MOUVEMENT DE PARTICULES CHARGEES DANS LE VIDE
I On étudie dans ce problème quelques appareils utilisés couramment en physique dans lesquels se déplacent des particules chargées soumises à un champ électrique et/ou magnétique.
On négligera dans tout le problème le poids de la particule devant la force de Lorentz.
0) Question préliminaire : il s'agit d'établir dans cette question un résultat utile à plusieurs reprises dans la suite.
Montrer que le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique 𝐵"⃗ uniforme et constant et dont la vitesse initiale 𝑣⃗!
est orthogonale à ce champ, est un mouvement circulaire uniforme dont on donnera le rayon R en fonction de la masse m de la particule, de |𝑞| valeur absolue de sa charge q, de v0 et de B.
On justifiera avec précision toutes les étapes de ce calcul.
Ce résultat sera considéré comme acquis et il ne sera par conséquent pas utile de le démontrer à nouveau lors de ses utilisations ultérieures.
1) Spectrographes de masse
Un spectrographe de masse est un appareil utilisé pour séparer des isotopes grâce à leurs différences de déviation dans un champ magnétique.
a) Spectrographe de Dempster (figure 1)
Une source ponctuelle S d'ions positifs émet un pinceau très étroit de particules de masses m1 et m2, de charges respectives q1 et q2, avec une vitesse initiale négligeable ; ils sont accélérés par une d.d.p. U, vers la fente A d'un plan P, puis déviés par un champ magnétique 𝐵"⃗ = ±𝐵𝑘"⃗uniforme perpendiculaire à leur trajectoire.
a) Indiquer le signe de la d.d.p. U = UAS ainsi que le sens du champ magnétique 𝐵"⃗ par rapport à celui du vecteur 𝑘"⃗.
b) Exprimer la distance d des points d'impact sur le plan P des deux types d'ions en fonction m1, m2, q1, q2, B et U.
g) Quelle doit être la valeur numérique de la largeur maximale d'un collecteur C, convenablement placé sur le plan P, qui permettrait de séparer les deux isotopes du mercure Hg (Z = 80) de masses atomiques A1 = 200 et A2 = 202. L’atome est complètement ionisé et l’ion positif correspond donc au noyau de l’atome de mercure.
On donne : B = 0,2 T ; U = 12 kV ; charge élémentaire e = 1,6.10-19 C ; unité de masse atomique u = 1,67.10-27 kg.
b) Spectrographe de Bainbridge (figure 2)
On ajoute à l'appareil précédent un dispositif appelé "filtre de vitesse". Il est constitué d'une zone entre A et A' où règnent un champ électrique 𝐸"⃗! et un champ magnétique 𝐵"⃗!uniformes, perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction AA '.
a) Quelle doit être la vitesse d'une particule en A pour qu'elle passe en A' (on l'exprimera en fonction de Eo et Bo) ? Justifier alors le nom de "filtre de vitesse".
b) Exprimer la charge massique q/m des particules qui impressionnent la plaque photographique P en fonction de Eo, Bo, B et R (rayon de leurs trajectoires circulaires).
g) Calculer la distance, sur la plaque photographique, entre les points d'impact des isotopes du mercure.
On donne B = 0,2 T ; Eo = 6.104 V/m ; Bo = 0,1 T.
2) Cyclotron (figure 3)
Un cyclotron accélérant des protons (m = 1,67.10-27 kg ; q = 1,6.10-19 C) est constitué d'un électro-aimant à pôles plans dans
l'entrefer duquel règne un vide poussé. La région de l'espace contenant les trajectoires des protons est un cylindre dont les faces sont parallèles au plan des pôles. Le champ magnétique 𝐵"⃗ (B = 1,5 T) y est uniforme, permanent et perpendiculaire aux faces planes du cylindre. Les parois du cylindre forment deux électrodes conductrices creuses, en cuivre, appelées "dees" ou "D". Ces dees sont séparés par une région d'épaisseur d faible, s'étendant de part et d'autre d'un plan contenant l'axe du cylindre. Les faces en regard des dees sont parallèles ; l'intersection de l'axe du cylindre avec le plan médian des dees est considéré comme le centre du cyclotron. Un dispositif, appelé source, produit des protons qui sont injectés au centre avec une énergie cinétique négligeable. Un générateur permet d'appliquer entre les dees une tension alternative à haute fréquence u = U sin (w t + F) créant entre les dees un champ électrique uniforme 𝐸"⃗tel que u = d E. On admettra que le champ électrique à l'intérieur de chaque dee est nul, chaque dee jouant le rôle de "cage de Faraday".
Dans les dees, les protons décrivent donc des trajectoires qui sont successivement des demi-cercles. La pulsation w du champ électrique est choisie de telle sorte que, pendant qu'un proton décrit un demi-cercle dans un dee, sa phase varie de p. Ainsi, les protons ayant la phase convenable sont accélérés à chaque passage dans l'espace entre les dees. On admettra que les protons sont accélérés une première fois sur la distance d avant de décrire le premier demi-cercle.
a) Quelle doit être la valeur numérique de la fréquence f de la tension u pour que le proton soit accéléré à chaque passage entre les dees ?
b) La tension atteint la valeur maximale U = 200 kV.
a) Déterminer en fonction de n le rapport des rayons des deux demi-cercles consécutifs numérotés n et n+1, si le premier demi-cercle décrit après la première accélération porte le numéro un.
b) Calculer le rayon de la trajectoire après un tour (deux passages entre les dees) et après dix tours.
c) Le rayon de la dernière trajectoire décrite par les protons avant de bombarder une cible est Rm = 35 cm ; déterminer : a) l'énergie cinétique du proton avant le choc en Joule puis en MeV (1 eV = 1,6.10-19 J ; 1 MeV = 106 eV), b) le nombre de tours décrits par le proton après sa première accélération.
d) Le cyclotron doit se limiter à une énergie cinétique des protons sortant à une vingtaine de MeV, car au-delà, les particules vont si vite que l'augmentation de la masse avec la vitesse (un effet prédit par la théorie de la relativité d'Einstein) devient appréciable. De ce fait, les particules commencent à prendre du retard sur les poussées du champ électrique.
Le remède fut trouvé en 1945 et fut appelé "synchrocyclotron". En quoi consiste-t-il ?
Réponse : 𝑑 ="√"
$ √−𝑈 /0%&!
! − 0%&""1 ; 𝑑 =$$"'#
#2%&"
" −%&!
!3 ; 23 MHz;!!()*
(
= "
"#$" ; 13,2 MeV; 33 tours.A t = 0, elle se trouve à l’origine O du repère avec une vitesse initiale : 𝑣⃗!= 𝑣!𝑢"⃗,.
1) Écrire les équations différentielles couplées satisfaites par les composantes du vecteur vitesse.
2) Déterminer la loi horaire x(t).
3) On utilise les nombres complexes pour trouver les deux autres lois horaires ; on pose a = vy + j vz, où j2 = -1.
a) Établir l’équation différentielle du premier ordre vérifiée par a ; on pourra poser w = qB/m.
b) Résoudre cette équation.
c) En déduire les lois y(t) et z(t).
d) Tracer l’allure de la trajectoire.
Réponse : 𝑚𝑣̇+= 𝑞𝐸 ; 𝑚𝑣̇,= 𝑞𝐵𝑣- ; 𝑚𝑣̇-= −𝑞𝐵𝑣, ; 𝑥 ="%&'𝑡" ; 𝛼 + 𝚥𝜔𝛼 = 0̇ ; 𝛼 = 𝑣!𝑒./01 ; 𝑦 =20#𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ; 𝑧 =20#(𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 1).
III Autour des expériences de J.J. Thomson …
Joseph John Thomson (1856-1940) est un physicien britannique. Il a entre autres découvert les isotopes et a inventé la spectrométrie de masse. Il a aussi analysé la propagation d'ondes guidées. Il a reçu le prix Nobel de physique de 1906 pour « ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz ».
On s’intéresse ici à ses recherches ayant fournies en 1897 les preuves expérimentales de l'existence de l'électron qui avait été prédite par George Johnstone Stoney en 1874. Elles portaient sur les « rayons cathodiques » produits à l’intérieur d’une ampoule de verre contenant de l’air raréfié, entre une cathode et une anode entre lesquelles était imposée une forte différence de potentiel.
Les expériences de Jean Perrin, en France, montrent que ces rayons transportent une charge négative.
Thomson réalise une première expérience où les rayons sont déviés par un champ magnétique, ce qui lui permet de vérifier que la charge électrique transportée par ces rayons ne peut pas en être séparée.
Une deuxième expérience lui permet de montrer que les rayons cathodiques peuvent être déviés par un champ électrique, à l’instar des autres charges.
Dans une troisième expérience, Thomson détermine la charge massique e/m des particules, rapport de la charge à la masse, en mesurant la déviation des rayons sous l'influence d’un champ magnétique.
1) Détermination du signe de la charge des particules
On considère le dispositif schématisé ci-contre constitué d’une cathode, d’une anode et de deux plaques métalliques formant un condensateur plan, la plaque supérieure étant chargée positivement et celle du bas négativement. L’ensemble est placé dans une ampoule de verre permettant de réaliser un vide poussé. On travaillera dans le repère cartésien (O, x, y, z). Le faisceau entrant dans le condensateur est porté par l’axe Ox. On supposera le modèle du condensateur plan « infini » valable.
a) Préciser le champ électrique 𝐸"⃗ créé (direction, sens).
b) Dans quel sens le faisceau sera-t-il dévié, vers le haut ou vers le bas, si les particules sont bien chargées négativement ? c) Quelle sera la nature de la trajectoire (on ne demande pas de justifier) ?
2) Détermination de la charge massique des particules
Le champ électrique est maintenant supprimé et l’on met en place un champ magnétique uniforme et constant : 𝐵"⃗ = 𝐵𝑒⃗-. a) Quel dispositif (nom, constitution) est généralement utilisé pour produire ce type de champ ?
b) Représenter la trajectoire observée en justifiant le sens de la déviation.
c) Après avoir justifié l’uniformité du mouvement, établir, en détaillant précisément toutes les étapes, l’expression du rayon du cercle en fonction de la vitesse initiale v0 des particules, de leur masse m, de leur charge en valeur absolue e, et de B.
d) La trajectoire circulaire est donc tangente à Ox au voisinage du point O, et elle passe par un point M de coordonnées x, y mesurées sur un quadrillage. En déduire que son rayon est donné par 𝑅 =+"",3,". On pourra s’appuyer sur le tracé de la question b).
x y
O z v0
+ + +
_ _ _
e) La vitesse initiale v0 des particules est obtenue en appliquant une différence de potentiel U entre la cathode et l’anode. A partir de considérations énergétiques, établir une relation entre v0, U, m et e (on supposera les particules quasiment sans vitesse initiale au voisinage de la cathode).
f) Déduire des questions précédentes l’expression de la charge massique des particules e/m en fonction de U, R et B.
g) Application numérique : Que vaut e/m si U = 2,0.103 V, R = 20 cm et B = 7,5.10-4 T ?
h) Comparer au rapport analogue pour un ion H+ composé d’un seul proton de masse 1,7.10-27 kg. On donne la charge élémentaire e = 1,6.10-19 C.
Thomson arrive à une conclusion audacieuse : les rayons cathodiques sont composés de « corpuscules » qui proviennent de l'intérieur des atomes des électrodes, ce qui implique que les atomes sont divisibles. Le « corpuscule » découvert par Thomson est l'électron déjà prévu par Stoney.
3) Filtre de vitesse
a) Les calculs de la question 2) ont montré que les résultats dépendent de la vitesse initiale des particules qui n’est pas forcément connue. Thomson imagina alors le dispositif suivant : un faisceau d’électrons que l’on suppose monocinétiques (ou homocinétiques = de même vitesse) de vitesse v0 (inconnue) arrive dans une zone où règnent simultanément un champ électrique et un champ magnétique. On fixe la valeur B du champ magnétique et on fait varier le champ électrique E jusqu’à ce qu’il n’y ait pas de déviation du faisceau. Schématiser les directions et les sens des champs pour que ce résultat soit possible et monter que l’on peut en déduire la valeur v0 de la vitesse des particules en fonction de E et B.
b) Expliquer alors comment la mise en place d’une fente permet de trier les particules de vitesse v0 des autres particules de vitesses différentes.
4) Miroir magnétique
Les rayons cathodiques ont-ils parfois le même comportement que les rayons lumineux ?
On imagine le dispositif ci-contre où un électron de vitesse initiale 𝑣⃗! pénètre en O dans la zone grisée où règne un champ magnétique 𝐵"⃗ uniforme et stationnaire orthogonal au plan de la figure. Tracer la trajectoire (on ne demande pas de calculs) et justifier le titre de la question.
Réponse : 𝑅 =%24$# ; 𝑣!= 0"45% ; %4 =6"5"$" ; 𝑣!='$ avec des champs orthogonaux.
IV Mouvement d’une particule chargée
On se propose ici d’étudier le « choc » entre une particule chargée et une cible, elle aussi porteuse d’une charge électrique.
La particule incidente est assimilable à un point matériel de charge q se déplaçant sur un axe Ox de vecteur unitaire 𝑒⃗+. On supposera la vitesse de celle-ci suffisamment faible pour qu’elle ne soit pas relativiste.
La cible est constituée d’une couche électrisée uniformément en volume et contenue entre les plans verticaux d’abscisses x = 0 et x = L.
On note r la charge contenue entre les deux plans par unité de volume (en C.m-3), et e0 la permittivité du vide.
O v0
B p/4
p/4
0 L
r 𝑒⃗+
q
x
𝐸#⃗ = −𝐸!𝑒⃗& pour x ≤ 0 ;
𝐸#⃗ =%"
!'𝑥 −#$) 𝑒⃗& pour 0 ≤ x ≤ L ; 𝐸#⃗ = 𝐸!𝑒⃗& pour x ≥ L.
1) La particule chargée est pour l’instant un électron, de charge q = - e (où e est la charge élémentaire), de masse m, qui pénètre en x = 0 dans la couche électrisée à l’instant t = 0 avec une vitesse « négligeable ».
a) Rappeler l’expression de la force électrique subie par la particule.
E0 étant de l’ordre de grandeur de quelques milliers de volts, montrer que l’on peut négliger le poids de la particule devant la force électrique. On donne m = 9,1.10-31 kg, g = 9,8 m.s-2 et e = 1,6.10-19 C.
b) Établir l’équation différentielle du mouvement de l’électron dans la couche chargée. On posera ω$=(%'"
!.
c) Déterminer la loi x(t) du mouvement de l’électron, compte tenu des conditions initiales, ainsi que sa fréquence u de vibration.
Tracer l’allure de la courbe x(t).
2) La particule chargée est maintenant un proton sortant d’un accélérateur, de charge q = + e, de masse M, qui pénètre à l’instant t = 0 en x = 0 dans la couche électrisée avec une vitesse 𝑣⃗!= 𝑣!𝑒⃗+. On considère toujours le poids de la particule négligeable devant la force électrique.
a) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle Ep de la particule en fonction de sa charge q et du potentiel V dont dérive le champ électrique 𝐸"⃗.
On donne par ailleurs l’expression de ce potentiel dans la couche chargée (0 ≤ x ≤ L) : 𝑉(𝑥) = "&
$%!(𝐿 − 𝑥).
b) Indiquer le sens de la force électrostatique subie par le proton en fonction de sa position x dans la couche chargée.
En conséquence, pour quelle valeur de x sa vitesse est-elle minimale ?
En déduire, par application du théorème de l’énergie mécanique, la valeur minimale de l’énergie cinétique EC0 que doit posséder le proton en O pour qu’il puisse traverser la couche électrisée.
On supposera dans la suite cette condition vérifiée.
c) Établir l’équation différentielle du mouvement du proton dans la zone chargée. On posera Ω$= '"
)%!.
d) Déterminer la loi x(t) du mouvement de l’électron à l’intérieur de la couche chargée compte-tenu des conditions initiales.
e) Indiquer la nature du mouvement du proton après la traversée de la couche électrisée.
Réponse : 𝑥̈ + 𝜔"𝑥 = 𝜔" 7" ; 𝑥(𝑡) =7"(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) ; 𝜈 ="98 0%;4:
# ; 𝐸<!=4:7=;"
# ; 𝑥̈ − Ω"𝑥 = −Ω" 7" ; 𝑥(𝑡) =7"(1 − 𝑐ℎΩ𝑡) +2>#𝑠ℎΩ𝑡.
0 L/2 L x
Ex E0
-E0
