2 Couplages thermo-hydro-mécaniques et endommagement
2.1 Le couplage thermo-hydro-mécanique
2.1.1 Equations générales
On parle de couplages hydromécaniques dans les bétons lorsque les interactions entre la ou les phases fluides circulant dans les pores connectés de ce matériau, ou dans ses fissures, et la phase solide (squelette) deviennent importantes et ne peuvent plus être négligées. On se place ici dans un cadre macroscopique, dans lequel les lois générales sont établies directement à l’échelle du VER et font intervenir des variables d’état macroscopiques. Cette section se propose d’établir les équations générales du problème couplé THM. On considère donc un milieu poreux partiellement saturé en liquide constitué d’eau, de degré de saturation S , dont la phase solide a un l comportement élastique linéaire isotrope. Les phases fluides circulent dans la porosité connectée φ et interagissent à la fois entre elles et avec la phase solide. La phase gazeuse sera supposée être
composée d’air sec et de vapeur d’eau. Les équations du système sont issues de l’application des lois physiques générales de conservation de masse, de quantité de mouvement et d’énergie. Une telle équation de conservation macroscopique peut prendre la formulation générale suivante en variables eulériennes (Rutqvist et al. 2001) :
M S
t
κ κ κ
ψ ψ ψ
∂ + ∇ ⋅ =
∂ q (2.1)
dans laquelle Mψκ désigne la masse, l’énergie ou la quantité de mouvement par unité de volume du milieu, l’indice ψ se rapporte à la phase considérée (gazeuse, liquide ou solide), l’indice κ renseigne sur la nature de la quantité conservée : masse (air, vapeur, eau, solide), énergie ou quantité de mouvement ; qψκ est une densité de flux par rapport au système spatial de référence et
ψκ
S est le taux de production du composant κ par unité de volume.
• Equations de conservation de la masse
Les équations de conservation de la masse sont obtenues par application de la relation (1) pour la masse de chacune des phases (fluides et solide) constituant le milieu poreux. Les différents termes intervenant dans le membre de gauche de cette équation prennent la forme générale suivante :
ψκ κ ψ
ψ φS ρ
M = , qψκ =φSψρψκvψκ =wψκ +φSψρψκvs (2.2) dans lesquelles φ, S et ψ ρψκ désignent la porosité, le degré de saturation de la phase ψ et la masse volumique du composant κ, respectivement ; wψκ est le vecteur flux de masse de κ par rapport au squelette solide ; v et s vψκ sont les vitesses du solide et de κ, respectivement, et vκrψ est la vitesse relative de κ par rapport au solide définie par :
s
r v v
vκψ = ψκ − (2.3)
Le terme source Sψκ représente les échanges massiques entre fluides (typiquement les termes d’évaporation/condensation) mais aussi les apports d’eau par exemple lors de la déshydratation des phases solides de la pâte de ciment. L’équation de conservation de la masse d’un fluide prend alors la forme générale :
( ) (
κ)
ψκκ ψ ψ ψ ψκ
ψρ φ ρ
φ S S
t
S +∇⋅ =
∂
∂ v (2.4)
L’équation de conservation de la masse du solide s’obtient avec le même raisonnement :
( )
(
s) ( ( )
s s)
Sst +∇⋅ − =
∂
−
∂ φ ρ φ ρv
1 1
(2.5) Le terme S traduit également les pertes (ou apports) de matière solide, qui surviennent s essentiellement lors du phénomène de déshydratation des phases solides. En exprimant ∇⋅vs en fonction de la déformation volumique macroscopique εv du milieu poreux définie par εv=1:εεεε, où 1 est le tenseur identité d’ordre 2 et εεεε est le tenseur des déformations macroscopiques, par
dt d v
s = ε
⋅
∇ v , on obtient :
(
φSdtψρψκ)
+φSψρψκ ddtε +∇⋅( )
ψκ −Sψκ =0d v
w (2.6)
où le vecteur flux de masse relatif au solide est défini par wψκ =φSψρψκvκrψ.
• Equations de conservation de l’énergie
L’équation de conservation de l’énergie repose sur le premier principe de la thermodynamique.
Celui-ci stipule que l’énergie totale contenue dans un volume arbitraire Ω de matériau ne peut évoluer que dans le cas où il y a écoulement de cette énergie à travers les frontières ∂Ω de Ω, soit (de Groot et Mazur 1984) :
( ) ∫
∫
∫
Ω
∂ Ε Ω
Ω
−
=
∂ Ω Ε
= ∂ Ω
Ε d dS
d t dt
d ρ ρ J n (2.7)
dans laquelle Ε est l’énergie spécifique par unité de masse, J est le flux d’énergie par unité de Ε surface et n est un vecteur normal à la frontière ∂Ω. L’énergie totale Ε inclut l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et l’énergie interne. Le flux d’énergie contient un terme convectif, un terme dû au travail mécanique et un terme de chaleur. Il est plus commun de trouver cette équation sous une forme faisant intervenir la dérivée matérielle de l’énergie interne, contrebalancée par le taux de travail des efforts internes et le taux de chaleur reçu. On peut alors appliquer la relation (1) pour les phases fluides avec (Rutqvist et al. 2001) :
ψ ψ ψ ψ φS ρ e
Mh = , ψh ψ eψκ κrψ Sψ ψ ψe s ψ hrψ Sψ ψ ψe s
κ φ ρ φ ρ
= +
∑
+ = + +q q q v q q v (2.8)
Dans ces expressions e , ψ qψh et qψ sont respectivement l’énergie interne par unité de masse, la densité de flux d’énergie et le flux de chaleur de conduction de la phase ψ (on suppose qu’il n’y a pas de source de chaleur volumique) ; eψκ est l’énergie interne spécifique du composant κ de la phase ψ . Pour la phase solide on a :
( )
s s hs e
M = 1−φ ρ , qψh = +qs esqrs+ −
(
1 φ ρ)
sesvs = +qs qrsh + −(
1 φ ρ)
sesvs (2.9) avec les mêmes notations que ci-dessus. En s’appuyant sur l’hypothèse d’équilibre thermique local (température égale en chaque point pour les trois phases), on obtient une équation de conservation de l’énergie en assemblant les équations élémentaires de chacune des phases. Celle-ci s’écrit (voir par exemple (Rutqvist et al. 2001)) :( )
(
Sl lel Sg geg 1 ses) (
m rlh rgh rsh)
Sht φ ρ φ ρ φ ρ
∂ + + − + ∇ ⋅ + + + =
∂ q q q q (2.10)
où q désigne le flux de chaleur de conduction de l’ensemble des phases, m Sh est le terme source d’apport d’énergie interne dû au travail des forces mécaniques. Remarquons que la relation (2.10) peut s’exprimer de manière alternative en fonction de l’entropie ou de l’enthalpie des différents constituants à la place de leur énergie libre.
• Equations de conservation de la quantité de mouvement
L’équation de conservation de la quantité de mouvement stipule que la dérivée (matérielle) par rapport au temps de la quantité de mouvement de la matière contenue dans un volume arbitraire Ω de matériau est égale au taux de production correspondant. Ce taux est dû aux forces externes agissant sur la matière. On décompose généralement ces dernières en forces de volume de densité massique F , ne dépendant que de la position du point considéré, et en forces surfaciques de contact s’exerçant sur les frontières ∂Ω de Ω. Soit T la densité surfacique de forces agissant au point x de ∂Ω, de normale sortante n. L’équation de conservation de la quantité de mouvement prend alors la forme suivante (Coussy 2004) :
( ) ∫ ∫
désignent respectivement l’accélération des particules du squelette solide et celle des particules du fluide κ relativement au solide. En introduisant de plus le tenseur des contraintes totales de Cauchy σσσσ tel que σσσσn=T , on obtient :
Cette équation étant vraie quelque soit Ω, on obtient la forme locale bien connue suivante dans le cas quasi-statique (accélérations nulles) :
=0 +
⋅
∇ σσσσ ρF (2.13)
On remarque que les contraintes intervenant dans cette relation sont les contraintes totales.