CEA-N Note CEA-N

- Note CEA-N-1107 -

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay Direction de la Physique

Département du Synchrotron Sa turne Service chargé de l'Entretien et du Fonctionnement de Saturne

EXPRESSIONS GENERALES DES COEFFICIENTS D'ABERRATION DES SYSTEMES DE LENTILLES QUADRIPOLAIRES, NOMBRE DE COEFFICIENTS D'ABERRATION INDEPENDANTS

ET RELATIONS EXISTANT ENTRE CES COEFFICIENTS

par

Pierre TANGUY

- Juillet 1969 -

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay Direction de la Physique

Département du Synchrotron Saturne Service chargé de l'Entretien et du Fonctionnement de Saturne

EXPRESSIONS GENERALES DES COEFFICIENTS D'ABERRATION DES SYSTEMES DE LENTILLES QUADRIPOLAIRES

NOMBRE DE COEFFICIENTS D'ABERRATION INDEPENDANTS ET RELATIONS EXISTANT ENTRE CES COEFFICIENTS

par

Pierre TANGUY

Ce travail a été effectué au Laboratoire d'Electronique de la Faculté des Sciences de Rênnes sous la direction de M. le Professeur REGENSTREIF.

De fructueuses discussions avec MM. FAURE et VIENET (Département

Sa turne du C.E. A. ) ont permis de le mener à bien.

SOMMAIRE

I - INTRODUCTION

II - EXPRESSIONS GENERALES DES COEFFICIENTS D'ABERRATION 2. 1 - Les équations de la trajectoire

2. 2 - Le potentiel scalaire dans une lentille quadripolaire 2. 2. 1 - Expression générale du potentiel scalaire

2. 2. 2 - Le potentiel scalaire pour un système à symétrie quadripolaire 2. 3 - Les équations de la trajectoire dans une lentille quadripolaire

2. 4 - Expressions générales des coefficients d'aberration III - NOMBRE DE COEFFICIENTS D'ABERRATION INDEPENDANTS IV - RELATIONS LIANT LES COEFFICIENTS D'ABERRATION

4. 1 - Relations obtenues par application du théorème de Poincaré 4. 2 - Relations générales liant les coefficients d'aberration V - CONCLUSION

APPENDICE

NOMBRE DE COEFFICIENTS D'ABERRATION INDEPENDANTS ET RELATIONS EXISTANT ENTRE CES COEFFICIENTS

I INTRODUCTION

Pour décrire les aberrations géométriques des lentilles quadripolaires, on déve- loppe en série les écarts AX, AY, AX' et AY' entre les excursions et pentes de la trajec- toire réelle et celles de la trajectoire calculée grâce à l'approximation de Gauss. Les termes dominants de ces développements sont du 3ème degré en X

0, Y

0, X'

0 et Y'

0• (X

0, Y

0, X'

0 et Y' désignent les excursions et pentes initiales de la trajectoire considérée). Compte tenu des

0

symétries du problème, chaque développement ne peut contenir que 10 termes du 3ème degré, Les aberrations géométriques du 3ème ordre des lentilles quadripolaires peuvent donc être décrites à l'aide de 40 coefficients d'aberration dont nous donnons les expressions générales,

Nous montrons ensuite qu'en décrivant les aberrations à l'aide des variables X , Y , X' et Y' , 19 des 40 coefficients d'aberration sont indépendants. En appliquant le

0 0 0 0

théorème des invariants intégraux de Poincaré, nous établissons 21 relations indépendantes liant les coefficients d'aberration lorsque les plans d'entrée et de sortie du système sont situés dans des régions où le champ est nul, puis en utilisant les expressions· générales donnant les coefficients d'aberration, nous généralisons ces relations au cas où les plans d'en- trée et de sortie sont situés dans des régions où le champ n'est pas nul.

En plus de leur intérêt théorique, les résultats de cette étude pourront être mis à profit pour calculer numériquement les coefficients d'aberration d'un système quelcon- que de quadripoles.

II EXPRESSIONS GENERALES DES COEFFICIENTS D'ABERRATION

Afin de calculer les expressions générales des coefficients d'aberration d'une lentille quadripolaire, nous établirons :

a) les équations de_ la trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique ; b) l'expression générale du potentiel scalaire permettant de calculer les valeurs des compo- santes de l'induction magnétique dans l'espace inter-électrodes.

Nous obtiendrons les expressions générales des coefficients d'aberration en ne gardant dans les équations du mouvement que les termes du 3ème ordre puis en résolvant ces équations par la méthode des perturbations.

2. 1 - Les équations de la trajectoire

Dans un système de quadripoles, il est plus utile de conna1tre les trajectoires

des particules en calculant leurs excursions X et Y en fonction de z (distance parcourue le long de l'axe optique) que les équations paramétriques X (t}, Y (t} et z(t} de ces trajectoires.

Avec t pour variable indépendante le lagrangien décrivant le mouvement d'une particule de masse rn et de charge q dans un champ magnétique d'induction B

...

dérivant du potentiel vecteur

Â

est [ 1, 3 ]

1 -+2 ... ...

L =

2

^{mv + qv A}

En prenant z pour variable indépendante les équations düférentielles de la trajectoire s'obtiendront en explicitant les équations d'Euler-Lagrange pour la fonction

L dt dz

-

_z 1

= _!_ x rn (1 + X¹² + Y'2 ) + q (X'A + Y'A +A )

2 t' x y z

(1)

(2)

les points désignant les dérivations par rapport au temps, les primes les dérivations par rapport à z. Nous obtenons les équations de la trajectoire en explicitant les équations de Lagrange

d (

o'i } o~

"'"'d'Z oX' - oX ⁰ d

dz

( ~~~)- ~f

⁰

en tenant compte de la relation

nous trouvons

1

t'

^z

[

oAx oAy oAz

J

^dAy

q X' - - +Y' - - + - -0 y 0 y 0 y - q ~ uz (3)

(4}

(5)

Effectuons les dérivations indiquées dans les premiers membres des équations (5) et rempla- çons dans les seconds membres les dérivées totales dAx et

~

par

dz dz

dAX oAx

+X' oAx

+Y' oAx

~

az-

^{~ ~}

dAy oAy

+X' oAy

Y' oAy

--a:z- az-

^{a r +} ~

compte tenu de la relation

... ...

B =V x A ces équations deviennent

X" (1 + Y12 ) - X'Y'Y" _s_ (1 + X 12 + Y 12)3

/2 (Y'B - B )

mv z

Y

-X'Y'X" + (1 + X¹²)Y¹¹ _s_ (1 + X'2 + Y 12)3

/2 (B - X'B )

mv X z

(6}

(7)

(8)

..

Finalement, la résolution des équations (8) par rapport à X" et Y' donne les équations de la trajectoire de la particule cheminant dans le champ magnétique d'induction B sous la

...

forme

x"

(9)

les équations (9) permettront d'obtenir les équations des trajectoires dans une lentille quadri- polaire lorsque les composantes Bx, By et Bz de l'induction magnétique auront été calculées à partir du potentiel scalaire.

2. 2 - Le potentiel scalaire dans une lentille quadripolaire 2. 2. 1 - Expression générale du potentiel scalaire

Dans une région où il n'y a pas de courants, comme dans l'espace inter-élee- trodes d'une lentille quadripolaire, l'induction magnétique B dérive d'un potentiel scalaire V. -+

Dans le cas des lentilles quadripolaires, le potentiel scalaire a été calculé notamment par M. Y. BERNARD [ 2] puis par MEADS [ 3] ; nous résumons ici la méthode préconisée par MEAD S.

Le potentiel devant être nul- sur l'axe optique d'une lentille quadripolaire, il doit admettre, si nous adoptons un système de coordonnées cylindriques r, 9, z, un déve- loppement de la forme

v

(r,

a,

z)

=

(10)

Puisque pour r et z fixes V (r, 9, z) doit être fonction périodique de

a

de période 2 1T,

chaque fm (9, z) doit être développ~ble en une série de Fourier dont les coefficients dépen- dront de z uniquement. En posant

fm (9, z)

L ^~-'mn

^(z) sin n9 +

v

mn (z) cos ne n

nous voyons que la forme la plus générale de V (r,

a,

z) est

"'

"'

V (r, 9, z)

L L

^rm

^[~-'mn

(z) sin n8 +v mn (z) cos n8

J

m=o n=o

En écrivant que V (r, 6, z) doit satisfaire l'équation de Laplace

dans tout l'espace inter-électrode on trouve l'identité

(11)

(12)

(13)

"" "'

m=o n=o

LL

r m-2

sinne+[v" 2 +(m2 -n2

)v.lcosn8\= 0

rn- ,n mr:J

( 14)

qui impose les conditions suivantes

a) ~on =

v

on = 0 et ~n ^{0 (15)}

car

v

²

v

reste fini sur l'axe.

b) les fonctions ~mn (z) et vmn (z) doivent être solutions des équations différentielles

( 16)

" + (m2 n2) 0

v m-2,n - vmn

Les équations (15) et (16) montrent que les fonctions ~mn qui ne sont pas identiquement nulles sont celles pour lesquelles rn = n + 2 k ( k = 0, 1, 2 .. ) et qu'elles s'écrivent en fonction de ~nn = ~n et vnn = vn

où

~n+2k,n

vn+2k,n

(2k)

~n

n'

(-1)k 2 2k k~ (n+k)~

n~

(-1)k 22k k~ (n+k)~

et

~n (2k)

vn ^(2k)

La forme générale du potentiel scalaire est donc

V(r,e,z) =

-L L

^[

^~n

(z)sin ne+ vn (z) cos n9] (2 k) n=o k=o

( 1 7)

( 18)

2. 2. 2 - Le potentiel scalaire pour un système à symétrie quadripolaire Dans le cas d'un système quadripolaire on doit exprimer que le potentiel est antisymétrique par rapport aux plans X = 0 et Y = 0 et symétrique par rapport aux plans X=Y et X= -Y , Ces conditions de symétrie montrent que tous les termes en cos ne

doivent être nuls et que seuls ne sont pas nuls les termes en sin n9 pour lesquels n = 2(2.t+1).

V(r, 9, z) a donc pour expression

CD

V(r, 9, z) =-

L

^{[ CD r 2(2/,+1)} (-1) [2(2.t+1) , r ^{k ]' 2k} [~ (z)sin2(2.t+1)9](2k)

2 2k k~ [ 2(21, +1)+k

J

~ ^{2(2L + 1) (19)}

L =o k=o soit

(20)

Théoriquemertt, on doit calculer les fonctions J.L 2, J.L

6, IL

10, -- en écrivant que V satisfait les conditions aux limites (ses valeurs sont imposées sur les pôles) mais, pratiquement, on a recours à des déterminations expérimentales. L'expression obtenue pour le potentiel scalaire nous amène à faire les remarques suivantes :

a) Pour un quadripole magnétique idéal ( quadripole infiniment long dans la direction Oz et dont les pièces polaires seraient parfaitement hyperboliques et infinies dans les directions OX et OY) seul le terme -J,L

2 sin 28 ne serait pas nul et J.l.

2 ne dépendrait pas de z.

b) Les termes de degré supérieur à 2 dans le coefficient de sin 2 8 sont dus au fait que le quadripole n'est pas infini dans le sens Oz ; ils montrent que, dans une région de champ de fuite, les composantes de l'induction magnétique ne varient pas linéairement en fonction de la distance à l'axe.

c) Dans un système où les symétries quadripolaires sont respectées, les termes d'ordre supérieur à 2 en 9 proviennent de ce que les sections des pôles par des plans perpendicu- laires à l'axe Oz ne sont ni parfaitement hyperboliques ni infinies dans les directions OX et OY.

d) Dans un système où les symétries quadripolaires ne sont pas parfaitement respectées, le potentiel est donné par l'expression générale (18).

2. 3 - Les équations de la trajectoire dans une lentille quadripolaire Dans le système de coordonnées cartésiennes

x

^{r cos}

e

Y r sin Q

z z

Le potentiel donné par (20 a pour expression

V (X,Y,z) (21)

soit

V (X, Y,z) - G XYk(z)-[

T2

k¹¹ XY(X +Y ) ---2 2

J

⁽²²⁾

si nous posons 2 J.l.

2 ^(z)

=

G k (z) (23)

G étant le gradient magnétique au centre de la lentille et k(z) la fonction caractéristique [ 2]

de la lentille. Comme

...

B

=

-V. V les composantes Bx, By et Bz de l'induction magnétique ont pour développement limité au 3ème ordre

- az-

èV

G [ Yk(z)

[ 3 k" 2 k"

J

G Xk (z) - X

ï2 -

XY

4

GXYk' (z)

(24)

Les équations du mouvement au 3ème ordre à partir desquelles on calcule les aberrations géométriques du 3ème ordre s'obtiennent en substituant dans les équations (9) les valeurs de Bx, By et Bz données par (24) et en ne conservant dans leur second membre que les termes du 3ème degré en X, X' Y et Y' ; le calcul donne en posant

k 2

0

...9Q_

mv ⁽²⁵⁾

(26)

Dans l'approximation de Gauss les équations différentielles de la trajectoire sont les équa- tions homogènes

(27) Y" - k 2 k(z)Y 0

0

Les équations (26) montrent que, dans une lentille où les symétries quadripolaires sont respectées, les faits physiques responsables des aberrations géométriques du 3ème ordre, sont les suivants :

a) A l'intérieur des lentilles, à mesure que les particules sont focalisées, leur vitesse s'incline sur l'axe. Le module de la vitesse restant constant, il en résulte que v z varie alors que dans l'approximation de Gauss nous supposons que v z est constant. Les aberrations qui résultent de l'inclinaison de la vitesse sur l'axe sont symbolisées par les termes en

x•

², Y'2 et X'Y' dans les équations (26), elles sont surtout importantes dans les systèmes fortement excités où les inclinaisons des trajectoires deviennent grandes.

b) Dans le champ de fuite appara1t urie composante longitudinale B de l'induction magné- z

tique créant une force supplémentaire sur les particules. Les équations (24) montrent que cette source d'aberration est symbolisée par les termes en k' dans les seconds membres des équations (26).

c) Dans le champ de fuite les composantes Bx et By de l'induction magnétique ne varient pas linéairement avec Y et X respectivement ; ce fait introduit des aberrations symbolisées par les termes en k" dans les équations (26).

Le fait que les pièces polaires d'un quadripole ne soient pas parfaitement hyper- boliques n'introduit que des aberrations d'ordre supérieur à 3 lorsque les symétries quadri- polaires sont respectées.

2. 4 - Expressions générales des coefficients d'aberration

Dans l'approximation de Gauss les équations différentielles des trajectoires sont les équations homogènes (27). Soient f

1 (z), f

2^(z) et g

1 (z), g

2^(z) les solutions linéairement indépendantes de ces équations qui, dans le plan d'entrée de la lentille quadripolaire (situé à l'abscisse z

=

z )

0 prennent les valeurs

0 1 0

0

g' (z ) = 1 2 0

(28)

Les équations de la trajectoire qui, pour z

=

z _{0 ,} a pour excursions et pentes X

0, Y

0, X'

0 et Y' sont

0

(29)

Dans le plan de sortie situé à l'abscisse z , les excursions et pentes de cette trajectoire s

calculée au 1er ordre seront données par

(:}

f'l (zs) f'2(zs) ^{fl (zs) f2(zs)}

^(::) >'x

^ex

^x

^~x

ox ^(::)

(30) et

(:}

^gl(zs) g'l (zs) g'2(zs) ^g2(zs)

^{co) -}

Y'o ^CXy 'Y y Ô ^~y y

^{1 (::)}

Pour calculer les aberrations nous résolvons les équations (26) par la méthode des pertur- bations. Nous posons

X( 3 ) X

0 f

1(z) + X¹

0 f

2(z) + dX(z) Y( 3 ) = Y

0 g

1 (z) + Y'

0 g

2(z) + dY(z)

(31)

et nous trouvons que les aberrations du 3ème ordre dX(z) et dY(z) sont les solutions des équations

(dX)" + k 2k(z)dX k 2

[x

^3h1(z) +X Y 2h

2(z) +X X' 2

h3(z) +X Y' 2 h4(z)

0 0 0 0 0 0 0 0 0

+ X0Y

0Y'

0

h

₅^{(z) + X'}₀^X₀^2h₆^{(z) + X'}

0Y

02h

7(z) +

x•

03h 8(z) + X' Y' 2

h9(z) + X' Y Y' h

10· (Z)

J

0 0 0 0 0

(dY)"- k 0 2k(z)dY = k 0 2

[y

0 ³

^~ ₁ ^(z)

^{+Y X} 0 0 ²

^~ ₂ ^(z)

^{+Y Y'} 0 0 ²

^~ ₃ ^(z)

^{+Y X'} 0 0 ²

^~ ₄ ^(z)

qui, pour z

+ YoXoX'o

~5(z)

⁺

Y'o~o 2~6(z)

⁺

Y'oXo2~7(z)

⁺

Y'o3~8(z)

+

Y'oX'o2~9(z)

+ Y'oXoX'o

~lO(z)J

z valent

0

0 0

(32)

(33)

les fonctions h.(z) et cl>. (z) intervenant dans les seconds membres des équations (32) étant

l l

données par les tableaux suivants

1 kf 1 2 + ¹ {kfl kif ) k" f 2

- 2

1g 1 g1g 1 1 + 1 +

4

1g1

1 kf ¹ 2 ¹ (kfl kif ) k" f 2

- 2

2g 1 + g1g 1 2 + 2 +

4

2g1

c%>1

~2

~3

~5

~7

~9 1 kg f1 2

2

2 2

(34)

(35)

Les équations (32) montrent que les aberrations géométriques (écarts entre les excursions et pentes des trajectoires réelles et idéales) admettent à la sortie de la lentille quadripolaire les développements suivants limités au 3ème ordre

"

~

= alXo 3+a2XoY o 2+a3XoX' o 2+a4XoY' o 2+a5XoY oY' o +a6X' oxo2+a7X' oy o 2+aaX' o 3+agX'oY'o 2

~·

⁼ a' X 3

+a' X Y 2

+ --- + a' X' Y Y'

1 0 2 0 0 10 0 0 '0

+a X' Y Y' 10 0 0 0

(36)

llt.Y = b Y 3

+b Y X 2

+b Y Y' 2

+b Y X' 2

+b Y X X' +b Y' Y 2

+b Y' X 2

+b Y' 3

+b Y' X' 2 l o 2 o o 3 o o 4 o o 5 o o o 6 o o 7 o o S o 9 o o

llt.Y' = b' Y 3

+b' 2Y X 2

+ --- + b' Y' X X'

1 0 0 0 10 0 0 0

+b Y' X X' 10 0 0 0

les 40 coefficients a1, ---, a10 ; a•

1, ---a•10 ; b1, --- b10 ; b\, --- b¹10 qui dépendent des caractéristiques géométriques et magnétiques de la lentille quadripolaire sont les coeffi- cients d'aberration de cette lentille. Ces coefficients sont les solutions des équations diffé- rentielles

a^11• + k 2k(z) a.

1 0 1 k 2h.(z)

0 1

(37) b^{11• -} k 2k(z)b.

1 0 1 k ²

~.(z)

0 1 ( i 1, 10 )

qui satisfont les conditions aux limites a.(z )

1 0 a'.(z )

1 0 0

(38) bi(zo) b'i(zo) 0 (i = 1' ---' 1 0 )

La résolution des équations (37) par la méthode de variation des constantes [ 4 ] donne la valeur des coefficients d'aberration dans le plan de sortie de la lentille (situé à l'abscisse z ) s sous la forme

a. 1

a'.

=

1

b. 1

b'.

=

1

k 2

0

k 2

0

k 2

0

k 2

0

z

[- œx J

^s

z 0

[ _ Yy

Jzs

zo z [ - œy

j

^s

zo

[ -Yy

fzs

z 0

z

hif2dz +

Px f

^{s hifldz}

J

z 0

z

hif2dz + ô X

f

z ^{s hifldz}

J

0

z

~ig2dz + ~y

f

^s

^~igldz J

z 0

~ig2dz + _Ôy

₁

zs

_~igldz J

z 0

car le théorème du déterminant Wronskien impose les relations·

f1 (z)f•

2(z) - f 2(z)f¹

1 (z) 1 g1 (z)g'

2(z)- g 2(z)g¹

1(z) 1

(39)

(i

=

1, ' 10)

(40)

Les formules générales (39) permettent de calculer les coefficients d'aberration analytiquement ou numériquement selon la forme fonctionnelle de la fonction caractéristique k(z), elles montrent également que tous les coefficients d'aberration ne sont pas indépendants, des intégrales identiques intervenant dans le calcul de plusieurs coefficients.

III NOMBRE DE COEFFICIENTS D'ABERRATION INDEPENDANTS [ 5]

Dans le chapitre précédent nous avons calculé les aberrations géométriques des lentllles quadripolaires en fonction des variables X , Y , X' et Y' , excursions et pentes

0 0 0 0

initiales des trajectoires, mais ces aberrations peuvent être calculées à l'aide des coordon- nées X

0 et Y

0 des trajectoires dans le plan objet et de leurs coordonnées Xa et Y a dans le plan d'ouverture (plan situé à la sortie de la lentille quadripolaire dans une région où le champ est nul). Le système de variables X , _o Y _o ,X et _a Y _a est bien adapté à la description des aberrations dans le plan image des systèmes stigmatiques, il permet en effet de classer facilement les aberrations selon la méthode classique (aberrations d'ouverture. distorsions, coma, ---) et de décrire les figures d'aberration obtenues autour de l'image d'un point source lorsque celui-ci envoie un pinceau de rayons s'appuyant sur un cercle de rayon r a dans le plan d'ouverture. Dans les systèmes utilisés pour le guidage ou l'adaptation des faisceaux, il est plus utile de calculer les aberrations en fonction des coordonnées et pentes X , Y , X'

0 0 0

et Y'

0 des trajectoires dans le plan objet. La düférence entre les situations physiques décrites par ces deux méthodes semble être restée assez obscure jusqu'à présent [ 3] . Dans la méthode de "l'ouverture" les aberrations représentent les écarts entre les excursions et pentes d'une trajectoire, calculée au 1er ordre et passant par les points P

0 et Pa (fig. 1) et celles de la trajectoire, calculée au 3ème ordre, passant par les mêmes points ; dans la méthode que nous avons utilisée ce sont les écarts entre les excursions et pentes d'une trajectoire gaussienne et celles de la trajectoire, calculée au 3ème ordre, ayant les mêmes conditions initiales (fig. 2). Nous démontrons que la description des aberrations géométriques à l'aide des variables X , Y ,X' et Y' nécessite 19 coefficients indépendants alors que

0 0 0 0

16 suffisent si 1' on utilise les variables X , Y , X et Y • o o a a

Pour effectuer notre démonstration, nous utilisons les variables X

0, Y

0, Xa' Y a et partons de la fonction caractéristique de Hamilton [ 6 ]

J

P(X, Y, z)

w=

nds (41)

p o(Xo' y o' zo)

qui représente la valeur du chemin optique entre P et P ; le chemin d'intégration est

0

défini par 0 W

=

O. Pour un multiplet quadripolaire donné, le chemin optique W(X , Y , X , Y )

o o a a

entre les points du plan objet et les points du plan d'ouverture peut être développé en série de puissances des variables X , Y , X o o a et Y . Les considérations de symétrie montrent que a W ne peut contenir de termes de degré impair et s'écrit par conséquent

w

(42)

La trajectoire issue du point X

0, Y

0 du plan objet et perçant le plan d'ouverture au point Xa' Y a aura pour cosinus directeurs à la sort~e [ 6]

1 èW 1 n. èX • n.

1 a 1

et (43)

n. désignant l'indice dans l'espace sans champ

1

plan image situé à 1 'abscisse z. ₁ telle que Z

=

succédant au système de lentilles. Dans le z. - z les coordonnées du point image

1 a

dans 1 'approximation de Gauss sont données par [ 6

J

x.<l)

x a +

z

^oW2

1 n. ₁ èXa

(44) Y.<o y +

z

^oW2

1 a n. ₁ èYa

et les aberrations auront pour expression

1 a +

)

(X.(l)- X )2 2Z

(45) Il. Y.

=

Y.( 3 ) - Y.(l)

= z

1 1 1 n.

1

2 2

)

(X.(l) - X ) (Y.(l)- Y )

1 a + ¹ a

2Z 2Z

Ces formules montrent que le nombre de coefficients indépendants nécessaires pour décrire les aberrations géométriques du 3ème ordre pourra être déduit du nombre de termes figurant dans W

4• les termes de

w

2 étant caractéristiques du mouvement calculé au 1er ordre.

Un système de lentilles quadripolaires possédant deux plans de symétrie, les termes dn 4ème degré en X , Y , X , Y de

w

4 sont des combinaisons du second degré des o o a a

invariants [ 7 ] a

= x

²

0 b y2

0 c

x

²

a d ^y 2

a ^e

=

^{x x} _{o a} ^{et f y y} _{o a}

(46) W 4 contiendra donc 19 termes car ac et bd sont identiques à e2

et f2 respectivement.

Cependant, la description des aberrations à l'aide des variables X

0, Y

0, Xa et Ya mettra en jeu 16 coefficients seulement car 3 des 19 termes de W

4 (;,

tf

et ab) ne dépendent pas de X a et Y . a

Ce résultat perd sa validité lorsqu'on utilise les variables X , Y , X' et Y' .

0 0 0 0

Considérons en effet une trajectoire qui, à l'entrée, a pour excursions et pentes X , Y , X'0 et Y'

0• Soient Xa(l) et Ya(l) les coordonnées du point P (fig. 2) où la

traje~toir~

gaussienne perce le plan d'ouverture. Les cosinus directeurs de la trajectoire à la sortie seront proportionnels aux dérivées de

w

2 par rapport à X (l) et Y (l). La trajectoire

a a (_{3 )}

calculée au 3ème ordre percera le plan d'ouverture en un point P' de coordonnées X et Y (3 ) ·X (3 ) Y (3 ) ainsi que X (l) et Y (l) sont des fonctions de X Y X' et;,

a · a ' a a a o' o' o o ·

Soit W(X , Y

0, X (3 ), Ya(3)) le chemin optique entre P et P' ; les cosinus directeurs de

o a o

la trajectoire à la sortie seront proportionnels aux dérivées partielles de W qu'on pourra mettre sous la forme

èW èX (3 )

a èW èY (3 )

a

èW èXo èW èYo èW èX'o èW èY'o

èX x "'X (3) +a-Y x .,.x(3) + oX' x .,.x(3} +~x~

o o a o u a o u a o è X a

èW èXo èW èYo èW èX'o oW èY'o

èXoxoY(3) +èYo

x~+

oX'ox èY(3) + oY'o x èY(3}

a a a a

(47)

14

Dans ces conditions, nous devons tenir compte des termes en X 4 , Y 4 et X 2y 2 de

w

4

0 0 0 0

pour calculer les cosinus directeurs des trajectoires à la sortie ; il en résulte que la description de la situation physique à l'aide des variables X , Y , X' et Y' entra1ne

0 0 0 0

l'apparition de 19 coefficients indépendants dans l'expression des aberrations.

IV - RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS D'ABERRATION

Il résulte de ce qui précède que les 40 coefficients d'aberration d'une lentille quadripolaire ne peuvent être indépendants. Après avoir démontré que seuls 19 coefficients sont indépendants, nous allons chercher à mettre en évidence les relations qui existent entre les coefficients d'aberration.

Lorsque les plans d'entrée et de sortie de la lentille quadripolaire sont situés dans des régions où le champ est nul, l'application du théorème des invariants intégraux de Poincaré permet d'obtenir 28 relations entre les coefficients d'aberration parmi lesquelles 21 seulement, et non 24 comme il a été affirmé [ 3] , sont indépendantes. L¹1.•tilisation des formules intégrales (39) permet ensuite de généraliser les relations entre les coefficients d'aberration aux cas où les plans d'entrée et de sortie sont situés dans des régions où le champ n'est pas nul.

4. 1 Relations obtenues par application du théorème de Poincaré

Avec z pour variable indépendante, les coordonnées canoniques décrivant le mouvement de la particule dans la lentille quadripolaire sont déduites du lagrangien donné par (2) ; compte tenu de la relation ( 4) ces coordonnées sont

X, PX

o':t

^mvX' _{+ qAX}

oX¹

v

1 +x 2 + y•2

(48)

Y,Py

_iL

r.1vY'

+ qAy oY'

v

1 +X'2 + y•2

t, pt

oi

_{- E}

arr

Or si les q. et p. (i

=

1, ---, n) désignent les coordonnées et les moments généralisés d'un

1 1

système matériel, le théorème de Poincaré affirme que l'intégrale

!! t

d'l;. dpi i= 1

s

(49)

dans laquelle S est une surface arbitraire à deux dimensions dans l'espace de phase à 2n dimensions, reste constante lors d'une transformation canonique [ 1 ] .

Le mouvement de la particule dans la lentille quadripolaire peut être considéré comme une suite de transformations canoniques infinitésimales engendrées par l'hamiltonien.

Ces transformations formant un groupe on peut o~tenir les valeurs de X, PX' Y,Py,t,Pt à la sortie de la lentille en fonction de leurs valeurs initiales X , Px , Y , Py , t , Pt à l'entrée

0 0 0 0 0 0

de la lentille située à l'abscisse z grâce à une transformation canonique. Nous pouvons

0

donc appliquer le théorème de Poincaré à ces deux ensembles de variables qui, si nous nous limitons à l'étude des faisceaux monoénergétiques, se traduira par l'égalité

La surface S étant une surface à deux dimensions, la position de tous ses points sera définie à l'aide de deux paramètres u et v ; l'équation (50) deviendra donc ' ..

---=

^0:.... + ⁰ du dv = X + y

!J~ [

^o(Xo,PX) o(Yo,PY ) ]

!!

^{[o(X,P )} o(Y,P ) ]

s

₀ (u, v) ₀ (u, v) o (u, v) o (u, v) du dv . (51)

Comme la surface d'intégration S est arbitraire, le théorème de Poincaré se traduira par l'identité

I

o(X,PX) o(u,v) +

o (Y,Py)

o(u,v) o(u,v) o(u,v) ^{- 0 .} (52) '

Supposons maintenant que les plans d'entrée et de sortie soient situés dans des régions où le champ est nul ; les équations (48) fournissent

mvX'

(53) mx Y'

et de même pour PX et Py . En reportant des valeurs de PX' Py, PX et Py dans les

0 0 0 0

déterminants jacobiens L'identité (52) deviendra

o(X,PX)

o

(u, v)

o (Y,Py)

o

^{(u, v)}

o

(u, v)

o

(u, v)

I (l _ ~X'2 _.!. Y'2) o (X,X') -X'Y' o(X, Y') +(l- .!.x 1 2_~y,2) o (Y, Y') -X'Y' o (Y,X')

2 2 o(u,v) o(u,v) 2 2 o(u,v) o(u,v)

mv

-

- (1

- .!.

X' 2 -.!. Y' 2) o (X

0,X'

0)

+X' Y'

o (X0, Y'

0)

2 0 2 0 o (u, v) 0 0 o(u,v) ⁽⁵⁴⁾

- ( 1 -.!.X' 2 - ~ Y' 2 ) o(Y

0, Y'

0)

+X' Y'

o (Y0,X'

0)

2 0 2 0 o(u,v) 0 0 o (u, v) ^- 0

A l'aide des formules

x cxxxo + f1xX'o + ~X(Xo,X'o,Yo,Y'o)

X' YxXo + ô X' x 0 + ~'(X o' X' o' o' Y Y' ) o (55) y CXyY₀ + f1yY'o + ~Y(Xo,X'o• yo' Y'o)

Y' Yyyo + ôYYo + ^~Y'(X X' Y Y' ) o' o' o' o

dans lesquelles ~X, ~', ~y et ~Y' sont donnés par (36), reliant les excursions et pentes de la trajectoire à la sortie, à ses excursions et pentes à l'entrée, nous pouvons calculer les déterminants jacobiens

et o(Y,X')

o

(u,v)

o

(X, X') o(u,v)

o(X, Y')

o

(u, v) en fonction des déterminants

o

(Y, Y')

o

(u, v)

o

^(X₀^,X'₀⁾

o(u,v)

o

^(X₀^{, Y}

0)

o

(u, v)

o

(Y

0, Y'

0)

o

(u, v) On trouve, en limitant les calculs aux termes du second ordre en X , Y , X' , Y'

0 0 0 0

+ ( _{o: x o}

o~'

_Y

o~)

0 -

Yx

o Y

0

o (X'o• Yo) ( o

~'

o

~X)

o (X'o• Y'o) o (u,v) +

f3x

o Y'

0 - 6

x

o Y'

0 o (u,v)

o(X,Y') - (

o~Y' o~Y')

o(Xo,X'o) (

o~Y' o~)

^o(X'o,Yo)

o(u,v) - o:x oX'

0 -

f3x

oX

0 o(u,v) + o:x'Yy+o:x oY

0 +Yy oX

0 o(u,v)

o(Y,Y')

o

(u,v)

o(Y,X') o(u,v)

(56)

En reportant ces valeurs dans ordre nous trouvons

I

mv et en limitant toujours les calculs au second

I mv

(57) expression dans laquelle nous avons posé

A = o~X'+o o~-{3 o~x· ^-Y o~X_l

(. __ x

+fl_x'J2_.!.( y +ô Y' )2+~X'2+.!_Y,2 1 cxXoX' X oX XoX X oX' 2 Yx--o -.x--o 2 Yy o -y o 2 o 2 o

0 0 0 0

=

cxX

~~'

-Yx

~~+ôy ~~y

-f3y

~~Y'_

(cxxôy-f3yYx)(yXXo+ô0'o)(yYYo+ôyY'o)+X'oY'o

0 0 0 0

(58)

13x. ~~X'-

^Ox

~~x

^{+y y}

~~Y

^-a

y~~~·-

^(f3x'Yy -cxyô xl (yxxo +ôxX'₀)(yyY₀

+ôyY~)-X~

^Y'₀

0 0 0 0

o~Y'+ô o~Y

-{3

o~Y'_ oAY _.!.( X+ô X'\2_~( Y+ô Y')2+.!_X,2+~Y'2 CXy o Y' Y o Y Y o Y 'Yy

aYJ

2 'Yx o X d 2 'Yy o Y o 2 o 2 o

0 0 0 0

1 devant être identiquement nul, tous les A. doivent s'annuler. Si nous explicitons dans

mv 1

les A. les dérivées partielles de AX, ~·, 1::J. Y et ~Y' par rapport à X , Y , X' et Y'

1 0 0 0 0

en fonction des coefficients d'aberration a., a'., b. et b'., nous voyons que ceux-ci sont des

' 1 1 1 1

polynômes du second degré, à quatre variables X , Y , X' et Y' . Ces polynômes seront

0 0 0 0

identiquement nuls si tous leurs coefficients sont nuls : en égalant à 0 leurs coefficients nous obtenons entre les coefficients d'aberration les 28 relations suivantes

0

R24 = ayb'1o

+

ôyb 5 - .Byb'5 - Yyb10 - "xôx = o R25

=

ayb'g + Ôyb4 - .Byb' 4 - Yybg-

~

(ôX2

- 1)

=

0

R27 2ayb' 3 + 2ôYbB- 2,8yb' B - 2yyb3 - 3yyôy

=

0 R 28 3ayb' 8 + ôyb3 - .Byb'3 - 3yyb8 -

~

^{(ôy2 - 1) = o}

Ayant obtenu ces 28 relations entre les coefficients d'aberration, nous devons faire les remarques suivantes :

a) Les matrices de transfert des systèmes de quadripoles ont un déterminant égal à 1.

A l'aide des équations

axôx

.BxYx

1 ayôy

.ByYy

1

Nous vérifions aisément que, parmi les relations précédentes nous avons

Rll R18 2R23 R21 R18 2R25

R9 R15 2R4

R14 R20 2R6

R13 R10 R24

R13 R19 R5

R19 - R13 + R10 R16

Nous en concluons que seulement 21 des relations précédentes sont indépendantes et que, par conséquent, il y a, conformément au résultat de notre précédente démonstration, 40 - 21

=

19 coefficients d'aberration indépendants,

b) Lorsque les plans d'entrée et de sortie sont des plans conjugués dans les deux directions fondamentales, les relations précédentes se simplifient car nous avons

le nombre de relations indépendantes restant le même.

c) Afin de vérifier la validité des calculs numériques des coefficients d'aberration d'un doublet symétrique décrit par GRIVET et SEPTIER [ 8, 9 ] , nous avons remplacé dans les relations précédentes les a., a'., b. et b'. par leurs valeurs numériques et nous avons trouvé

1 1 1 1

qu'elles n'étaient pas véfifiées bien que les résultats obtenus par GRIVET et SEPTIER à l'aide d'un ordinateur IBM 704 ne puissent être mis en doute (nous les avons confirmé en calculant analytiquement les coefficients d'aberration [ 10, 11, 12 ] . Si les coefficients

calculés dans ce cas ne vérifient pas les relations R. la raison en est que les plans d'entrée

1

et de sortie ne sont pas situés dans des régions où le champ est rigoureusement nul [ 8, 9 ] ; une généralisation des relations précédentes s'impose par conséquent.

4. 2 Relations générales liant les coefficients d'aberration

Pour généraliser les relations précédentes aux cas où les plans d'entrée et de sortie de la lentille sont situés dans des régions où le champ n'est pas nul, il faudrait,

....

si nous voulons utiliser le théorème de Poincaré, calculer le potentiel vecteur A à l'inté- rieur du quadripole et refaire les calculs précédents en prenant pour PX' Py, Px

0.Py

0 les valeurs données par (48). Nous avons obtenu plus simplement la généralisation désirée en partant des formules intégrales (39) donnant les coefficients d'aberration. Pour ne pas alourdir notre exposé nous présentons dans le texte les relations générales qui lient les coefficients d'aberration et nous en démontrons quelques-uns en appendice. Les nouvelles relations sont :

R1 = axa'6 + 3ôXa1- 3,8xa\- rxa6-

Ï

^{Yx2 = o}

R 2 2axa' 3 + 2ôxa6 - 2,8xa' 6 - 2yxa3 - 3yxôx o R3 3axa's + ôxa3 - .Bxa'3 - 3yxas -

i

(ôx2 - 1)

=

o R4 = axa'7 + 0Xa2 - .Bxa'2 - yXa7 -

~

^{Yy2 = 0}

R5 = axa'1o + ôXa5- .Bxa'5 - rxa10- Yyôy = o R6 ⁼ axa' 9 + ôxa4 - .Bxa' 4 - rxa9 -

~

^{(ôy2 - 1) = o}

R 7 ⁼ 2axa'2 -2rxa2+2yyb2 -2ayb'2 -Yx'Yy(axYy-ayYx)-k; [k'(z⁸lax2 ay2

-k¹(z₀⁾

J

^o

R8 ⁼ axa' 5 -rxa5+2yyb7-2ayb' 7-yxôy(axry-ay Yx)-k⁰2

k¹ (z₈)œx2

œy.By o R 9 ⁼ 2axa' 7-2rxa7 +ryb5 -œyb'çôxYy(œxry-ayrx)-k⁰2

k¹ (z₈)œxl32fi..} = o R10 = axa'1o -rxa10+yY

~o-œyb'1o- ⁶ x ⁶ y

(axry-œyrx)-ko2

k'(zs)œ

x.Bxfllyl3y

⁰

R 11 ⁼ axa'5-rxa5+2ôyb2 -2.Byb'2-rxYy(axôy-.ByYx)-k⁰2

k'(z₈)ax2

œyf3y o R 12

= 2axa'ç2rxa 4 ^+2ôyb 7 ^-2.Byb' 7 -rxôy(axôy-.ByYx)-k 0

²

^k'(z 8 ^)a~.By

²

⁼

^o

R 13 ⁼ œxa'10-yxa10+ôybç/3yb'çôxry(œxôy-.Byrx)-k0

2k'(z₈)œxl3xfllyl3y

=

o

R 14 2axa'9-2rxa9 +ôyb 10-.Byb'10-ôXôY (axôy-.Byrx)+ 1-k0

2k'(z₈)axf3x.By2 o R 15 2,8xa '2 -2ôxa2 +yyb5 -œyb'5 -YxYy(f3xYy-ayôx)-k0

2k'(z₈)axl3xfll..}

=

o

R16 .Bxa'5

-ôXa5+yYb1o-œyb'1o-Yx ⁶ y(.BxYy-ayôx)-ko

²

k'(zs)a~.Bxfllyl3y =

⁰

R 17 2/3xa'7-2ôxa7+2yyb4 -2œyb' 4 -ôxYy(.BxYy-ayôx)-k⁰2

k¹(z₈){3x2

œ..}

=

o R 18 .Bxa'10-ôxa10+2yybg -2 ex yb' 9 - ô X ô Y (.BxYy-ayôx)-1-k₀2

k¹(z₈),BX2

ay.By

=

o R19 .Bxa'5 -ôxa5+ôYb5 -/3yb'5 -Yx'Yy(f3xôy-.Byôx)-ko2

k'(zs)fXx.Bxfllyl3y

=

⁰

R20 2.Bxa'4-2ôXa4+ôYb1o-.Byb'1o-Yxôy(f3xôy-_f3yôx)-ko2k'(zs)œxf3xf3..}

=

o R21

f3xa'1o-Oxa10+2ôyb4-2/3yb'4-ôxry(f3xôy-f3yôx)-ko2k'(zs){3~œyf3y =

o R22 2/3xa'9-2ôxa9+2ôyb9-2f3yb'9-ôxôy(f3xôy-f3yôx)-k0

2k'(z₈){3x2 ôy2

o R23 = œyb'7 + ÔYb2 - f3yb'2 - 'Yyb 7 -

~

^Yx2

=

0

R24

=

œYb¹10 + ÔYb5- f3yb'5- Yyb10-

~

^{Yx6x O}

R25

=

ayb'₉ + ôyb_{4 -} .Byb'_{4 -} 'Yyb_{9 -}

i

^{.(OX2 - 1) 0}

R26 ayb' 6 + 3ôyb1 - 3.Byb' 1 - 'Yyb6 -

~ y..} o

R27 2ayb' 3+ 2ôyb6-2.Byb'6-2yyb3 - 3yyôy ⁰

3ayb's

+

ôyb3 - .Byb' 3 - 3yyb8 -

~

^{(ôy2 .. 1) 0}

Comme dans le chapitre précédent, il n'y a que 21 relations indépendantes parmi ces 28 nouvelles relations.

V CONCLUSION

Cette étude qui nous a permis de démontrer que seuls 19 coefficients d'aberration sont indépendants et d'établir les relations générales qui lient les 40 coefficients décrivant les aberrations géométriques des systèmes de quadripoles a, en plus de son intérêt théorique, une double utilité :

Lorsque la fonction caractéristique k(z) d'un système est telle qu'elle ne permet pas le calcul analytique des coefficients d'aberration, nous pourrons les calculer numérique- ment en utilisant les formules (37). Ayant mis en lumière les relations précédentes, le calcul numérique des coefficients d'aberration nécessitera le calcul de 19 intégrales au lieu de 40.

Si les aberrations ont été calcul~es par un autre procédé, les relations précé- dentes pourront servir à vérifier l'exactitude des résultats obtenus.

APPENDICE

DEMONTRA TION DES RELATIONS GENERALES

D'après (37) nous avons

en reportant dans cette équation les valeurs de h 1 et h

6 données par (33) nous trouvons

soit d'après (38)

r

1 étant solution de l'équation f" + k 2k(z)f

=

0

0 1

on a

= k

21

^zs

0 z

f"

1

0

- k 2

0

et notre égalité devient

c'est la relation R1 .

zs

f

3f" f' dz 1 1 z 0

[ 1..r•2Jzs

=l_

2

2 1 z 2

"x

0

•

2) Calculons la quantité A

nous trouvons

A

soit

k 2

0

A=ko2)

f

zs_kf;g'12dz+ /zs-kg12f'12dz +

/zs2kf1f'1~1g'1dz +j

,zs2kf1f'1g1g'1dz

z z z z

0 0 0 0

Après intégration par partie de l'intégrale en k" nous avons

Dans les deux dernières intégrales remplaçons

Il vient alors

.:.J

z s 2f" f' g g' dz 1 1 1 1 zo

et

zs

+

J

2g" g' f f' dz 1 1 1 1 zo

L'intégration par parties des deux dernières intégrales donne

zs

g" g f' 2dz 1 1 1

En refaisant les substitutions fil 1 nous voyons qu'il reste

A =

donc

z k 2 [ k'f 2g 2 _{0 1 1}

J

_z ^s

0

nous obtenons la relation R 7 .

et

Toutes les autres relations se démontrent aussi aiséP1.ent.

objet

trajectoire au 3ème ordre trajectoire au 1er ordre

Figure 1

/

Yo

1 1

)( 0 ,

Yo

^/

objet

trajectoire au 3ème ordre trajectoire au 1er ordre

Figure 2

imag~''

BIBLIOGRAPHIE

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Thèse, Paris, 1953 - Ann. Phys. ~~ 633, 1954 [ 3] P.F. MEADS

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Integration or ordinary differentia! equations - Oliver and Boyd [ 5] P. TANGUY et S. JOLY

C.R. Acad. Sei. (à para1tre)

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P. TANGUY

C.R. Acad. Sei. 261, 1811-1813, 1965 P. TANGUY

Programme pour calculer les aberrations d'un système de quadripoles quelconque (non publié)

P. TANGUY

Aberrations géométriques des systèmes de quadripoles. Application au doublet symétrique (non publié)

Manuscrit reçu le 20 Mars 1969

- - · - - - -

-·.h~~

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay Boite Postale no 2

91 - GIF -sur- YVETTE (France}

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