Faîte du cône tangent à une singularité: un théorème oublié.

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Preprint submitted on 16 Nov 2016

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Faîte du cône tangent à une singularité: un théorème oublié.

Vincent Cossart, Olivier Piltant, Bernd Schober

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Vincent Cossart, Olivier Piltant, Bernd Schober. Faîte du cône tangent à une singularité: un théorème

oublié.. 2016. �hal-01397777�

Faˆıte du cˆ one tangent ` a une singularit´e : un th´eor`eme oubli´e.

Vincent Cossart ^∗ Olivier Piltant ^∗ Bernd Schober ^† 11 novembre 2016

1 Introduction

Il s’agit du th´ eor` eme 1.2 que l’on peut trouver en langage subliminal dans [3] et [4] et que Jean Giraud semble avoir oubli´ e d’´ enoncer tant il ´ etait proche de ce r´ esultat. Les auteurs ne s’attribuent donc pas la primeur du th´ eor` eme 1.2, ils veulent simplement l’´ enoncer, le prouver et le diffuser tr` es largement.

Soit X un sch´ ema excellent localement noeth´ erien et x ∈ X un point de X . H X est la fonction d’Hilbert-Samuel modifi´ ee [2] definition 1.28(3) p. 23 (cas g´ en´ eral) et [1] p. 29 (cas o` u X est “faiblement bi´ equidimensionnel”).

Cette fonction est semi continue sup´ erieurement le long de X [2] theorem 1.33 p. 25, [1] theorem(4) p. 29 et [3] th´ eor` eme 3.9 p. II-30 et d´ ecroissante par

´

eclatements permis [2] theorem 2.10 p. 35 et [3] th´ eor` eme 3.8 p. II-28.

Le plus souvent, X est plong´ e dans un ambiant r´ egulier W sch´ ema ex- cellent localement noeth´ erien.

Un autre invariant int´ eressant est le faˆıte du cˆ one tangent C _x (X ) de X en x (voir [3] d´ efinition 5.2). Intuitivement il s’agit du plus grand sous groupe

∗. Laboratoire de Math´ ematiques LMV UMR 8100, Universit´ e de Versailles, 45, avenue des ´ Etats-Unis, 78035 VERSAILLES Cedex, France

cossart@math.uvsq.fr, piltant@math.uvsq.fr

†. The Fields Institute, 222 College Street, Toronto ON M5T 3J1, Canada, et University of Toronto, Department of Mathematics, 40 St. George Street, Toronto ON M5S 2E4, Canada

schober@math.toronto.edu

additif de l’espace tangent de Zariski T _x (X ) := Spec k(x)[ M X,x

M ² _X,x ] o` u M X ,x est le maximal de O X ,x ,

laissant stable C _x (X ) par translation. Dans le cas o` u X est plong´ e, T _x (X ) est naturellement un sous k(x)-espace vectoriel de C _x (W). Le faˆıte est not´ e F x (X ), sa codimension dans C x (W) est not´ ee τ st (x), on l’appelle le “τ-stable de x”, x ∈ X , c’est elle qui apparait naturellement dans les calculs plutˆ ot que f _x (X ) la dimension du faˆıte :

τ _st (x) = dim O W,x − f _x (X ) ∈ N .

Dans le cas g´ en´ eral, nous utilisons τ modif (x) d´ efini ci-dessous.

D´ efinition 1.1 ([2] definition 1.28 p. 23). (i) Pour tout x ∈ X , on note Irr(x) l’ensemble des composantes irr´ eductibles Z de X contenant x.

(ii) On d´ efinit la fonction

Ψ X (x) := min{codim Z (x) | Z ∈ Irr(x)}.

(iii) On d´ efinit τ modif (x) par :

τ _modif (x) := Ψ X (x) − f _x (X ) ∈ Z .

J. Giraud a donn´ e une d´ efinition fonctorielle du faˆıte et a montr´ e qu’il s’agissait d’un foncteur repr´ esentable [3] d´ efinition 5.2 et proposition 5.3 p. I- 24. Ce r´ esultat remarquable de J. Giraud lui permet de prouver les lemmes fondamentaux (2.1) (2.3) ci dessous qui nous donnent le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 1.2 (Th´ eor` eme oubli´ e). Avec les hypoth` eses et notations ci- dessus, la fonction

ι _modif : X → N ^N × Z , x 7→ (H X (x), −τ _modif (x)) resp. quand X est plong´ e

ι : X → N ^N × − N , x 7→ (H X (x), −τ st (x)),

est semicontinue sup´ erieurement sur X pour l’ordre lexicographique.

N ^N ´ etant muni de l’ordre produit :

ν ≥ µ ⇔ ν(n) ≥ µ(n) ∀n ∈ N .

2 Preuve du th´ eor` eme

Lemme 2.1 (J. Giraud). Avec les hypoth` eses et notations ci-dessus, soit Y un ferm´ e r´ egulier de X tel que gr Y (X ) est plat sur Y (c-` a-d Y est permis pour X ), alors la fonction

x ∈ Y −→ f _x (X ) − dim(O Y,x ) est semi-continue sup´ erieurement sur Y,

D´ emonstration. Voir [3] 5.3.3 p. I-26 dans le cas g´ en´ eral et [4] 4.3(ii) (avec les notations de [4] s _i ∈ P ^q

) dans le cas o` u il y a un corps de base.

Corollaire 2.2. Avec les hypoth` eses et notations de (2.1) ci-dessus, (i) la fonction ι _modif est semi-continue sup´ erieurement sur Y,

(ii) dans le cas o` u X est plong´ ee dans un r´ egulier W, ι est semi-continue sup´ erieurement sur Y .

D´ emonstration. (ii) est une cons´ equence imm´ ediate de (i). Pour prouver (i), on remarque que

−τ _modif (x) = (f _x (X ) − dim(O Y,x )) + (dim(O Y,x ) − Ψ X (x)) :

−τ _modif est la somme de deux fonctions semi-continues sup´ erieurement sur Y .

Lemme 2.3 (J. Giraud). Avec les hypoth` eses et notations ci-dessus, soit Y un ferm´ e permis en x ∈ Y pour X et soit

π : X ⁰ −→ X

l’´ eclatement de X le long de Y et x ⁰ ∈ π ⁻¹ (x), x ⁰ point ferm´ e de la fibre π ⁻¹ (x). Si x ⁰ est un point proche de x (c-` a-d H X (x) = H X

(x ⁰ )), on a

f _x

(X ⁰ ) ≤ f _x (X ).

A notre connaissance, ce lemme est enti` ` erement dˆ u ` a J. Giraud.

D´ emonstration. Voir [3] proposition 4.2 p. II-33 qui donne un r´ esultat plus

pr´ ecis. Dans le cas o` u il y a un corps de base, c’est une cons´ equence de

[4] th´ eor` eme 5.2.

Corollaire 2.4. Avec les hypoth` eses et notations de (2.3) ci-dessus (i) ι _modif (x ⁰ ) ≤ ι _modif (x),

(ii) dans le cas o` u X est plong´ ee dans un r´ egulier W , ι(x ⁰ ) ≤ ι(x).

D´ emonstration. (ii) est une cons´ equence imm´ ediate de (2.3). Pour (i), dans le seul cas ` a consid´ erer o` u H _X (x) = H _X

(x ⁰ ), il suffit de remarquer que les composantes de Irr(x ⁰ ) sont transform´ ees strictes de certaines composantes de Irr(x) : si Z ⁰ est l’une de ces composantes, comme x ⁰ est ferm´ e dans la fibre de x, codim _Z

(x ⁰ )=codim _π(Z

₎ (x) et donc Ψ _X (x) ≤ Ψ _X

(x ⁰ ),

f _x

(X ⁰ ) − Ψ X

(x ⁰ ) ≤ f _x (X ) − Ψ X (x).

Fin de la preuve du th´ eor` eme. Soit x ∈ X , prouvons que, dans un voisinage suffisamment petit U ⊂ X de x,

∀ y ∈ U : ι _modif (y) ≤ ι _modif (x) (resp. ι(y) ≤ ι(x) cas plong´ e). (1) Bien sˆ ur (1) est vrai pour tout y / ∈ HS X (x). Soit Y 3 x un sous ferm´ e irr´ eductible de la strate de Samuel de x :

HS X (x) := {y ∈ X | H X (y) ≥ H X (x)}.

Nous allons montrer par r´ ecurrence sur dim(Y) que (1) est vraie le long de Y, c’est ` a dire que pour x ⁰ ∈ U ∩ Y,

ι _modif (x ⁰ ) ≤ ι _modif (x) (resp. ι _st (x ⁰ ) ≤ ι _st (x) ).

Cela impliquera le th´ eor` eme.

(i) Si Y est r´ egulier en x, (1) r´ esulte de (2.2).

(ii) Si dim(O Y,x ) = 1, on effectue une suite d’´ eclatements centr´ es en des points au-dessus de x pour se ramener au cas o` u Y est r´ egulier en x, 2.4 nous permet de conclure.

(iii) Si dim(O Y,x ) ≥ 2, soit Z ( Y un ferm´ e irr´ eductible contenant x avec dim(Z) =dim(Y ) − 1. Soit z le point g´ en´ erique de Z et y celui de Y.

Par r´ ecurrence,

ι _modif (x) ≥ ι _modif (z) (resp. ι(x) ≥ ι(z) cas plong´ e).

En se localisant en z, (ii) donne

ι _modif (z) ≥ ι _modif (y) (resp. ι(z) ≥ ι(y) cas plong´ e).

D’o` u (1).

Soit X plong´ ee dans un r´ egulier W et x ∈ X . D´ esignons par n la di- mension de O _W,x et k = k(x) le corps r´ esiduel de O _W,x . On rappelle que la directrice dir(x) du cˆ one tangent en x est le plus grand sous-espace vectoriel de translations de C _x (W) ∼ = k ⁿ laissant stable ce cˆ one. En caract´ eristique 0, directrices et faˆıte co¨ıncident : le th´ eor` eme oubli´ e 1.2 a ´ et´ e ´ etabli par Bennett et Hironaka dans ce cas [1]. Ce n’est pas le cas en caract´ eristique positive, en particulier dans l’exemple ci-dessous : le faˆıte F _x (X ) est C _x (X ), par contre la directrice est le sommet du cˆ one.

En plus, si on ´ eclate X le long de Y ferm´ e permis et x ∈ Y, en ca- ract´ eristique 0 ou si car(k) ≥ dim(X )/2 + 1, un point x ⁰ ∈ X ⁰ proche de x est sur le Proj(dir(x)) [2] Theorem 2.14. C’est totalement faux dans l’exemple o` u Proj(dir(x)) = ∅.

Exemple 2.5 ([3], p. III-26, [5](3.1.5)). On consid` ere un corps k de ca- ract´ eristique 2 et a ₁ , a ₂ , a ₃ ∈ k tels que [k ² (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) : k ² ] = 8. Soit X :=

V(h) ⊂ A ⁸ k , h ∈ k[Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ , Y ₄ , X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ],

h := Y ₄ ² + a ₁ Y ₁ ² + a ₂ Y ₂ ² + a ₃ Y ₃ ² + a ₂ a ₃ X ₁ ² + a ₁ a ₃ X ₂ ² + a ₁ a ₂ X ₃ ² + a ₁ a ₂ a ₃ X ₄ ² . Soit x ∈ X ⊂ A ⁸ k l’origine. On a

τ st (x) = 1, Idir(x) = (Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 , X 1 , X 2 , X 3 , X 4 )

Eclatons l’origine et regardons la carte o` ´ u X ₄ est l’´ equation du diviseur exceptionnel. Notons :

x ⁰ _i = X i /X 4 , y _j ⁰ = Y j /X 4 , 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 4, X ₁ = x ⁰ ₁ ² + a ₁ , X ₂ = x ⁰ ₂ ² + a ₂ , X ₃ = x ⁰ ₃ ² + a ₃ , X ₄ = X ₄ , Y 1 = y ₁ ⁰ + x ⁰ ₂ x ⁰ ₃ , Y 2 = y ₂ ⁰ + x ⁰ ₁ x ⁰ ₃ , Y 3 = y ₃ ⁰ + x ⁰ ₁ x ⁰ ₂ ,

Y ₄ = y ₄ ⁰ + x ⁰ ₁ x ⁰ ₂ x ⁰ ₃ + x ⁰ ₁ Y ₁ + x ⁰ ₂ Y ₂ + x ⁰ ₃ Y ₃ .

Soit x ⁰ ∈ X ⁰ le point ferm´ e de param` etres (X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ , Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ , Y ₄ ).

h ⁰ := h

X ₄ ² = Y ₄ ² + X ₁ Y ₁ ² + X ₂ Y ₂ ² + X ₃ Y ₃ ² + X ₁ X ₂ X ₃ . k(x ⁰ ) = k(x)[ √

a ₁ , √ a ₂ , √

a ₃ ],

τ _st (x) = τ _st (x ⁰ ) = 1, Idir(x ⁰ ) = (Y ₄ ) ⊂ k(x ⁰ )[ M X

,x

M ² _X

,x

],

o` u Y 4 := in x

(Y 4 ) . La codimension de la directrice baisse strictement apr` es

´

eclatement permis alors que le τ-stable ne baisse pas, conform´ ement ` a 1.2.

R´ ef´ erences

[1] Bennett B. M. , Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 91, No.

1 (Jan., 1970), pp. 25-87.

[2] Cossart V., Jannsen U., Saito S. , Canonical embedded and non-embedded resolution of singularities for excellent two-dimensional schemes, preprint arXiv :0905.2191 (2009), 1-169.

[3] Giraud J. , ´ Etude locale des singularit´ es, Cours de 3` eme cycle, Publ.

Math. d’Orsay 26, Univ. Paris XI, Orsay (1972).

[4] Giraud J. , Contact maximal en caract´ eristique positive, Ann. Sci. ´ Ec.

Norm. Sup. 4` eme s´erie 8 (1975), 201–234.

[5] Voitovich A. , Reduction to Directrix-near points in resolution of sin-

gularities of schemes, th` ese, Universit´ e de Ratisbonne (2015).