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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Dehaes, J.-C. (1976). Contribution à l'étude de la spectroscopie Mossbauer en coincidence et application à l'étain 119 (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences appliquées, Bruxelles.

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D 03012

INIV'ERSITE LIBRE DE BRUXELIES jcultë des Sciences Appliquées Service de Métrologie Nucléaire

CONTRiBUTiON A L'ETUDE DE LA SPECTROSCOPÎE MOSSBAUER EN COiNCÎDENCE ET APPLiCATION A

L'ETAIN 119

Thèse présentée pour l'obtention du grade de Docteur en Sciences Appliquées

Jean-Claude DEHAES

Université Libre de Bruxelles

0031E0194

19 7 6

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences Appliquées Service de Métrologie Nucléaire

CONTRIBUTION A L'ETUDE DE LA SPECTROSCOPIE MOSSBAUER EN COÏNCIDENCE ET APPLICATION A L'ETAIN 119

Thèse présentée pour l'obtention du grade de Docteur en Sciences Appliquées

Jean-Claude DEUAES 1976

D E H A E S Jean-Claude

Tlièse principale :

"Contribution à l'étude de la spectroscopie Mossbauer en coïncidence et application à l'étain 119".

Thèse annexe :

"L'utilisation de la technique de détection synchrone appliquée à la mesure de l'intensité de lumière par un photomultiplicateur permet d'améliorer le rapport signal-bruit dans une expérience de spectroscopie atomique sur un faisceau d'ions".

CCMTRIBUriON A L'ETUDE DE LA SPECTROSœPIE MOSSBAUER EN COÏNCIDENCE ET APPLICATION A L'ETAIN 119

Mes renBrciements s'adressent à Monsieur le Professeur P. KIPFER qui a eu l'obligeance de m'accueillir dans son laboratoire et à Monsieur le Professeur J. DEVOOQHT qui m'a foirmi le sujet de ce travail et m'a guidé au cours de la réalisation de celui-ci, sans jamais cesser de me donner directives et conseils précieux.

Je renercie particulièrement Monsieur le Professeur S. LEJEUNE et Monsieur W.

SINŒR pour leur aide efficace.

Que Monsieur J. CARMELIET veuille trouver ici l'expression de mes sincères remerciements pour l'aide constante qu'il m'a apportée.

Je tiens enfin à exprimer ma reconnaissance à Monsieur R. DOO^K et à l'ensem­

ble du personnel technique et administratif pour leur coopération efficace.

TABLE DES MATIERES

QIAPITRE I ; INTRODUCriQN

1. Historique. 1

.

.

2. Tliêorie. 1.3.

3. Principe de l'expérience. 1.7.

4. Résumé bibliographique - Fe . 1.8.

5. Buts du travail. 1.10.

Références. 1.12.

CHAPITRE II : CALCUL DE LA TRANSMISSION MOSSBAUER DEPENDANT DU IMS.

1. Introduction. 2.1.

2. Calcul analytique exact. 2.4.

3. Calcul analytique approché. 2.13.

4. Conparaison entre l'évaluation exacte et approchée 2.18.

de la transmission.

Références. 2.21.

Appendice A : Approximations rationnelles de l'exponentielle. 2.22.

T^pendice B : Programme de calcul de la transmission : SPTEMPS. 2.27.

aiAPITRE III : ETUDE PARAMETRIQUE

1. Ii\troduction. 3.1.

2. Définitions - notations. 3.3.

3. Caractéristique des spectres à une raie d'absorption. 3.4.

4. Caractéristiques des spectres à deux raies d'absorption. 3.13.

5. Influence du temps de résolution. 3.14.

6. Influence de l'autoabsorption dans la source. 3.19.

Références. 3.23.

Appendice : Calcul d'une intégrale particulière. 3.24.

QIAPITRE IV : SPECTROSCOPIE MOSSBAUER EN COÏNCIDENCE APPLIQUEE AU CAS DE L'ETAIN 119.

1. Introduction. 4.1.

2. Equation du spectre expérimental. 4.3.

3. Cas particulier : Sn 119. 4.7.

4. Détennination de la position des raies en présence d'un 4.12.

bruit statistique.

Références. 4.20.

QIAPITRE V : DISPOSITIF EXPERI^ENTAL

1. Introduction. 5.1.

2. Système électromécanique de commande de la vitesse. 5.2.

3. Chaîne de coïncidences lentes/rapides. 5.20.

4. Système d'acquisition de quarre spectres Mossbauer. 5.23.

Références. 5.26.

Appendice Relation entre la demi-vie, le tenps de résolution 5.27.

et la largeur à mi-hauteur d'me courbe de coïn­

cidence .

aWITRE VI : SPECTROSCOPIE MOSSBAUER EN COÏNCIDENCE DE SNO2 ET SNe

1. Introduction. 6.1.

2. Méthode expérimentale. 6.3.

3. Dépouillement des spectres en coïncidences. 6.4.

4. Résultats expérimentaux - Sn02* 6.5.

5. Résultats expérimentaux - Sng. 6.12.

6. Conclusions. 6.13.

Références. 6.15.

CHAPITRE VII : CONCLUSIQNS

1. Résumés des résultats obtenus. 7.1.

2. Domaines d'applications de la spectroscopie Mossbauer 7.2.

en coïncidence.

Références. 7.4.

1

.

.

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

1 . HISTORIQUE

La spectroscopie Mossbauer a connu, depuis 1958, un développement très iiiportant.

Elle a des applications dans des domaines tels que la physique, la chimie, la biologie et même l'archeplogie. Actuellement, il y a 44 isotopes grâce auxquels un effet Mossbauer a été mis en évidence. Tous ces isotopes ont certaines carac­

téristiques communes : ils présentent un ou plusieurs niveaux nucléaires d'éner-

“9 "6 gie faible (E <200 keV) et dont le tenq^s de vie est coiipris entre 10 et 10 s.

Si l'isotope est lié dans un réseau cristallin, une fraction des gammas émis lors de la désexcitation du niveau ne subit aucun recul. Le spectre en énergie de ces gairanas est centré sur l'énergie de la transition et sa largeur est égale à

, où t est le temps de vie. Le même phénomène peut se produire lors de l'absorption : une fraction des gammas émis avec l'énergie de la transition est absorbée sans recul dans l'écran. Une expérience de spectroscopie Mossbauer classique consiste à mesurer l'absoiption résonnante en fonction de la vitesse relative entre la source et l'absorbant. Cette vitesse a pour effet de modifier par effet Doppler l'énergie du gamma émis d'une quantité égale à AE = Ej, ^

(Ep = énergie de la transition dans la source, v la vitesse et c la vitesse de la lumière). Suivant la valeur de la vitesse, le recouvrement entre le spectre d'émission et d'absorption change et le taux de comptage transmis au travers de

l'absorbant se présente sous la forme d'un spectre de raies.

1

.

. -

Qii peut montrer (25) que la largeur de ces raies est toujours supérieure à deux fois la largeur naturelle et qu'elle augmente avec l'épaisseur de l'absor­

bant.

En 1960, R.E. Holland, F.J. Lyndi, G.J. Perlow et S.S. Hanna (1) montrent que l'intensité des gammas transmis au travers d'un absorbant résonnant ne décroît pas exponentiellement avec le tenps. La décroissance est initialement plus rapi­

de que celle correspondant au tenps de vie du niveau émetteur. Durant la même année, F.J. Lynch, R.E. Holland et M. Haraenmesh (2) donnent une explication pré­

cise de ce phénomène et présentent les résultats des expériences réalisées avec une source de Fe . Ils montrent que la forme de la décroissance dépend de la 57 vitesse relative entre la source et l'absorbant résonnant et que l'écart entre la décroissance exponentielle et la décroissance observée présente des oscilla­

tions dont la fréquence augmente avec la vitesse relative. Pour certains tenps et pour une Aâtesse relative élevée, ils observent une transmission supérieure à celle qui serait obtenue sans absorbant. En portant la transmission mesurée à l'instant t en fonction de la vitesse, ils obtiennent un spectre Mossbauer dont la largeur de raie décroît avec t et lorsque t est suffisamment grand, elle est inférieure à la largeur naturelle.

Par la suite, d'autres expériences ont été réalisées (5 - 12). Elles ont confir­

mé les prédictions et les nesures de F.J. Lynch et al.

Nous avons dénombré dans la littérature 21 articles traitant de la spectroscopie Mossbauer en coïncidence. La plupart concerne la comparaison des spectres expé­

rimentaux et tliéoriques. Seuls W. Trifthauser (9, 12) et G.R. Hoy (15, 17) sont allés plus loin en tentant d'utiliser la spectroscq)ie Mossbauer en coïncidence pour la mesure de temps de relaxation.

- 1.3.

2. THEORIE

2.1. Tlaéorie classique

Classiquement, le noyau émetteur peut être représenté par un oscillateur amorti (3) :

+ (1.2.1. J

où est la fréquence de l'oscillateur (le noyau subit me transition dont l'écart en énergie est égal à phase arbitraire et y l'inverse de la vie moyenne r de l'état excité.

Le spectre en fréquence I(u) ) de la raie d'émission est la transformée de Fourier de cette expression; on obtient

I i^) 1l lO

(

.

.

.]

Si i' « la distribution I(a)) au voisinage de est me raie Lorent- zienne :

I A/ /V (1.2.3.;

1,4.

où -1lu}=Eet 4l^ = r. Cette forme de raie correspond à celle mesurée en spectroscopie Mossbauer classique.

L'expression (1 .2.2.) n'est valable que si le temps d'observation T est grand par rapport au teiips de vie

r .

Lorsque T est petit ou conçarable à r , le spectre d'émission est décrit par la fonction :

-n -ÏT!z

n e - 5, e

+ (If

(1.2.4.)

La largeur de cette raie est plus grande que la largeur naturelle ÿ* et l'inten­

sité peut mSiœ osciller.

La propagation du train d'onde 0.2A.) dans un milieu résonnant dépend à la fois de la distribution en fréquence de l'onde incidente et de la constante dié­

lectrique conplexe du milieu.

La théorie coiiplète est due à F.J. Lynch et al. (2). Il obtient une expression pour l'intensité transmise en fonction du tenps :

-ÿfc + 00

t Cuit

e

t 4-b

zrri J _{U) - ^}

[ u> -

(1.2.5.)

Il a supposé que la source et l'absorbant se conposent d'un grand nombre d'oscil­

lateurs harmoniques amortis :

ï est le facteur d'amortissement supposé le meme dans la source et l'absorbant (O est la fréquence des oscillateurs dans la source

- 1.5.

I

U) ^ est la fréquence des oscillateurs dans l’absorbant , rd V

b = - - ou " d est l'épaisseur de l'absorbant

r une constante qui dépend miqueraent de la densité et des propriétés du noyau absorbant.

Y -11

Puisque —r « 1 (t)^iquement <10 ) on peut réécrire (1.2.6.) sous la forme

--

•jt 4

2. TTC

■f oO ilot

cLo

- cO (O - ^ ^ £

r ü>________

[ lO - u>' ^ £

(

.

.

.)

r

Z

Lorsque on obtient (2)

Z ^

^ (t;j = e 'Z ( ^ ) (1.2.7.)

où /3= -j— et J (x) est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre zéro.4t)

^ 2 ^ J—^^

La facteur ( • /i t) donne l'écart entre la décroissance exponentielle e et celle mesurée au travers d'un absorbant résonnant.

2.2. Théorie quantique

La théorie quantique est due à S.M. Harris (4). Il suppose que les noyaux de la source et de l'absorbant peuvent se trouver dans deux états d’énergie; un état fondamental et un état excité dont l'énergie est égale à Pour tenir coiipte de l'effet Doppler dû au déplacement de la source, il remplace l’énergie

■h tv de l'état excité dans le noyau absorbant par (1 + £) où v est la vitesse relative entre la source et l’absori:)ant.

- I.G.

En appliquant la métliode des perturbations dépendant du tenps, il obtient

T(fc) = y d

U, . ^ ^ il

d 4 J e e.

zrU a _ to f ^ üT

-cO ^ jt.

(

.

.

.)

où ^ est la largeur naturelle du niveau excité (= 1/ r ) et ” 7 S où S est l’épaisseur réduite de l'absorbant. Ce résultat est identique à celui don­

né par la théorie classique. Lorsque les états de la source et/ou de l'absor­

bait présentent me structure hyperfine, l'expression (2.1.6.) devient (22) :

T(t) ^_4_

2tTc

et ico)

e cLû (1.2.9.)

où ^(u?) est le spectre d'émission de la source et <X{u}) est le spectre d'absorption de l'absorbant.

Remarque

La transmission intégrée de 0 à l'infini est l'expression de la transmission Mossbauer classique

■00 ♦ oO ^ ^

T( t) cLt

■J I -^(cy) I

(

.

.

.

- cO

w 1 ^7_{I • / •}

3. PRINCIPE DE L'EXPERIENCE

La plupart des expériences (1 ~ 3); (5), (7 -12), (15 -16) ont été réalisées en utilisant le Fe comme isotope Mossbauer. Les mesures avec l'étain 119 ont été 57 faites dans notre laboratoire ( (13), (19), (23) ).

Dans les deux cas, le schéma de désintégration peut se représenter sous la for­

me (22) .

2

1 0

---T E^

^ "Mossbauer" -j.

---

r 57Fe c 119

Sn

122. keV 25.2 keV (R.X.)

14.4 keV 23.8 keV

97.7 ns 17.75 ns

Une expérience de spectroscopie Mossbauer en coïncidence consiste à mesurer en fonction de la vitesse relative entre la source et l'absorbant la transmis­

sion des Y Mossbauer au travers d'un écran résonnant en ne retenant que ceux émis dans l'intervalle de tenps (t, t + A t) après le peiçlement du niveau 1.

L'instant de peiplement est défini par l'instant d'émission du

Lorsque l'intervalle de tenps s'étend de 0 à l'infini, le spectre obtenu est un spectre Mossbauer classique.

On peut également mesurer la transmission Mossbauer en fonction du tenps en main tenant la vitesse constante. C'est la réalisation de cette expérience qui a permis à R.E. Holland et al. (1) de mettre en évidence un écart par rapport à

la loi exponentielle.

4. RESUME BIBLIOGRAPHIQUE -

Les expériences réalisées avec le Fe comme isotope Mossbauer peuvent se classer 57 en trois groupes :

a. Expérience s''qualitatives” : elles ont permis la mise en évidence du phénomène de filtrage.

b. E2q)êriençes_”quantitat^^ : les résultats expérimentaux sont conparés avec la théorie.

Appliçatipns_ : la spectroscopie Mossbauer en coïncidence est utilisée en tant que tedmique expérinentale.

Les résultats des expériences "qualitatives” ont été présentés au § 1.

4.1. Expériences "quantitatives”

4.1.1. F.J. L>Tich et al. (2)

Ils ont mesuré, pour diverses vitesses, la transmission en fonction du temps.

Les graphiques, de la figure 1.1., pemettent de constater que l'accord entre la théorie et l'expérience est relativement bon. Ils signalent toutefois que cer­

taines expériences ont donné des résultats qui sont en désaccord avec les prédic­

tions théoriques. Ils n'ont pas pu mettre en évidence les causes de ce désaccord.

4.1.2. W. Neuwirth (7), K. Albrecht et W. Neuwirth (10)

Dans le premier article (7), l'auteur a étudié la dépendance temporelle de la transmission au travers d'un écran résonnant et celle de la diffusion nar un diffu seur résonnant. Il attribue l'écart entre les spectres expérimentaux et théori­

ques observé par F.J. Lynch et al. (2), à une inhomogénéité en épaisseur de l'absorbant. Il réalise deux séries d'expériences :

COUNTCOUNT

1.0

c.o O.G

0.4

0.?.

0

J l

!\ A-iM'i''

.‘L.

af: - ir

1___i_ J___1___ I._

TIME CHANNEL (1 CHANNEL *• 0.4 muscc) Fig, 1.1, Dépendance temporelle de la transmission Môssbauer TzI

a. Comparaison des décroissances obtenues lorsque la source et l’absor­

bant sont au repos et en mouvement relatif l'un par rapport à l'autre.

b. Décroissancesde la fig.l.l.a multipliées par e . La courbe en trait plein est la prédiction théorique

c-ge Décroissances correspondant à plusieurs énergies Dbppler ûEjCcaimuni- quées à la source. Les énergies ÛE sont données en unités de largeur naturelle Iæs courbes en traits pleins sont les prédictions théoriques.

- Mesure de la transmissiai : l'accord entre la tliéorie et l'expérience est meilleur si on suppose que l'absorbant n'est pas unifoirne (cf. £ig. 1.2.)

- Mesure de la diffusion : il faut tenir conpte d'une non homogénéité de l'absor­

bant pour obtenir un bon accord avec la théorie (cf. fig. 1 .3.).

Il en conclut que la théorie M. Hamermesh (2) et de S.M. Harris (4) est exacte.

Dans le second article (10), les deux auteurs étudient la dépendance tenporelle de la transmission au travers d'un absorbant qui présente un effet quadrupolaire.

Le spectre Mossbauer se conçiose de deux raies. Les graphiques de la fig. 1.4.

permettent de constater la variation de la forme du spectre en fonction du teiips.

Les deux raies du spectre mesuré au temps t = 2.40r sont parfaitement résolues.

4.1.3. D.W. Hamill et G.R. Hoy (11)

Les auteurs examinent l'influence du tenps de résolution de l'installation de coïncidence sur la forme des spectres Mossbauer. Ils conparent les spectres tliéoriques calculés en fonction de la largeur 4t de l'intervalle de temps

(fig. 1.5.a.) et constatent que l'amplitude des oscillations diminuent lorsque At augmente. Ils montrent que l'accord entre la théorie et l'expérience est très bon lorsqu'on tient conpte de la largeur de l'intervalle de tenps dans le calcul de la transmission théorique (fig. 1.5.b.).

4.1.4. Conclusions

Les expériences décrites dans ce paragraphe montrent que l’accord entre les spec­

tres calculés et ceux mesurés est relativement bon. Elles font apparaître qu'il faut tenir compte de la largeur de l'intervalle de tenps et éventuellement du tenps de résolution et de l'inhomogénéité de l'écran.

Fig. 1,2, Spectres Môssbauer en transmission de Na^[Fe(CN)^] en fonction du temps [7j Les points représentent les résultats d'expériences et les courbes

en traits pleins les prédictions théoriques :

- les quatre spectres théoriques dans la partie gauche de la figure ont été obtenus en supposant l'absorbant homogène.

- les spectres de la partie centrale conrespondent à un écran dont la distribution des épaisseurs est rectangulaire (toutes les épaisseurs de 0 à d___ sont équiprobables)

- les quatre derniers spectres correspondent a une situation intonne- diaire.

Stmjin'ensilàt(witik.Ertheiten)

Fig. 1.3, Spectres Mossbauer eii diffusion par un diffuseur de Na^ FeCCN)^ en fonction du temps î 7j ,

Les courbes en traits pleins sont les prédictions théoriques correspon­

dant à un diffuseur non honcgône.

Transmission

Energie - Verschiebung

r

l.i

1.2

0.3

C.2 0

f.i 1.2

1.0 0.8

0.6 O.i 0.2

0 b.

Fig. 1.4, Spectres Mossbauer classique et en coïncidence de Fe(CN)^ [lo]

a. Spectre Mossbauer classique

b. Spectres Mossbauer en fonction du temps.

Fig. 1.5. Spectres Mossbaucr en coïncidences

a. Spectres théoriques montrant l'influence de la largeur de l'intervalle de temps.

b. Comparaison des spectres experimentaux et théoriques.

4.2. Applications

4.2.1. W. Triftshauser et P.P. Craig (9), W. Trifthauser et D. Schroer (12)

57 57

Le Fe dans la source est forné par capture électronique dans le Co . La rêor- 57

ganisation des électrons dans l'atome de Fe donne lieu à l'éjection d'électrons hors de l'atome (électrons Auger) et il en résulte des états métastables de

charge.

Dans certains milieux isolants, le teups de vie associé au processus de neutra­

lisation pourrait être conparable au temps de vie du niveau "Mossbauer" ( /v 140 ns). Il devrait donc en résulter une modification de la dépendance temporelle de la transmission Mossbauer. Les auteurs ont étudié la dépendance tenporelle des spectres Mossbauer obtenus en utilisant différents conposés du Co comme 57 source. Leur conclusion est qu'aucune variation significative de la forme des spectres n'apparaît dans les systèmes étudiés.

4.2.2. G.R. Hoy et P.P. Wintersteiner (16)

Les auteurs ont mesuré une dépendance tenporelle de la fraction résonnante sans recul du Fe dans CoS0^.7H20. Le temps de relaxation associé est compris 57 entre 10 et 100 ns.

5. BirrS DU TRAVAIL

Jusqu'en 1969, la spectroscopie Mossbauer en coïncidence a uniquenent été appli- quée au cas du Fe .En 1969, J. Carmeliet et S. Lejeune (13) et J.P. Coussaert 57

(23) ont mis au point, dans notre laboratoire, une installation permettant de l'appliquer au cas de l'étain 119. Les premières mesures réalisées avec un absorbant de /3 Sn, ont mis en évidence l'effet de filtrage en temps (13).

-

.

. -

Nous nous sommes proposés, au départ, trois objectifs :

- Mettre au point une tedniique de calcul nuiærique de la transmission Mossbauer - Entreprendre une étude paramétrique de la forme des spectres et mettre au

point un programme d'analyse des spectres expérimentaux par la méthode des moindres carrés

- Etudier expérimentalement la spectroscopie Mossbauer en coïncidence dans Sn^

et Sn02 dans le but de mesurer l'anplitude de l'effet quadrupolaire.

Au cours du travail, nous avons été amenés â ajouter deux objectifs supplémentai­

res : '

- Etudier l'influence des perturbations expérimentales sur la précision des mesu­

res (statistique de corptage, coïncidences fortuites)

- Anéliorer les performances de l'installation expérimentale existante.

1

.

.

Références

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16. G.R. Hoy and P.P. Wintersteiner, Phys. Rev. Letters 2^ (1972), 877.

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- 1.13.-

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dant du tenç)s", ^fêmoire de licence U.L.B. 1969.

24. J.G. Stevens and V.E. Stevens, Mossbauer Effect Data Index, covering the 1973 Littérature IFI/PLENUM.

25. S. Margulies and J.R. Ehrman, Nucl. Instr. Methods 12 (1961), 131.

“ 2.1

CHAPITRE II

CJVLCUL DE LA TRANSMISSION MOSSBAUER DEPENDANT DU TEMPS

1.. INTRODUCTION

La probabilité de transmission T(v,t) au travers d’un absorbant résonnant en fonc­

tion du temps t et de la vitesse v est donnée par l'expression (1.2.9) du chapitre I. Réécrivons cette expression sous la fome

où F(E^,E) dépend du spectre d'émission de la source et de la section efficace d'absorption résonnante de l'absorbant, E^ est l'énergie du rayonnement gamma émis par la source et est le temps de vie du "niveau Môssbauer".

Dans une expérience de spectroscopie Môssbauer en coïncidence, les fenêtres en temps sont nécessairement de dimensions finies. Cela signifie que pour comparer la théorie avec l'expérience, l'expression (2.1) doit être intégrée sur l'intervalle de temps [t^,t2l :

Le temps de résolution non nul de l'installation de coïncidence perturbe les spectres expérimentaux, il faut donc pouvoir en tenir compte. En général, on peut supposer que la réponse à l'instant t' de l'installation à une coïncidence à l'instant t est une distribution gaussienne C(t',t,<r) de moyenne t et d'écart type <T'.

(

.

.

)

(

.

.

)

- 2 . 2 . -

La probabilité de transmission (2,1.1) devient

-r L^o ^

j

et la transmission dans l'intervalle de temps Jt^,t2l est alors donnée par

L’évaluation numérique des expressions (2.1.1 - 2.1.4) nécessite d'abord le calcul de la transfomeo de Fourier apparaissant dans la relation (2,1.1), Plusieurs méthodes peuvent être utilisées.

n'est possible que dans certains cas et le résultat se présente sous la forme d'une série de fonctions de Bessel,

ǧl£ifl_2-33ltî;iüyS_22EÏ29lîê • consiste à approcher F(E^,E) par me fonc­

tion dont la transfoimée de Fourier est connue et mieux adaptée au calcul numérique que la série obtenue au point a,

c. Calcul_numéric]ue direct : la transformée de Fourier est obtenue poin.t par point. Cette technique n'a pas été utilisée car elle nous semblait peu adaptée à notre problème.

Le choix de la meilleure méthode s'est fait en fonction des critères suivants 1, Possibilité de calculer aisément les expressions (2.1.2), (2,1,3) et

(2,1,4),

2. temps de calcul nécessaire pour obtenir me précision donnée.

3, Etendue du danaine de validité de la méthode (par exemple : nombre maximum de raies d'émission, de raies d'absorption).

t.

Nous nous limiterons dans la suite au cas d'une seule raie d'émission et d'un ou deux raies d'absorption. L'expression (2,1.1) s'écrit alors sous la forme:

- 2.3

ATTt / 1 - oO

jU______

E - - -i ü'-

ut/^

■ X *^r

•* >4 E-E.-.5^O.

•« ■ i

(2.1.5) où = largeur à mi^hauteur de la raie d’émission

= largeur a mi-hauteur des raies d'absorption T = épaisseur réduite de l'absorbant (= n<r£g^) Al, = facteurs d'anisotropie

E2 = énergie de la transition des deux niveaux dans l'absorbant.

E^ = énergie du rayonnement / émis par la source

= E^(l + ~) où E^ est l'énergie de la transition du niveau dans la source et v la vitesse relative entre la source et l'absorbant.

Il est ccmïnode d'introduire les variables réduites

2 — 2-E cL =_ O r = it 5

'i.i

(

.

.

)

et de définir la transmission en fonction des v^ariables réduites par T(Zq, t)dr=T(E^,t)dt. Par conséquent

T(zp^c)= -t<<jl(Zo^^)j

+ oO L2.C

im

5-

Z. . Z

Z - 2^ - Lx

(2.1.7)

Cette dernière expression est la transformée de Fourier de la fonction --- H. —--- ]

^ ^

(

.

.

)

Z .

- 2.4 -

2. CALCUL AmmolJE KXACT

L*intégrale (2.1.7) a été calculée dans deux cas particuliers

~ ^1 ~ ^2 » ^1 ~ ^2 = 1

[

]

- Si = S2 , 1 [2 ] [3 ]

Ces résultats se présentent sous la forme d'un développement en série de fonc­

tions de Bessel.

Nous avons généralisé ces calculs aux cas suivants :

b - une raie d'émission, deux raies d'absorption et <<r 1.

2.1. CALCUL DE L\ ^fRANSMISSION - UNE RAIE D'ABSORPTION

La fonction y(z) a deux singularités, un pôle en z=z^+i<^ et une singularité essentielle en z=z^^+i , et l'intégrale est la somme des résidus de l'intégrand en Z +i< et z,+i :

o 1

On obtient aisément l'expression de ,

_c(r <■•5

e (

.

.

)

Pour évaluer , posons u=z-(Zj^+i) d'oTi

■Lu. C + <

; 5

£

L'exponentielie e de première espèce:

est la fonction génératrice des fonctions de Bessel

- 2.5 -

CU.Z t ^^■ T oO

. L

b. »= - oo

On obtient alors -r e e

«O

I

'YK-'t L

*K

(

.

.

)

La somme apparaissant dans (2.2.2) peut s'écrire d'une manière differente,

00 +00 O +00

En effet,

r

i:

n

z:

fonctions de Bessel, On obtient une seconde expression pour I^:

5

—

« t ^

c L

I -- c â. e

A

+ t C

<vrt. j—, . ^ __ —,

(2.2.3)

La transmission peut donc s’écrire sous les deux formes suivantes :

- zoiz Iz—:: —tt i(z^~Zo)r

_ e

m. —

l (w'

‘ïYi^'t ° 'f

(2.2.4)

et

T(r^, = c

■ ît ^{OO W. ^}Z

m =o

(2.2.5)

- 2.6 -

La preaniêre forme de T(z ,c) converge plus rapidanent si vX ---1__

° I ' ^ <

1 VT---4--- I >> 4

<(<5i --l) <-i et la seconde si

Remaraues

a, La transmission dépend de deux variables indépendantes et du temps

Posons X = Vï? et i (e< -'tjj r ^

l'expression (2,2,4) devient ^ K

, -Zoit. i y VL

. e Zl ^ (£j J (î«)

'vnï'1 ' J '

CO _&K

4n 1

«W. «O

(1)

et l'expression (2.2,5) s'écrit sous la forme

Cj = e

Donc le rapport Y’(o^*T) dépend que des produits St et (z^-Zj^+i(<x-l|r , On peut en déduire une propriété importante :

lorsque *=<.=1, la largeur à mi-hauteur du spectre est telle que

y's 2. f(St) où f est une fonction qui dépend uniquement du produit St,

b. Relation entre T(z^,x) et les fonctions de Lcmmcl à deux variables

Les fonctions de Lonmel à 2 variables sont définies par (C4],p,537 ) oo

U = 21 C-)

c>

OO

('Ur^z.) ^ H

O

(-/

- 'n -Z'^

J (r.)

--H - 2 -»n ^ '

- 2.7 -

s’expriment en fonction de U et U-, ou de V et V,.

O' ^ ‘ O 1 O 1

= e [ Ml ( , zy) , v" ( , iy)\

2.2. CALQJL DE LA TRyWS'ÎISSION - DEUX RAIES D’ABSORPTION

La fonction y(z) a trois singularités, un pôle en z=z^+i« et deux singularités essentielles en z=z^+i et 2=Zp+i , donc

iTTc

[ /

* f ■" /

• ]

* I. - I. + E

L’expression de I^ est aisée à obtenir

r - oi r

r___ ^-1-^--- + --- --- 1

L +-t c*<--i; J

lo =

e

Pour évaluer I^, posons u=z - (z^+i) » d’où

c

/ _____ oUc_________

vit c t . Si

*L

e

At - (Z^-^)

&

(2.2.7)

En procédant comme au paragraphe 2.1, on obtient

or^c -t ^on.

t - ‘

^-»

;

où xEf est la dérivée d’ordre (m-1) par rapport à u de

(

.

.

)

2.8 -

<4. — ~ ^f)

evaiuce en u=0

A4. -[^O

-2,

De même pour I2 , on obtient

- ■”/2 c^l

(2.2.9)

où ^2^^ est la dérivée d'ordre (m-1) par rapport à u de -

a ^(ZJ, -Za)

^ - C - Z-, +

évaluée en u=0 .

On peut évaluer

-(m)

^1

L

-tSj/CZfZi)

où

z:

'H î. O

Al !

2, AU. — 'H

/3C.

On obtient alors

-tz^r -r -<■

= _ e e e

Z

^ (f) h ^

'^n-o '■St/ / h.^-1

( ^1/Fj k+ 'iv'

R + -Vvx

(

.

.

)

En remplaçant la somme

00 +c» O

5T par 21 - ZI k=l k=“00 k=-oo

, I, s'écrit

H-r^r _c

r.- ^{- ïp -»- c}

(

.

.

)

On obtient des e:q)ressions analogues pour L

-r -<• —^

Tt =

Z -2, ~ >»n. . ««' I

e ' ZI (!-]

(.

1Z

_)Z ( __1____y

'»n! - Z^/ '■ z„-z„ +-t C^-1)/

(

(i )

(

.

.

)

ou bien

12^ r -X

Iz =

L

(

«ht-fe.

L-b.

- 2.10 ^-

et la transmission s’écrit :

^ X ci. (2.2.14)

Nous n'avons pas pu démontrer analytiquement la convergence des séries qui apparaissent dans les expressions (2.2.10) à (2.2.13). Elle a simplement été vérifiée numériquement.

Remarque

A partir de l'expression (2.2.7.) , on peut montrer que si

(zi-î) = l' (.( Z„-Z))

où 5 -

Cette identité exprime la symétrie du spectre par rapport au centre de gravité des deux raies d'absorption.

2.3. CALCUL NUMERIQUE DE LA TRANSMISSION

Considérons tout d'abord le problème de l'évaluation numérique des expressions (2.2.4) et (2.2.5).

Lorsque l'ordre m des fonctions de Bessel j (x) est suffisaiment grand, on a (C4j,p.227)

'V ( — \

OÙ e est la base des logaritlmes népériens.

Le terme d'ordre m de la série apparaissant dans l'expression (2.2.4), pour m grand est approximativement égal à ;

-M.

(____ li______ \

- 2.11 >

Le terme analogue de la série apparaissant dans l’expression (2,2,5) vaut appro­

ximativement

_ 'vn, 'Vtv

La transmission sera donc évaluée à l'aide de l'expression (2,2,4) si

et à l'aide de l'expression (2,2,5) si

- Z,/ f

Ces deux critères peuvent égalanent être adoptés l'évaluation de l'expression (2,2,14) de la ti*ansmission. L'expression (2,2.10) de 1^^ sera utilisée si

r < (Z,

et l'expression (2.211) si

TC > ( Zo -z^)^ + Qoi-'i-f De même pour l'évaluation àe l²*

Ces critères ne sont strictement valables qui si - ^2 | » et si

Izi - Z2 1» S2 car dans ce cas et I2 sont identiques à l'exi^ression obtenue pour une seule raie d'absorption. Si ces deux conditions ne sont pas respectées,

les critères donnés ci-dessus ne sont probablement plus valables,

Ixîs expressions de et I2 se présentent sous la forme d'une double série, il faut donc choisir l'ordre dans lequel la somme est calculée. Ces critères de choix n'ont pas été étudiés.

Pour tenir canpte du temps de résolution et pour calculer la transmission dans un intervalle de temps, il faut effectuer une ou deux intégrations sur la

- 2.12 -

variable r (c£. expressions (2.1,2), (2,1,5) et (2,1,4)). Cela doit se faire numêriquanent, Il faut calculer T(z^,-c) pour un grand nombre de valeurs de Z et utiliser un procède d'intégration numérique. Cette technique est conteuse en temps de calcul. Elle ne sera utilisable que si le nombre de calculs à effec­

tuer est faible. Elle ne convient certainement pas pour entreprendre une étude paramétrique ni pour être utilisée dans un programme d'analyse de spectres expérimentaux par la méthode des moindres carrés.

- 2.13 -

3, CALgJL AmYTIQUE ArPROQÆ

La complexité du calcul de la transformée de Fourier I(z^,t) provient princi­

palement de la présence du ternie exponentiel. Si celui-ci ôtait remplacé par une fonction rationnelle, par exemple, I(z^,r) se présenterait sous une forme plus facile à manipuler. Le problème est de trouver une bonne approximation rationnelle. Les approximations de Padé de l'exj^ionentielle ont été utilisées.

Nous n'avons pas recherché de meilleures approximations car les résultats obtenus sont très satisfaisants. Nous avons repris dans l’appendice A de ce chapitre, quelques informations sur les approximations do Padé de l'exponen­

tielle.

3,1, APPPxGXIMMTONS PE

Le principe de l'approximation consiste à remplacer l'exponentielle apparais­

sant dans l'expression de ICz^,x) par une fonction rationnelle, Considérons l'approximation ,j(z) , quotient d'un polTOÔne de degré N et d'un pol)'ncme de degré M, de l'exponentielle. Nous l'écrirons sous la forme suivante

AJ

où (resp, sont les inverses des zéros du numérateur (resp, déncminatcur) de la fonction rationnelle.

i s

Donc l'exponentielle e ^ s'écrit

Z - -t

(2.3,1)

- 2.14 -

En remplaçant (2,3,1) dans (2.1.7), on obtient

L ^{_____ t}

^______

X { ^ - ^ î.- ^)

J. w )

d (Z- ~ Z. 2^ — L $2 ^ ^yy, )

-Mv-^ ^ /m./

En utilisant la méthode des résidus et si tous les pôles sont dans le même dcsni-plan (Im z >0 ou Im z <(0), on obtient

^ w, «

- Z

où

=. 2.M + 1

E. - Zo

• c ^ Z + <. t < 5. Z. _

1 "

r, 4 -t 4 i. 5, Z . ^

i Z ^ _ rt -a ^ = M4Z ,

Z 4 4, 4 4. 5, Z-

4 1 J

W

^4 ^

W 4< 4^3,

2^ 4 ^

(J

^ = N4 1, M

= H + 1, + w

^ =.M4t04^,iM

et

M/

U. = TT

^ k = 4

O-M

b TT

( ^4 - t” )

et l’approxination t) de la transïïiission. 7(z^,t) s'écrit

\m =

■i (E, B*)-C

(2.3.2)

Cette expression ss présente sous la fome d'une somme de termes où le temps n'apparaît que dans l'argument de l'exponentielle, On peut donc très facilanent calculer la transmission dans un intervalle de temps. Il est égalaient pos­

sible de tenir compte du temps de résolution,

Fxrivons la transmission d'une manière plus générale, sous la forme

Mf Hp

Z Z V * f

W H _{b. =■ -1 't-'\}

ki

Suivant l'exin'ession utilisée pour , on obtient

a. la transmission au temps r pour

/

b. la transmission au temps r en tenant compte du tanps de résolution pour

i , - 1 e I te i

V, . t. +

te

(4 + {hz ^ '^ ))

ou ''kl '

h - 1 / (77^

= écart type de la distribution gaussienne rZ. -fc^

. er£(z) = fonction erreur ^ ~ " J ^ )

2,16

c. la transmission dans 1 ' intorvalle de temps , pour

/

kî

kt 7-X

'V'- TT

kt^.

^ ;

d, la transmission dans l’intervalle de tanps en tenant compte du temps de resolution ; pour

/ kt ‘ Ue

OU V",

dr. ^ te

Mf?

r '^kt^ „

I

^ ^

.'yte

k£

(2.3.7)

3,2, PRECISION DE L’APPROXIMATION

Un programme de calail de a été écrit (cf.Appendice B). Il permet d’évaluer la transmission pour une ou deux raies d'absorption. La précision de differentes approximations a été obtenue en conparant le résultat approché et le résultat exact.

Seules les approximations de Padé I^jgjyj(z) pour N=l,2,3,4,6 ont été utilisées.

Plusieurs cas ont été étudiés,

a. Spectres Mossbaucr "classiques”

On peut obtenir un spectre Môssbauer classique à partir de l’expression (2,3,3) et (2.3,6), avec t^= 0 et Ï2 “ •

Le spectre exact est calculé par intégration numérique.

On a tout d'abord considéré le cas d'une seule raie d’absorption.

L'erreur relative sur l’amplitude de la raie en fonction de l’épaisseur réduite T est représentée à la fig. 2.1. Le tableau I donne les limites de validité de chaque approximation.

- 2.10J -

Fig. 2,1, Erreur relative sur £(o) (spectre classique)

- 2.17 -

Tableau I

Approximation erreur relative

maximale limite de validité

ï^ll 2 10"^ T < 2

^22 5 10"'^ T 7

^33 10"^ T < 14

'^44 10"^ T < 14

Les résultats restent valables sur l'entièreté du spectre et également lors­

qu'on considère deux raies d'absorption.

b. Spectres Mossbauer en fonction du tmps

L'amplitude de la raie en fonction du temps peut s'obtenir directement à partir de l'expression (2.2,5) :

£ ( O , r _) . /i - î VÇT;

L'approximation R,, donne une précision relative inférieure à 5 lO”^ pour Sr < 1 c.à.d, pour T x wr— < 6.5 oü T , = î In 2 est la demi-vie,t

^ *1/2 ^

Les approximations et R^^ donnent une précision inférieure à 10 pour T X Y'^" ’ ^ ^0*

Des spectres Môssbauer ont été calculés en fonction du temps et dans un cer­

tain nombre d'intervalles de temps, mais d’une manière moins systématique.

Dans tous les cas l'approximation R^^ donne une précision inférieure à 10"^

lorsque T < 15 et T x < 30 , où t est le début de l'intervale de temps. L'approximation donne une erreur inférieure à 10 lorsque T c 5 et T X — < 10.

‘■Vl

- 2.18

4. Çg-IPARAISON EOTRF. L^WALUATION l-XACTE ET AT’PROaiHB DE LA TRANSMISSION

La méthode de calcul de la transmission basée sur l'approximation de Padé de l'exponentielle offre plusieurs avantages,

a. Rapidité de calcul

Dans les limites de validité des approximations, le temps de calcul d'un spectre est toujours plus faible. Celui-ci est cent fois plus petit pour le calcul d'un spectre relatif à deux raies d'absorption (cf. Tableau II).

Tenips de résolution

Cette métliode permet de tenir compte du temps de résolution sans augmenter trop le temps de calcul (cf. Tableau II).

c. Possibilité d'extension de la méthode

Le principe de la méthode reste valable quelle que soit la forme du spectre d'émission et de la section efficace d'absorption.

Tableau II

Comparaison des temps de calcul (unité arbitraire) ,

Calcul approché calcul exact

T(v,t) 1 raie 11 1-5

2 raies 5 > 20

±2

1 T(v,t) dt 1 raie 2 DO-500

(h

2 raies 10 ;> 1000

I dt . G(t,t')T(v,t')dt' 1 raie 10 > 1000

tj -'-oo

2 raies 50 > 10000

y Les chiffres donnés dans ce tableau sont puronent indicatifs. Ils n'ont pas été obtenus à la suite d'une étude très détaillée.

Par exemple, la transmission dans le cas de plusieurs raies d'absorption peut aisément se calculer. L'expression (2.3,3) de la transmission reste valable, il suffit de redéfinir M + 1 , oü Nj^ est le nombre de raies d'absorption et d'ajouter M nouveaux et N nouveaux par raie supplémentaire.

d. Utilisation pour l'analyse des spectres experimentaux

L'analyse par la métliode des moindres carrés d'un spectre mesuré, néces­

site l'évaluation rapide de l'équation du spectre ainsi que de ses dérivées par , Ej^, E^, etc). Pour

cette utilisation, l'expression (2,3,3) est mieux adaptée que l'expression (2,2,6), rapport aux paramétrés de 1'.ajustement T» ^

Remarque

Pour et l'expression (2,3.3) donne l’équation d'un spectre Môssbauer classique :

V e

L'évaluation de cette expression est beaucoup plus rapide que celle de l'équa­

tion exacte [sJ

_______ ^________

dfz

où Nj^ est le nombre de raies d'absorption, les autres paramètres sont définis au paragraphe 1 pour deux raies.

Très récemment, J.M. Daniels L6j a propose une approxiraation de T^(E^) qui est un cas particulier de (N=M=2), Il montre qu'il est facile d'obtenir les

~ 2.20 ^-

dérivées premières et secondes de la transmission par rapport à tous les para­

mètres des raies d'absorption et d'émissiori, Iæs mânes calculs peuvent être faits dans le cas général.

Il est alors possible d'utiliser l'expression (2,4.1) dans un programme d'ana­

lyse des spectres expérimentaisx par la méthode des moindres carrés.

- 2.21. -

Référencés

ri]

f2]

[3]

[=1 [^]

F, J, L>Tich, P.E. Holland, M, Hamermesh. Phys. Rev. 120 (1960) .S13 K, Albrecht, W. Neuwirtth. Z, Physik 203, 420-434 (1967)

J, P. Coussaert. "Mesure en coïncidence de la transmission Môssbauer dé­

pendant du temps" Mémoire de Licence 1969 ULB,

G, N. Watson. "A treatise on the theory of Bessel functions" Cambridge at the University Press 1966

S. Margulies, J,R, Ehiman. Nucl. Instr. aid Meth. 12(1961) 131 J.M. Daniels. Report TKK-F-A245 (1975)

2

.

.

APPENDICE A

Approximations rationnelles de l’exponentielle

Une approximation rationnelle ^(z) de e^ est le quotient d’un pol>Tiâne de degré m et d'un polyncme de degré n. Elle peut être construite en dioisissant n+m+1 points Zj, dans le plan de la variable complexe z. Les coefficients des polynômes sont calculés en imposant à la fonction ^(z) d'interjîoler e^' aux points Zj^, c'est-à-dire

R _{C =}

On obtient un systène de (n+m+1) équations linéaires et homogènes en les (n+m+2) coefficients. Ayant choisi un des coefficients arbitrairement, on peut calculer tous les autres.

Ix)rsque tous les Zj, sont nuis, on obtient les approximations de Pade, Dans la suite nous nous intéresserons uniquement aux aj^proximations de Padé diagonales, c'est-à-dire celles pour lesquelles n=m. On peut les écrire sous la foime

où est un polynôme de degré n dont les coefficients sont tabulés au tableau Al pour n=l) 2,...,8. Les zéros de G^(z) et leurs inverses sont donnés au tableau A2.

La précision de l'approximation a été estimée en calailant

^

( I (

-Tr<e<-nr‘

i0 où Z = I z| e

Les valeurs de £^(|z|) en fonction de n et |z| sont représentées aux figures 1 et 2 .

avec

<K- h.

■E.

■£. G- (Z.) ~ Y O. £.

R-O

n ^0» ^1» ^2* * ” *

0 1 1 1, 2

9 1, e, 12

3 1, 12, 60, 120

4 1, 20, 180, 840, 1680

5 1, 30, 420, 3360, 15120, 30240

6 1, 42, 840, 10080, 75600, 332640, 665280

7 1, 42, 1512, 25200, 277200, 1995840, 8648640, 17297280

8 1, 72, 2520, 55440, 831600, 8648640, 60540480, 259459200, 518918400

- 2.21

Tableau A2

Zéros du dencminateur de^ approximations de P^idé cie l'exponentielle

ZERO DE G fz)

n ■ ^ irmBRSE DES ZEROS DE G Cz)

*7^ O N tn'S.

in lïïl

Rll 2, 0. 0.5 0.

R22 3. -1.732050808 0.25 0.1443375673

3, +1.732050808 0.25 -0.1443375673

R33 3.677814645 -3.508761920 0.1423427884 0.1357999257 3.677814645 +3.508761920 0.1423427884 -0.1357999257

4.644370709 0. 0.2153144231 0.

R44 5.792421206 -0.1734468258 0.1584337597 0.04744101257 5.792421206 +0.1734468258 0.1584337597 -0.04744101257 4.207578794 -5.314836084 0.09156624027 0.1156626130 4.207578794 +5.314836084 0.090.56624027 -0.1156626130 R55 6.703912798 -3.485322832 +0.1174272544 0.06104970382

6.703912798 +3.485322832 ^0.1174272544 -0.06104970382 4.649348606 -7.142045841 0.06401833916 0.09834106917 4.649348606 +r. 142045841 0.06401833916 -0.09834106917

7.293477191 0. 0.1371088130 0.

R66 8.496718792 -1.735019346 0.1129814874 0.02307067836 8.496718792 +1.735019346 0.112984874 -0.02307067836 7.471416713 -5.252544623 0.08957320370 0.06297162473 7.471416713 +5.252544623 0.08957320370 -0.06297162473 5.031864496 -8.985345907 0.04744530895 +0.08472257410 5.031864496 +8.985345907

J______________________

0.04744530895 -0.08472257410

• £4 •./ I

0 1 2 3 4 5

Fig, 1, Précision de l'approximation de Padé R de l'exponentielle.

0 1 2 3 4 5 6 7 ‘"^8

Fig. 2 Erreur relative en fonction de l'ordre de l'approximation de Pad6,

- 2.27.

/^PPHIÆIICE B

Pi'oprarrane de calcul de la traasmisHion : SPTRIP,:.

Ce progranme permet de simuler une expérience de spectroscopie Mossbauer en coïn­

cidence dans laquelle le nombre de raies d'absoijjtion est limite â deux,

1, Sous programmes de calcul de la transmission (DECROIS-SPECTRIO Q

Ils calculent la transmission généralisée (cf, §3,1., éq. 2.3.3) - DECROIS calcule la transmission en fonction du temps. Il calcule une

seule fois les nombres Uj,(k=l,Mp qui ne dépendent que de la vitesse.

- SPECTRE calcule la transmission en fonction de z , c'est-à-dire de la O'

vitesse.

La fonction erreur erfCx+iy) est calculée en utilisant le développement en série suivant ( tlj p. 299)

^ (X -M:y; = enf(K) ^ [(n- coo -e -ô

^ ^ oO X ^

TT /Hi'l C- /

co5li

1 ■X,-^ + 4t.

CoD

^'3)

1 -16

'\o

1

+ c^;|

et la fonction erf(x) est calculée à partir de ( [1'} p,299)

~A ~ ( OL-^k + Cu^fc^ f ^ Ck.^t^) e

|£(x)| ^ 1,5 10"^

où t = pour O x < CD

- 2.28. -

et P = .3275911 ; = .254829.592 ; a3=l.421413741 ; =-1.45.53152027 ; a^

- .284496736 1.061405429

2. Prof^rammc principal - Mode d’emploi

Trois types de données sont nécessaires au programme.

a. les paramètres de 1 * approximation rationnelle

les inverses des zéros du numérateur et du déncminateur b. Les caractéristiques de l'absorbant et de la source

••

r -

- l'épaisseur réduite de chacune des raies de l'absorbant - l'écart en énergie entre les 2 raies de l'absorbant - le déplacement isonérique entre la source et l'absorbant c. les conditions de ï'expérience

Ijx programme pemet de simuler deux t>'pes d'expériences, soit la mesure de la transmission en fonction du tanps à une vitesse donnée (décrois­

sance) , soit la mesure de la tran.smission dans un intervalle de temps en fonction de la vitesse (spectre Mossbauer),

Dans le cas de la mesure d'une décroissance, il faut introduire dans le programme :

- le ncmbre de points de mesure (nombre de canaux) - la largeur d'un cîmal ( «ft)

- la valeur de la vitesse

Dans le cas de la mesure d'un spectre Mossbauer, il faut préciser : - le ncmbre de points de mesure (nombre de canaux)

- la largeur d'un canal (6v) - le temps de résolution

- le numéro du canal correspondant d la vitesse zéro - les limites de l'intervalle de temps

- 2.29.

A partir des données le progTiTnme calcule la transmission (avec la possibilité de tenir compte du temps de résolution ) djyis un des cas suivants :

- Transmission en fonction du temps et à une vitesse donnée

- Transmission en fonction du temps et à une vitesse donnée moyennée sur la largeur d'un canal ^t,

- Transmission en fonction de la vitesse et au temps t où dans l'intervalle [t,t+At]

- 2.30.

[1] M. Abranowitz et I.A. Stegun, "Handbook of Mathamatical Fimctions"

Dover 1965

CHAPITRE III

ETUDE PARAPETRIQUE

1 . INTRODUCTION

Dans un specti'e Mossbauer "classique", la largeur à mi-hauteur d’une raie est toujours supérieure à la somme de la largeur de raie de la source et de l'absor­

bant. De plus, cette largeur de raie augmente avec l'épaisseur de l'absorbant.

Cette propriété a une conséquence importante en ce qui concerne la résolution en énergie.' En effet, deux raies d'un spectre ne seront bien résolues que si

l 'écart en énergie est supérieur à la largeur d'une raie.

Ixis propriétés des spectres Mossbauer mesurés dans m inten^-alle de teirps n'ont pas encore fait l'objet d'une étude détaillée. Certaines propriétés sont cepen­

dant connues (1) (2). La principale est la diminution de la largeur de raie avec le temps. Cette propriété peut-elle être utilisée pour améliorer la réso­

lution en énergie? Comment se modifie la résolution lorsque l'épaisseur de l'absorbant augmente? Quelles sont les conditions de mesure optimales? etc...

Les résultats obtenus dans ce chapitre permettront de répondre à ces questions.

IjCS caractéristiques d'un spectre Mossbauer en coïncidence dépendent d'un trop grand nonhre de paramètres pour pouvoir envisager d'entreprendre une étude para­

métrique générale. Nous avons restreint le nombre de paramètres en nous plaçant dans les conditions suivantes :

- le spectre d'émission de la source ne coiirporte qu'une seule raie

- le spectre d'absorption coiiporte une raie ou deux raies de même anplitude - fes largeurs de raie de la source et de l'écran sont égales.

D'autre part, nous n'avons considéré que les spectres mesurés dans trois in­

tervalles de teirps différents :

- la transmission en fonction du temps : T(v, t)

- la transmission mesurée dans l'intervalle At T(v, t)dt

- la transm.ission nresurêe dans un intervalle de largeur infinie : ( T(v, t)dt.

-^t .

L'épaisseur de l'absorbant joue un rôle très important. Nous avons donc distin­

gué trois cas :

- épaisseur infiniment mince (T <c 1) - épaisseur faible (T^ 1)

- épaisseur quelconque.

L'influence du tenps de résolution et de l'épaisseur finie de la source sera discutée à la fin du chapitre.

- 3.3.

2. DEFINITIONS - NCfTATIONS

La transnîission Mossbauei' à l'instant t et à la vitesse v est donnée par l'expres­

sion (2.1.5.) du chapitre II. En fonction des variables réduites (2.1.6.), elle s'écrit :

A 2Vi

cLz.

- oC> i-Zo - <

•c Z c -<•’ 5

e e.

r 1 _±—1

^ Z- - z.^ - -c

(3.2.1.)

Le spectre mesuré dans l'intervalle de temps j^r, x s'obtient en calaulant

Z + û.t

T(r

"'t

(3.2.2.)

Le spectre d'absorption H(z^, x: , AT) est défini par

H( 2-„ , = T( , x^ Ac) - T ( Ar)

et l'absorption réduite par

T C oo^ ùiZ) T(cO ^ r., ATj

(3.2.4.)

- 3.4.

H(z^, A'c) mesure l'écart entre la transmission sans absorbant et celle avec un absorbant résonnant et £(z^, v , ^c) en nesure le pourcentage. Il n'est pas possible d'obtenir des expressions analytiques sinples pour T, Il et L . Pour faciliter la discussion, nous avons considéré deux approximations sinqjles de la transmission :

£ (z^, , Ar) ; approxiiration du premier ordre en S de

Ac) ; approximation obtenue en rençilaçar!.t l'exponentielle iS —r- +

-J—^ I

L Z-Z^-l Z-Z2-IJ

par l'approximation de Padé

3. CARACTERISTIQUES DES SPECTP^S A UNE RAIE D'ABSORPTION

La forme des spectres dépend de quatre paramètres :

- l'épaisseur réduite T (S = •^ )

2E la largeur naturelle C = C = _{n 3. S O p.}~ n

;

n

Tj^t r^At - des limites de l'intervalle de temps [t, t + At] ( ~~2\' ^

Mais elle ne dépend que de trois paramètres indépendants : S, t et At.

Elle peut être caractérisée par :

- l'anplitude réduite At) = i(o, i^,Ac)

- 3.5.

- la largeur à mi-hauteur de la raie r(ts A.t) définie par la relation

■i

Y , t, At) = Y ^ i) • On posera

3'(r^c) = 2. OÇtr, Ab) et (3.3.1.)

t-i 2. .Z

L'essentiel de l'étude paramétrique consistera à conparer les grandeurs Ac) et à celles relatives à un spectre Mossbauer "classique"

C^o(o, et 3^(o,oo) ) :

S

£^(o,co) = 1 - e I^(S)

)f-Co,«>) ^ 4 + 0.27 S S 4 1.5

où est la fonction de Bessel d'argument imaginaire d'ordre zéro.

3.1. Calculs préliminaires

La transmission a ét|gcalculée au chapitre II, éq. 2.2.4. en fonction des varia­

bles réduites z = —- . et Sr^ ; elle s'écrit

O ’ 2c 2 ’

^ ^ ^ (3.3,.2.)

- 3.6. -

L'anplitude réduite est unlqueiient fonction du produit S r :

iz, O) = 't _ 3^ (3.3.3.)

La largeur de raie peut s'écrire sous la forme (cf. chap. II, § 2.1.)

(3.3.4.)

où f(Sc) est obtenue en résolvant l'équation (3.3.1.).

Au premier ordre en S, on obtient

-Z.X

Z c ( 4 _ 2 5 C

e"" O) ^ Z5Z ^-?.L

ivo) = Z SC

j.ie'i

( fc^^) = 3

(3.3.5.)

r