier temps sur la mécanique de l'endommagement et la mécanique des milieux poreux appliquées au calcul de structures en béton, dans la continuité de mes travaux de thèse de doctorat. Puis dans le cadre d'un Groupement de Travail piloté par l'ANDRA, des études concernant le comportement à long terme des matériaux cimentaires ont été réalisées, et ont conduit principalement au développement d'un modèle de carbonatation des bétons en conditions insaturées en collaboration avec A. Sellier. En parallèle, sous l'impulsion de Q.C. He, la micromécanique et les multiples possibilités pratiques qu'elle offre pour prendre en compte avec rigueur dans les modèles macroscopiques certaines propriétés des matériaux hétérogènes à l'échelle microscopique ont attiré mon attention et suscité mon intérêt. Celui-ci ne s'est pas démenti depuis et a guidé un certain nombre de développements menés dans le cadre des applications aux matériaux cimentaires. Une participation à l'encadrement de la thèse d'A. Panait dirigée par Q.C. He entre 2001 et 2004 et portant sur le frottement verre-verre et verre-aluminium en collaboration avec le CSTB m'a également permis d'aborder les problèmes de contact du point de vue de la modélisation et des simulations numériques. Pour des raisons de cohésion cet aspect ne sera pas présenté dans ce document.

Mes activités au LECBA ont concerné principalement dans un premier temps le comportement en service à long terme et à court terme en situations accidentelles des structures en béton dans le domaine nucléaire. Les études ont alors porté sur les aspects modélisation et simulations numériques du comportement thermo-hydro-mécanique (THM) des bétons, ainsi que sur la carbonatation en conditions insaturées. Ces développements entraient dans le cadre d'actions collaboratives respectivement avec EDF/SEPTEN et l'ANDRA. Ils ont permis notamment de mettre au point un modèle THM simplifié pour les bétons soumis à des températures inférieures à 250°C, et d'étendre et améliorer le modèle de carbonatation des bétons développé au LGCU.

Concernant les aspects THM, le post-doctorat de M.V.G. de Morais a permis de justifier l'utilisation du modèle simplifié en le comparant à un modèle plus complexe. Par ailleurs la thèse d'A. Tognevi en cours (collaboration avec l'ENS Cachan) a pour objectifs d'améliorer l'estimation des paramètres physiques des matériaux et de reproduire la fissuration à l'aide d'une approche par éléments discrets. Plus récemment, la problématique du fluage des bétons soumis à des températures inférieures à 100°C a été abordée dans le cadre d'une collaboration avec l'ANDRA.

Les post-doctorats de M. Ben Haha et S.T. Gu ont ainsi été mis en place et ont contribué en particulier à la formulation d'un premier modèle de fluage basé sur une approche micromécanique appliquée aux matériaux hétérogènes dont certaines phases sont viscoélastiques linéaires. La thèse de M.Q. Thai qui a débuté en octobre 2009 en partenariat avec l'UPE et l'ANDRA se propose de réaliser l'implantation numérique de ce modèle dans la formulation THM existante, et de le coupler à un modèle décrivant la fissuration du matériau. Ces développements n'étant pas encore finalisés, ils ne seront pas présentés dans ce mémoire.

D'autre part, l'intérêt de coupler les domaines de la chimie et de la mécanique dans les problèmes pratiques de dégradation et d'attaques chimiques des matériaux cimentaires a été clairement mis en évidence au cours des nombreuses discussions et collaborations avec les collègues physico- chimistes du LECBA. L'utilisation des méthodes de changement d'échelle s'est de plus révélée

bien adaptée à ces problèmes. E. Stora durant sa thèse (collaboration avec l'UPE) a ainsi développé un modèle chimie-transport-mécanique (CTM) de dégradation par décalcification des matériaux cimentaires et l'a implanté dans l'outil de simulations numériques Alliances couplant des codes de calcul de chimie, de transport et de mécanique (travail réalisé en partenariat avec le CEA/LSET). Ces études couplées se poursuivent dans le cadre d'actions collaboratives avec AREVA NC concernant entre autre les attaques sulfatiques.

Dans ce mémoire, on se propose d'aborder quelques uns des problèmes couplés dans les matériaux cimentaires en vue d’élaborer des modèles prédictifs de leur comportement à court et long terme. Les développements ont été effectués dans l’optique d’objectifs opérationnels : il s’agit en effet à l'origine d’étudier des pathologies et problèmes concrets pouvant remettre en cause la pérennité ou la durée de vie de certaines structures de génie civil en béton, notamment dans le domaine nucléaire (enceintes de confinement, structures d'entreposage et de stockage de déchets). Les études sont largement motivées par les pathologies réelles recensées sur ces ouvrages. Les modèles développés sont donc astreints à rester relativement simples, avec un nombre raisonnable de paramètres clairement identifiables et interprétables, de façon à ce qu’en pratique les outils de prédiction résultants soient utilisables par des ingénieurs. Dans les applications visées ici, un modèle requiert en général la description de phénomènes complexes et couplés, faisant intervenir plusieurs domaines scientifiques et techniques (mécanique, thermique, transferts en milieux poreux, réactions chimiques, …). Les aspects liés aux couplages et aux phénomènes multi-physiques constituent alors une première ligne conductrice de ce travail. Les approches utilisées sont essentiellement phénoménologiques, c’est-à-dire que les mécanismes décrits le sont à l’échelle macroscopique à l’aide de variables ‘moyennées’ sur un volume élémentaire représentatif (VER). Dans ce type d'approches, on introduit généralement des fonctions et paramètres qu’il convient d’identifier ou caler via des résultats expérimentaux appropriés. Ces paramètres et fonctions, qui peuvent incorporer des informations microstructurales complexes (par exemple les courbes isothermes de sorption et désorption, ou l’évolution des propriétés mécaniques en fonction de l’état de dégradation chimique du matériau), ne sont a priori valables que pour le matériau sur lequel ils ont été identifiés. L’extension à un autre matériau n’est possible que moyennant une autre série d’essais. Il apparait donc intéressant de recourir à des approches permettant d’introduire des informations microstructurales à l’échelle macroscopique de façon à enrichir les modèles phénoménologiques. La mise en œuvre de méthodes de changement d'échelle m'est apparue comme un moyen efficace dans ce sens. Elles seront largement exploitées dans la suite et constituent une seconde ligne conductrice de ce travail.

Ce document comporte deux parties principales. La première traite des couplages THM dans les bétons d’un point de vue de la modélisation et des simulations numériques. Ces études ont été réalisées essentiellement dans l’optique d’une prédiction du comportement des structures d’entreposage de déchets radioactifs à haute activité et à vie longue et des enceintes de confinement de centrales nucléaires. La fissuration du béton est également évoquée au travers des approches de type mécanique de l’endommagement. Un modèle d’endommagement isotrope basé sur la micromécanique est alors introduit dans une formulation THM simplifiée. Cette première partie s’achève sur une présentation analysée et commentée de simulations numériques du comportement de structures simples soumises à des chargements thermiques et hydriques induits.

La deuxième partie du mémoire aborde les problèmes couplés chimie-transport (CT) et CTM dans les matériaux cimentaires en conditions saturées et insaturées. Des modèles simplifiés sont

développés afin de décrire et simuler numériquement le comportement de ces matériaux soumis à la carbonatation atmosphérique, ainsi qu'à la carbonatation et l’attaque sulfatique externe en conditions saturées. La première de ces applications concerne la quasi-totalité des structures en béton armé (le matériau est alors partiellement saturé), tandis que les deux suivantes figurent, tout comme la lixiviation, parmi les scénarios de dégradation susceptibles d’affecter les structures en béton de stockage de déchets radioactifs en site profond. Par ailleurs, l’importance des estimations des propriétés de transport et mécaniques des matériaux, en particulier lorsque leur microstructure évolue significativement au cours des dégradations, est mise en évidence. On présente alors quelques approches analytiques basées notamment sur les méthodes d’approximation de milieux effectifs, ainsi qu'une approche numérique, permettant d’estimer ces propriétés.

Des pistes visant à améliorer les modèles et à étendre leurs domaines d'application sont proposées en guise de perspectives.

2 Couplages thermo-hydro-mécaniques et endommagement

On s’intéresse dans cette partie à la modélisation couplée des phénomènes THM et de la fissuration dans les bétons. Ce travail a été réalisé essentiellement au CEA/LECBA dans le cadre d'actions collaboratives avec EDF/SEPTEN s'inscrivant dans le projet CEA/DSNI/Réacteurs. Les modèles couplés THM sont généralement nécessaires pour prédire correctement le comportement de structures en béton soumises à des chargements thermiques (même modérés), mécaniques, et hydriques induits. Les cas applicatifs envisagés ici concernent les enceintes de confinement et les structures d’entreposage de déchets radioactifs, qui subissent des températures modérées inférieures à 100°C en conditions de service, et pouvant aller jusqu'à 200°C en situations accidentelles. Le chargement hydrique résulte alors la plupart du temps d’un séchage dû à une condition limite en humidité relative sur la surface en contact avec l’atmosphère chauffée nettement plus faible que dans le matériau. Par ailleurs, les gradients thermiques et de pressions capillaires peuvent générer une fissuration plus ou moins intense, qui affecte les propriétés mécaniques, hydromécaniques (tenseur de Biot), ainsi que les propriétés de transport (perméabilité, diffusion).

Pour formuler les modèles, on se placera systématiquement dans le cas général d’un milieu partiellement saturé. La première section établit les équations générales et constitutives du modèle correspondant à un comportement élastique du squelette, et présente une version simplifiée d’un modèle couplé THM ; on propose également un modèle permettant d’estimer les courbes d’adsorption d’un matériau à partir de la connaissance de la distribution de taille de pores. La seconde section introduit les phénomènes de fissuration et présente un modèle d’endommagement relativement simple basé sur une description micromécanique de la fissuration. Parmi les avantages de cette approche, on peut citer la possibilité d’estimer au moyen de méthodes de changement d'échelle l’ensemble des paramètres mécaniques et de transport à partir de la même description de la microfissuration, et l’introduction de variables définissant l'état du matériau comme le degré de saturation dans les estimations, ce qui peut contribuer à limiter le nombre de paramètres à identifier. Le modèle couplé résultant est ensuite implanté dans le code de calcul Cast3m et appliqué à la simulation de structures en béton soumises à des élévations de température modérées. Les résultats numériques sont commentés et comparés aux résultats expérimentaux. Enfin, la troisième section conclut cette partie et présente les perspectives envisagées pour cette thématique.

2.1 Le couplage thermo-hydro-mécanique

2.1.1 Equations générales

On parle de couplages hydromécaniques dans les bétons lorsque les interactions entre la ou les phases fluides circulant dans les pores connectés de ce matériau, ou dans ses fissures, et la phase solide (squelette) deviennent importantes et ne peuvent plus être négligées. On se place ici dans un cadre macroscopique, dans lequel les lois générales sont établies directement à l’échelle du VER et font intervenir des variables d’état macroscopiques. Cette section se propose d’établir les équations générales du problème couplé THM. On considère donc un milieu poreux partiellement saturé en liquide constitué d’eau, de degré de saturation S , dont la phase solide a un _l comportement élastique linéaire isotrope. Les phases fluides circulent dans la porosité connectée φ et interagissent à la fois entre elles et avec la phase solide. La phase gazeuse sera supposée être

composée d’air sec et de vapeur d’eau. Les équations du système sont issues de l’application des lois physiques générales de conservation de masse, de quantité de mouvement et d’énergie. Une telle équation de conservation macroscopique peut prendre la formulation générale suivante en variables eulériennes (Rutqvist et al. 2001) :

M S

t

κ κ κ

ψ ψ ψ

∂ + ∇ ⋅ =

∂ q (2.1)

dans laquelle M_ψ^κ désigne la masse, l’énergie ou la quantité de mouvement par unité de volume du milieu, l’indice ψ se rapporte à la phase considérée (gazeuse, liquide ou solide), l’indice κ renseigne sur la nature de la quantité conservée : masse (air, vapeur, eau, solide), énergie ou quantité de mouvement ; q_ψ^κ est une densité de flux par rapport au système spatial de référence et

ψκ

S est le taux de production du composant κ par unité de volume.

• Equations de conservation de la masse

Les équations de conservation de la masse sont obtenues par application de la relation (1) pour la masse de chacune des phases (fluides et solide) constituant le milieu poreux. Les différents termes intervenant dans le membre de gauche de cette équation prennent la forme générale suivante :

ψκ κ ψ

ψ φ^S ρ

M = , q_ψ^κ =φS_ψρ_ψ^κv_ψ^κ =w_ψ^κ +φS_ψρ_ψ^κv_s (2.2) dans lesquelles φ, S et _ψ ρ_ψ^κ désignent la porosité, le degré de saturation de la phase ψ ^{et la} masse volumique du composant κ, respectivement ; w_ψ^κ est le vecteur flux de masse de κ ^par rapport au squelette solide ; v et _s v_ψ^κ sont les vitesses du solide et de κ, respectivement, et v^κ_rψ est la vitesse relative de κ par rapport au solide définie par :

s

r v v

v^κ_ψ = _ψ^κ − (2.3)

Le terme source S_ψ^κ représente les échanges massiques entre fluides (typiquement les termes d’évaporation/condensation) mais aussi les apports d’eau par exemple lors de la déshydratation des phases solides de la pâte de ciment. L’équation de conservation de la masse d’un fluide prend alors la forme générale :

( ) (

κ

)

ψ^κ

κ ψ ψ ψ ψκ

ψρ φ ρ

φ S S

t

S +∇⋅ =

∂

∂ v (2.4)

L’équation de conservation de la masse du solide s’obtient avec le même raisonnement :

( )

(

^s

) ( ( )

^{s s}

)

^Ss

t +∇⋅ − =

∂

−

∂ φ ρ φ ρv

1 1

(2.5) Le terme S traduit également les pertes (ou apports) de matière solide, qui surviennent _s essentiellement lors du phénomène de déshydratation des phases solides. En exprimant ∇⋅v_s en fonction de la déformation volumique macroscopique ε_v du milieu poreux définie par ε_v=1:εεεε^, où 1 est le tenseur identité d’ordre 2 et εεεε est le tenseur des déformations macroscopiques, par

dt d _v

s = ε

⋅

∇ v , on obtient :

(

^φS_dt^ψρψκ

)

^{+φSψρψκ d}_dt^{ε +∇⋅}

( )

^{ψκ −Sψκ =0}

d _v

w (2.6)

où le vecteur flux de masse relatif au solide est défini par w_ψ^κ =φS_ψρ_ψ^κv^κr_ψ^.

• Equations de conservation de l’énergie

L’équation de conservation de l’énergie repose sur le premier principe de la thermodynamique.

Celui-ci stipule que l’énergie totale contenue dans un volume arbitraire Ω de matériau ne peut évoluer que dans le cas où il y a écoulement de cette énergie à travers les frontières ∂Ω ^de Ω, soit (de Groot et Mazur 1984) :

( ) ∫

∫

∫

Ω

∂ Ε Ω

Ω

−

=

∂ Ω Ε

= ∂ Ω

Ε d dS

d t dt

d ρ ρ J n ^(2.7)

dans laquelle Ε est l’énergie spécifique par unité de masse, J est le flux d’énergie par unité de _Ε surface et n est un vecteur normal à la frontière ∂Ω. L’énergie totale Ε inclut l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et l’énergie interne. Le flux d’énergie contient un terme convectif, un terme dû au travail mécanique et un terme de chaleur. Il est plus commun de trouver cette équation sous une forme faisant intervenir la dérivée matérielle de l’énergie interne, contrebalancée par le taux de travail des efforts internes et le taux de chaleur reçu. On peut alors appliquer la relation (1) pour les phases fluides avec (Rutqvist et al. 2001) :

ψ ψ ψ ψ φ^S ρ ^e

M^h = ^, _ψ^h _ψ e_ψ^{κ κ}r_ψ S_{ψ ψ ψ}e s _ψ ^hr_ψ S_{ψ ψ ψ}e s

κ φ ρ φ ρ

= +

∑

+ = + +

q q q v q q v (2.8)

Dans ces expressions e , _ψ q_ψ^h et q_ψ sont respectivement l’énergie interne par unité de masse, la densité de flux d’énergie et le flux de chaleur de conduction de la phase ψ (on suppose qu’il n’y a pas de source de chaleur volumique) ; e_ψ^κ est l’énergie interne spécifique du composant κ de la phase ψ . Pour la phase solide on a :

( )

s s h

s e

M = 1−φ ρ , q_ψ^h = +qs esqrs+ −

(

¹ φ ρ

)

sesvs = +qs qrs^h + −

(

¹ φ ρ

)

sesvs (2.9) avec les mêmes notations que ci-dessus. En s’appuyant sur l’hypothèse d’équilibre thermique local (température égale en chaque point pour les trois phases), on obtient une équation de conservation de l’énergie en assemblant les équations élémentaires de chacune des phases. Celle- ci s’écrit (voir par exemple (Rutqvist et al. 2001)) :

( )

(

^{Sl lel Sg geg 1 ses}

) (

^{m rlh rgh rsh}

)

^Sh

t φ ρ φ ρ φ ρ

∂ + + − + ∇ ⋅ + + + =

∂ q q q q (2.10)

où q désigne le flux de chaleur de conduction de l’ensemble des phases, _m S^h est le terme source d’apport d’énergie interne dû au travail des forces mécaniques. Remarquons que la relation (2.10) peut s’exprimer de manière alternative en fonction de l’entropie ou de l’enthalpie des différents constituants à la place de leur énergie libre.

• Equations de conservation de la quantité de mouvement

L’équation de conservation de la quantité de mouvement stipule que la dérivée (matérielle) par rapport au temps de la quantité de mouvement de la matière contenue dans un volume arbitraire Ω de matériau est égale au taux de production correspondant. Ce taux est dû aux forces externes agissant sur la matière. On décompose généralement ces dernières en forces de volume de densité massique F , ne dépendant que de la position du point considéré, et en forces surfaciques de contact s’exerçant sur les frontières ∂Ω de Ω. Soit T la densité surfacique de forces agissant au point x de ∂Ω, de normale sortante n. L’équation de conservation de la quantité de mouvement prend alors la forme suivante (Coussy 2004) :

( ) ∫ ∫

∫

Ω ∂Ω

Ω

+ Ω

= Ω +

+ _{l rl g rg} d d dS

s ρφ_l ρ φ_g ρF T

ργγγγ γγγγ γγγγ ^(2.11)

où ρ =

(

1−φ

)

ρs +φlρl +φgρg est la masse totale de la matière contenue dans Ω, γγγγ_s ^et γγγγrκ

désignent respectivement l’accélération des particules du squelette solide et celle des particules du fluide κ relativement au solide. En introduisant de plus le tenseur des contraintes totales de Cauchy σσσσ ^{tel que} σσσσn=T , on obtient :

( )

(

^{∇⋅ + − − −}

)

^Ω=0

∫

Ω

rg d

g rl l

s γγγγ γγγγ

γγγγ

σσσσ ρ ^F ρφ_l ρ φ_g (2.12)

Cette équation étant vraie quelque soit Ω, on obtient la forme locale bien connue suivante dans le cas quasi-statique (accélérations nulles) :

=0 +

⋅

∇ σσσσ ρF ^(2.13)

On remarque que les contraintes intervenant dans cette relation sont les contraintes totales.

2.1.2 Un modèle THM simplifié pour les bétons

On applique le formalisme précédent en adoptant l’hypothèse simplificatrice selon laquelle la phase gazeuse est composée uniquement de vapeur. Cette hypothèse semble justifiée lorsque les températures et les cinétiques de montée en température sont importantes car les phénomènes d’évaporation et de transferts convectifs sont a priori prépondérants. D’autre part les matériaux cimentaires étant initialement très saturés (le degré de saturation est généralement supérieur à 80 – 90 % pour des matériaux standards), on peut considérer que la quantité d’air (sec) présente avant le chargement thermique est relativement faible et que, du fait de la désaturation induite, cet air sec va être assez rapidement remplacé par la vapeur résultant du mécanisme d’évaporation.

Enfin, certains auteurs ont montré que pour des températures ambiantes et pour des matériaux de bonne qualité, le phénomène de transfert principal lors du séchage du béton est la convection de la phase liquide, largement prépondérante par rapport à la diffusion de la vapeur et la convection de la phase gazeuse, qui peuvent être négligées (Mainguy et al. 2001). On présente à la section

§2.3.1 des résultats numériques comparant le modèle simplifié avec un modèle plus complet (Gawin et al. 1999; Gawin et al. 2003) dans lequel l'air sec et la vapeur sont considérés et forment la phase gazeuse. Les résultats de la comparaison confirment la pertinence de l'hypothèse simplificatrice. Le milieu poreux est ainsi constitué à l’échelle macroscopique de 3 milieux continus superposés : le squelette solide, l’eau liquide et l’eau vapeur, cette dernière constituant la totalité de la phase gazeuse puisque l’air sec est négligé. La conservation des masses d’eau liquide et vapeur s’écrit alors de la manière suivante, à partir de (2.4) (Bary et al. 2008) :

d m

m_l)=−∇⋅( _{l l})− _l→v+ &

t( µ

∂∂

v , m =−∇⋅ m +µ_l→v

∂

∂ ( ) ( )

t ^{v v}v^v (2.14)

avec m et _l m les quantités d’eau liquide et vapeur par unité de volume _v dΩ. Ces quantités peuvent être données en fonction de S_l et de φ par les relations suivantes :

l l l

l d T p S

m =φ( )ρ ( , ) , m_v =φ(d)ρ_v(T,p_v)(1−S_l) ^(2.15) où ρ_l(T,p_l) ^et ρv⁽T^,pv⁾ sont respectivement la masse volumique de l’eau liquide et de l’eau vapeur, dépendant de la température et de la pression. De plus, µ_l→v représente la quantité d’eau liquide transformée en eau vapeur par unité de volume dΩ et de temps. Enfin, d& traduit la quantité d’eau liée libérée sous forme liquide par unité de volume dΩ et de temps. Cette quantité peut être reliée à la masse du squelette solide m_s par unité de volume par la relation suivante :

t d

m_s =−&

∂

∂ (2.16)

Ce terme permet de prendre en compte le phénomène de déshydratation consécutif aux échauffements dans les matériaux cimentaires. Celui-ci décrit le relâchement de l’eau liée dans les hydrates de la pâte de ciment (C-S-H et portlandite principalement pour les pâtes de ciment Portland) vers le réseau poreux du matériau. Ainsi la porosité qui dépend de la nature et du volume occupé par les hydrates présents dans la pâte de ciment, est reliée à la température par l’intermédiaire de la quantité d’eau chimiquement liée extraite par déshydratation φ(d)≡φ(T). En sommant les équations de conservation de masse (2.14) et en développant les termes de dérivées, on obtient l’expression suivante :

( )

t d S

S

S t S t

t S t

S S t

S

v l l v v v

l

v v l l v v l l l

l v v

&

∂ = + ∂

+ +

⋅

∇ +



 



 + + +

+ +

ρ ε ρ φ

∂

∂ρ

∂

∂ρ

∂ ρ ∂

∂ ρ ∂

∂ φ ρ ∂φ ρ

) (

) (w w

(2.17)

dans laquelle l’approximation classique suivante d_s(⋅) dt≈∂(⋅) ∂t (voir par exemple (Khalili et Loret 2001)) a été adoptée. L’équation de conservation de l’entropie s’écrit pour le système de trois phases considéré dans le modèle simplifié (Coussy 2004) :

q w

w =−∇⋅

 +∇⋅(s_{l l} +s_{v v}) t

T S

∂

∂ (2.18)

avec S l’entropie interne totale de la matière par unité de volume dΩ, qui peut être décomposée sous la forme S =S_s +m_ls_l +m_vs_v où S , _s s et _l s sont respectivement l’entropie du squelette _v solide, de l’eau liquide et de la vapeur d’eau. L’équation ci-dessus comprend également le terme classique de flux associé à la conduction de chaleur ( q est le flux de chaleur). On exprime classiquement les équations d’état pour l’entropie des phases solides et fluides sous la forme (Coussy 2004) :

0

0 ln

T C T s

s_l = _l + _pl ,

0 0

0 ln ln

v v pv

v

v p

R p T C T s

s = + − (2.19)

C et pl C représentent respectivement les capacités thermiques de l’eau liquide et vapeur, _pv supposées constantes et indépendantes de la température ; s , _l0 s et _v0 p sont les entropies et la _v0 pression de vapeur définies à un état de référence à la température T . L’entropie de la phase ₀ solide peut également être décomposée en la considérant comme l’assemblage d’une phase solide sèche (constituée de granulats et de grains de ciment) et d’eau liée :

( )

bw ds

ds

s m s d d s

S = + ₀ − (2.20)

où m représente la masse de ciment et de granulats par unité de volume, d’entropie _ds s . _ds

(

^d0 ^−d

)

exprime la quantité totale d’eau liée par unité de volume, avec d la quantité initiale ₀ d’eau liée présente dans le matériau à la température de référence T . L’entropie de l’eau liée ₀ s _bw est a priori supposée différente de celle de l’eau liquide.

Pour compléter le système, l’équation d’état pour l’entropie de la phase solide sèche est donnée par :

0

0 ln

T C T s

s_ds = _ds + _ds (2.21)

où C est la capacité thermique de la phase solide sèche, supposée constante et indépendante de _ds la température. L’utilisation des équations de conservation des masses d’eau liquide et vapeur permet d’écrire l’équation de conservation de l’entropie de la manière suivante (Coussy 2004;

Sercombe et al. 2001) :

( _l, ) ( _{l pl v pv}) ^v _{v l v l v s l}

v

c S d T C C T p L L d

t

∂ µ

∂ ^{+ + −} ρ ^{⋅ = − ⋅ − → → − →}

w w ∇∇∇∇ w ∇∇∇∇ ∇∇∇∇ q & (2.22)

dans laquelle :

* c(S_l,d)=m_dsC_ds +φρ_lS_lC_pl +φρ_v(1−S_l)C_pv +(d₀ −d)TC_bw est la capacité calorifique volumique du béton. Elle dépend de la saturation en eau liquide et de la quantité d’eau liée libérée par déshydratation. La capacité thermique de l’eau liée C est supposée indépendante de la _bw température,

* (w_lC_pl +w_vC_pv)∇∇∇∇T représente la chaleur transportée par convection par les fluides. Ce terme est généralement négligeable pour des matériaux peu perméables comme le béton (Bazant et Kaplan 1996),

* ^w_v/ρ_v∇∇∇∇p_v est la dissipation de chaleur associée à la compressibilité de la phase d’eau vapeur,

* L_l→v =T(s_v −s_l) caractérise la chaleur latente de vaporisation telle que définie par la relation bien connue de Clapeyron, qui traduit l’équilibre thermodynamique liquide/vapeur en conditions non-isothermes. Par analogie, L_s→l =T(s_s −s_bw) caractérise la chaleur latente de déshydratation qui représente la quantité de chaleur consommée par le système par unité de masse d’eau liée pour déshydrater la pâte de ciment. Ce terme apparaît dans l’équation de conservation de l’entropie comme un puits de chaleur, et traduit le caractère endotherme du processus de déshydratation (Ulm et al. 1999).

2.1.3 Equations constitutives

Les équations générales gouvernant les évolutions du système présentées au paragraphe précédent ne suffisent pas à définir totalement les états de ce système. Il faut alors avoir recours à des relations supplémentaires, telles que les équations dites constitutives (par exemple les lois de Darcy et de Fourier), les équations d’état, d’équilibre ou de comportement (par exemple la loi de Kelvin).

On présente brièvement une méthode rigoureuse basée sur le respect du second principe de la thermodynamique pour justifier une partie des équations constitutives introduites. Le second principe de la thermodynamique repose sur l’existence (postulat) d’une fonction d’état s appelée entropie dont les variations au cours des transformations subies par le système sont bornées inférieurement. Cette borne inférieure correspond au taux de production d’entropie fournie au système par son environnement. La forme locale caractérisant la non-négativité de la production interne d’entropie s’écrit (Coussy 2004) :

( )

:d _j dm^j dT d _{j j} 0

g S g s T T

dt − dt − dt − dtψ φ+ _→− ∇ + ∇ − ∇ ≥_j Tq εεεε w

σσσσ ^(2.23)

dans laquelle ψ est l’énergie libre volumique et g désigne l’enthalpie libre massique de la _j phase fluide j, définie par la formulation classique g_j =e_j + p_j ρ_j −Ts_j. Cette relation est connue sous le nom d’inégalité fondamentale de Clausius-Duhem. Le terme φ_→ représente l’énergie dissipée lors des processus de transformation des différentes phases ; dans notre cas ces processus se résument au changement de phase liquide-vapeur et à la déshydratation de la phase

solide sous l’effet de la température. Cette dissipation est en général négligée en THM.

L’inégalité (2.23) est importante car elle permet d’une part de définir les différents mécanismes dissipatifs, et d’autre part d’introduire des lois complémentaires ou constitutives de manière rigoureuse. Soient φ₁^, φ₂ ^et φ3 les dissipations intrinsèque (ou mécanique), due au transport de chaleur et au transport de fluides, respectivement :

dt d dt dT dt

g dm dt

d j

j

φ1 =σσσσ ^: εεεε − −s − ψ , ₂ T φ = − ∇Tq

, φ₃ =−wj

(

∇^gj+^s_j∇^T

)

(2.24) L’inégalité fondamentale prend donc la forme φ =φ₁ +φ_→ +φ₂ +φ₃ ≥0. Le postulat de l’état local stipule que les différentes fonctions d’état ne dépendent que des variables d’état et non de leurs gradients et taux de variations. Ainsi φ_→^, φ₂ ^et φ3 peuvent prendre des valeurs quelconques indépendamment de φ₁ ; en particulier elles peuvent être nulles. On impose donc la non négativité de φ₁ indépendamment de celle de φ, c’est-à-dire :

3 0

2

1 + + + ≥

=φ φ_→ φ φ

φ ^{, et} φ₁ ≥0 ^(2.25)

Le fait que φ₁ ≥0 permet, en supposant que les évolutions des variables d’état sont indépendantes les unes des autres (ensemble de variables dites normales), d’introduire les équations d’état. Pour introduire les lois de conduction classiques de manière simple, on est amené à faire des hypothèses concernant l’inégalité (2.25). L’hypothèse la plus restrictive consiste à découpler les dissipations φ₂ et φ₃ et à imposer leur non négativité de manière indépendante. La dissipation φ₂ peut ainsi être interprétée comme le produit de la force thermodynamique −∇T et du vecteur flux d’entropie q T. Moyennant l’hypothèse de mécanisme dissipatif normal, on introduit classiquement la loi de Fourier en imposant une relation linéaire entre le vecteur flux d’entropie et la force thermodynamique associée, soit :

T T

Tq = − ∇ ⇔ = − ∇T Λ q

Λ

ΛΛ ΛΛΛΛ (2.26)

où ΛΛΛΛ est le tenseur des coefficients de conductivité thermique, qui est défini positif. Dans le cas où le matériau est isotrope on a ΛΛΛΛ=λ1 ^avec λ(T) le coefficient de conductivité thermique du matériau.

Le modèle THM simplifié suppose que la phase gazeuse n’est constituée que de vapeur. Il n’y a donc aucun mélange de fluides et en introduisant les équations d’état des fluides dans l’expression de la dissipation φ₃, l’inégalité suivante est obtenue :

≥0

∇

− _j

j

j p

ρ

w (2.27)

On applique la démarche précédente en identifiant les forces thermodynamiques −∇p_j et les vecteurs flux d'entropie ^w_j ρ_j et on aboutit alors à la loi de Darcy généralisée étendue aux n fluides saturant, qui prend la forme :

k jk j

j =−K ∇p

w

ρ ^(2.28)

Le tenseur K (sans sommation sur les indices) est le tenseur de perméabilité relative de la _jj phase j en présence des autres phases. K_jk avec j≠k permet d’introduire des couplages entre mouvements de fluides : en l’occurrence, un mouvement de la phase j (sous l’effet d’un gradient de pression −∇p_j) peut provoquer un mouvement de la phase k et réciproquement. Ces couplages sont attribués aux forces visqueuses et aux forces d’interface entre fluides. Dans le

modèle THM simplifié, les termes croisés K_jk sont négligés car le rapport des viscosités est très différent de 1 (Mainguy et al. 2001). D’autre part, on a en général pour un milieu isotrope

jj =kjj

K 1 :

) ) (

(

l rl j

jj K k S

k η

= φ ^(2.29)

avec K(φ) la perméabilité intrinsèque fonction de la microstructure du matériau (dans la suite les phénomènes darcéens associés au gaz et au liquide seront dissociés), η_j la viscosité dynamique de la phase considérée et k_rl(S_l) la perméabilité relative fonction de la saturation.

Lois complémentaires

La pression capillaire est définie dans un milieu poreux partiellement saturé par p_c = p_g − p_l, où pg est la pression de la phase gazeuse. Elle résulte des tensions superficielles s’exerçant aux interfaces entre les phases liquide, gazeuse et solide. Sans entrer dans les détails, la pression capillaire dépend en particulier du rayon des ménisques d’eau formés dans les pores au travers de la loi de Laplace, et donc de la distribution de taille des pores et du degré de saturation. Plus précisément, elle dépend de la microstructure du matériau au sens large, incluant les caractéristiques de connectivité des pores en fonction de leur taille. On introduit généralement la fonction p_c(S_l) pour décrire les évolutions de p_c dans les modèles THM (voir par exemple (Coussy 2004; Gawin et al. 1999; Gawin et al. 2003)). Cette fonction est donc censée intégrer de manière simplifiée des informations microstructurales très complexes, mais aussi des données concernant l’histoire hydrique du matériau (sorptions et désorptions successives). Puisque la microstructure du matériau varie de plus en fonction de la température du fait de la déshydratation, décrire tous ces phénomènes à l’aide de la seule fonction p_c(S_l) paraît peu réaliste. A la fin de cette section un modèle analytique permettant d’approcher p_c(S_l,T) est proposé.

En négligeant la dissipation d’énergie liée au changement de phase liquide – vapeur et en considérant que les échanges sont instantanés, les enthalpies libres massiques de l’eau et de la vapeur sont égales localement et la loi de changement de phase s’écrit dg_v(p_v,T)= dg_l(p_l,T). En utilisant les équations d’état des fluides, et sous les conditions de changement de phase isotherme, de comportement de gaz parfait pour la vapeur et d’incompressibilité de l’eau, cette expression peut se mettre sous la forme de la loi de Kelvin :

( )

c

l v

r p

RT T h M

) ln (

−ρ

= (2.30)

dans laquelle h_r = p_v/p_vs, avec p_vs la pression de vapeur saturante, définit le degré d’humidité relative. Cette loi est couramment employée dans les problèmes THM, bien qu’elle ne soit théoriquement plus applicable lorsque h_r est faible du fait des phénomènes d'interaction liquide – solide (pressions de disjonction,…) qui deviennent prépondérants.

Comportement thermoporoélastique

En s’appuyant sur le formalisme de la thermodynamique des processus irréversibles (TPI), il est possible de formuler une loi de comportement thermoporoélastique linéaire. Celui-ci étant défini par une dissipation intrinsèque nulle, les lois constitutives sont données par les équations d’état pour peu que l’expression de l’énergie libre ψ soit connue. La méthode généralement adoptée consiste alors à proposer une forme quadratique pour ψ et pour les enthalpies libres massiques des fluides g obtenue par un processus de linéarisation par rapport aux variables d’état _j εεεε^,

0 0 j j j j

j J

m = ρ φ −ρ φ , avec J le jacobien de la transformation, et θ =T−T₀ jusqu’au second ordre (Coussy 2004). Dans le cas isotrope on montre que l’équation d’état σσσσ =∂ψ /∂εεεε conduit à l’expression bien connue :

2µ : k : b_j p_j 3α θk0

= J + L − 1 − ₀ 1

σ ε ε

σσ εε εε

σ ε ε ^(2.31)

où µ et k sont les modules de cisaillement et de compressibilité drainés, respectivement, α₀ ^est le coefficient de dilatation, b est le coefficient de Biot de la phase j et L et _j J désignent les opérateurs de projection orthogonaux L= ⊗1 1 et J = ⊗ −1 1 1/ 3L .

Dans le cas où un ou plusieurs des fluides ont un comportement fortement compressible (gaz), la linéarisation de g n’est plus possible car la masse volumique varie de manière importante en _j fonction de la pression ; de plus le degré de saturation des phases peut évoluer théoriquement de 0 à 1. Le comportement devient alors non linéaire, certains des paramètres dépendant de la solution. Dans ce cas on peut par exemple utiliser une forme incrémentale de (2.31). Les paramètres et tenseurs introduits gardent la même signification mais correspondent alors à des propriétés tangentes. Cependant, dans de nombreux modèles THM la formulation (2.31) est adoptée concernant les couplages hydromécaniques du fait de sa simplicité (voir par exemple (Gawin et al. 1999; Gawin et al. 2003)). On peut pallier la caractérisation expérimentale problématique des coefficients b en introduisant le concept de contraintes effectives de Bishop _j sous la forme (e.g., (Gray et Schrefler 2001)) :

( )

(

^{χpl 1 χ pg}

)

′ = + + − 1

σ σ σ σσ σ

σ σ ^(2.32)

où χ est le paramètre de Bishop, fonction du degré de saturation des phases. La forme la plus communément rencontrée correspond à χ =S_l (Gray et Schrefler 2001). On présente au §2.2 une approche micromécanique utilisant un schéma d’approximation de milieu effectif pour estimer les coefficients de couplage b en fonction du degré de saturation. _j

Exemple d'estimation des courbes isothermes de sorption

On présente dans ce paragraphe une étude réalisée dans le but d’estimer les courbes isothermes de sorption et les courbes de pression capillaire d’un matériau cimentaire à partir de la donnée de la distribution de taille de pores, obtenue par exemple par porosimétrie au mercure (Bary 2006).

L’intérêt de la méthode réside dans l’utilisation de résultats explicites concernant le volume que peut occuper une sphère ‘test’ de rayon donné dans un système 3D de sphères pouvant se recouvrer et dont la taille varie suivant une dispersion définie (Lu et Torquato 1992; Torquato 2001). On suppose que ce système de sphères (ou particules) représente de manière simplifiée mais suffisamment précise l’espace poreux des matériaux cimentaires. On définit alors la fonction probabilité d’exclusion de volume e_v(r) par la probabilité de trouver une cavité sphérique de rayon r , centrée arbitrairement, vide de particule. Cette fonction est reliée à la fonction de distribution de surface la plus proche h_v(r) par (Lu et Torquato 1992; Torquato 2001) :

∫

∞

−

−

=

r v

v r h x dx

e ( ) 1 ( ) (2.33)

) (r

h_v est définie de telle sorte que la quantité h_v(r)dr correspond à la probabilité qu’en un point du système positionné arbitrairement, la surface de la particule la plus proche est située à une distance comprise entre r et r+dr. Puisque les particules ont une taille variable, r est compris dans l’intervalle

[

−∞,∞

]

, les valeurs négatives signifiant que le point est situé dans les particules elles-mêmes. Pour un système de sphères recouvrantes dont la distribution des rayons R suit une