CARACTERISTIQUES DES SPECTP^S A UNE RAIE D'ABSORPTION

La forme des spectres dépend de quatre paramètres :

- l'épaisseur réduite T (S = •^ )

2E la largeur naturelle C = C = _{n 3. S O p.}~ n

;

n

Tj^t r^At

- des limites de l'intervalle de temps [t, t + At] ( ~~2\' ^

Mais elle ne dépend que de trois paramètres indépendants : S, t et At. Elle peut être caractérisée par :

- 3.5.

- la largeur à mi-hauteur de la raie r(ts A.t) définie par la relation

■i

Y , t, At) = Y ^ i) • On posera

3'(r^c) = 2. OÇtr, Ab) et (3.3.1.)

t-i 2. .Z

L'essentiel de l'étude paramétrique consistera à conparer les grandeurs Ac) et à celles relatives à un spectre Mossbauer "classique" C^o(o, et 3^(o,oo) ) :

S

£^(o,co) = 1 - e I^(S)

)f-Co,«>) ^ 4 + 0.27 S S 4 1.5

où est la fonction de Bessel d'argument imaginaire d'ordre zéro.

3.1. Calculs préliminaires

La transmission a ét|gcalculée au chapitre II, éq. 2.2.4. en fonction des varia­ bles réduites z = —- . et Sr^ ; elle s'écrit

O ’ 2c 2 ’

3.6.

-L'anplitude réduite est unlqueiient fonction du produit S r :

iz, O) = 't _ 3^ (3.3.3.)

La largeur de raie peut s'écrire sous la forme (cf. chap. II, § 2.1.)

(3.3.4.)

où f(Sc) est obtenue en résolvant l'équation (3.3.1.).

Au premier ordre en S, on obtient

-Z.X Z c ( 4 _ 2 5 C e"" O) ^ Z5Z ^-?.L ivo) = Z SC j.ie'i

( fc^^) = 3

(3.3.5.)

r

- 3.7.

L’approximation de Padé donne

-ic ^sn_Z

T"'’ tr,o) = -te 1 'i +- - - ------- Se -*■ ^ -Se ^

zf +(j;

i f S .2

/i

11

%s

1

Z

(Sn) » “f « '* ( •< - « ^

-i * (f/

^ C-Z-Z^ z^r + .s coo t - s e ^ s_t

"z

(3.3,6.)

3.79^

tf ( 5 r) ou S(Sr) < 5 10-2 pour S r ^ 3.

L'expression exacte de la transmissiez, dans l'intervalle de temps {Je, r + û.t3 n'est pas directement accessible. Les grandeurs et seront daic déterminées à partir des spectres calculés par le programme SPTEMPS (c£. chap. II, appendice B).

Au premier ordre en S, le calcul peut être fait explicitement; on obtient

Ar; z: --iC -2&.Z ,

e ('i -e , M 1 _

A . t^-ZtiZ 5_ Zo -2ûC O e h. (^o

i C Ac; ^ _--±-f

-ILZ e r 1- Ar

- 3.8. où K. = 1 +• Zc, Ccy^ Z-gZ _(3.3.7.) et -Zt^Z ZÙ.X C-________ •1 - e

]

A l'aide de l'approximation de Padé R^p on obtient

-2ûr T ■■(*„,r, = £ ^.-1-S (-, -/■'‘V )

^ - e

^-zexz ~Zù,T. t '(z^z^üz) = h. jZp b) -Il K ( ^ + s; - ^At .1 _ e -<1. oû K (z^,r^s) = ze -ic/i

:__ I__ ^

+ (|f I- ^{+ 2)^} z„r + (2Z^ +2S+ |)c.p^ z^z:j_^ e, j^{i t ^ \} -Zù,z C^/ ûrj = ~ 't - « ^-2At OÙ ^{1 /} S) = 2 ^-Sc 3 + V S42. (3.3.8.)

Nous avons ainsi établi toutes les relations permettant d'entamer l'étude

2.1.1» Spectre Mossbauer mesure â l'instant t

En vertxi de 3.3.3., l'anplitude réduite dépend uniquement du produit SC . 11

On a représenté à la £ig. 3.1., Cq(c, o) , (c, o) et C^(c, o) en fonction de Sr . L'approximation du premier ordre est valable lorsque Sr <. 0.15 et l'approximation R^-| pour Sc <. 1.5. La valeur maximum de est atteinte pour St = 1.446.

Au premier ordre en S, la largeur de raie ne dépend pas de S et décroît comme . Cette propriété reste approximativement valable pour Sr < 2.5 ainsi que le mon­ tre la fig. 3.2, On peut alors calculer, avec une précision meilleure que 10 I, la largeur a mi-hauteur à ].'aide de la relation 3.7 équivalente à

P.t - 3.7^ .

_ 2 r

L'anplitude de la raie, H(r, o) = 2 e fonction de c et S. Pour chaque valeur de S, elle présente un maximum correspondant à une valeur

On a représenté à la figure 3.3., r et H en fonction de S. La valeur maximum de H est toujours atteinte pour r < .5 et la largeur de la raie ÎT est donc supérieure à7.4 > 3.7). Par conséquent, le choix d'une anplitude de raie importante est inco^atible avec une bonne résolution.

Si la largeur de la raie doit être faible, il faut procéder autrement. La valeur

de t est déterminée à l'aide de l'expression ^^3.7./2T et celle de S à partir

de Sf = 1.446. On est ainsi assurer d'avoir la largeur de raie K et une ampli­ tude réduite égale à l'unité. Par exemple, pour ? = 4 ( ~ = 2), on obtient

'"a

r = .925

S = 1.6

0.83 max

3.1 .2. Spectre Mossbauer mesure dans l'intervalle

L’amplitude réduite représentée à la figure 3.4. dépend de S et t et, dans le cadre de l'approximation R-jp elle s'écrit

( r, oo ) S e

l

' S+^ S-il

Pour chaque valeur de S, présente un maxhiium pour

t 1.

^ 5+i

et _^ 8 __

La précision de cette approximation est meilleure que 10 I pour 0.2 < S < 5.

L'amplitude de la raie (fig. 3.5.) est une fonction décroissante de r ; elle atteint donc sa valeur'maxiïïum pour T= 0. On obtient alors un spectre Moss­ bauer classique.

Au premier ordre en S, la largeur à mi-hauteur dépend uniquement de r . Elle est toujours inférieure à la limite "classique" : 4'= 4 (fig. 3.6.). Pour

- 3.11.

<») ^ - -2 . « t ( ”1 - 0.2S v) (3.3.9.)

Pour S 7^ 0, la largeur de la raie se calœle à partir de la £ig. l'expression (3.3.9.), et de la valeur de -^o(^,°o) à partir de la fig. 3.7. :

3.6. ou de déterminée

ïc-cj <o) ' y""

Dans un spectre Mossbauer "classique", la largeur de raie JT (o,oo) est égale à 4 pour S = 0 et elle est supérieure à 4 pour S ^ 0. Si r est différent de zéro, cette limite est atteinte pour S 7^ 0.

La diminution de la largeur de raie lorsque r augmente s'accorpagne d'une dûninu-tion de l'amplitude. Au premier ordre en S, la surface de l'absorpdûninu-tion réduite, ne dépend pas de r et lorsque S augmente elle diminue approximativement comme

St _

e (à S constant). Pour obtenir la surface sous la raie, il faut encore - 21

tenir conpte du facteur e

A chaque valeur de S correspond une valeur de u et une anplitude H (fig. 3.8.) telle que ï(t, o) = 4. L'amplitude présente un maximum pour S —1 et 0.4 (T = 2 et t/T,^^ 1).

5.11j

- 3.11o -_4>

—I---1---i--- !---\--- 1_____ I_____ I_____\_____ I_____ I < ■ 1____I

0.5 1. 1.5 2. ^

Fig. 3.5. jVîiplitude de la raie en fonction de T nour differentes valeurs de S.

?ai,

3.114

-Fig. 3,7, Différence relative entre les largeurs de raie correspondant à S/^0 et S=0.

- 3.12.

^xi.2 5.1.3. Spectre Mossbauer mosuvé dans 1 'intervalle Çr, ]

•£n2 La largeur de l’intervalle de teinps est égale à la demi-vie donc At=

Les figures 3.9. à 3.11. représentent 0 O

- l'amplitude réduite —2~ ) fonction de ’C et S (fig. 3.9.) £n2

- l'amplitude de la raie H^(t, - ) en fonction de t et S (fig. 3.10.)

^ la largeur de raie /°(t, ) en fonction de r (S = 0) (fig. 3.11.)

- la correction en fonction de r et S (fig. 3.12.)

Les remarques suivantes peuvent être faites :

a. Pour chaque valeur de S, l'amplitude de la raie présente un maximum. Ce maxi-nTjm est atteint pour r<—^ c'est-à-dire 7ÿ— <1 1. La largeur de raie

^ ^ ^ '\/2,

est donc toujours supérieure à 3.5

b. La largeur de raie est une fonction décroissante de c . On peut donc calailer

û 1

la valeur de t telle que 'i (t, -y- ) = 4 en fonction de S. L'amplitude pré­ sente un maximum pour S 2^1.5 et ^-0.74 (cf. fig. 3.13.).

~ 3.12^

- 3J.22 “

0.5

Fig, 3,12, Différence relative entre les largeur de raie correspondant à S?^0 et S “O ,

5.125

-Fig. 3.15.

Fig. 3.14, Pouvoir de résolution en fonction de r , pour ^t>

3.13.

4. CAimCTERISTIQUES DES SPECTRES A DEUX Pv^JES D'/JISORPTION

En vertu de (3.2.1.) et (3.2.2.). l'équation d'un spectre Mossbauer à deux raies d'absolution dépend de S, Az = —— et des liiiûtes de l'interv/-alle de tenps

C+ AtJ. La valeur du rapport t, ^r) défini par

/2> ( Az ^ t ^ Ac)

-é (O,

(3.4.1.)

déteriiûne la fomie du spectre :

si /5 < 1 , les deux raies ne sont pas résolues.

1 < 4 2 , les deux raies sont faiblement résolues,

les deux raies sont résolues.

La mesure directe de ûz est possible si /3>1 et elle est précise si Pour /2> <1, le spectre se présente sous la forme d'un spectre à une raie. En spectroscopie Mossbauer classique, fh est égal à 1 pour ûz = 2.8 ( ^ = 1.4) si S = 0 et Az( /S = 1) > 2.8 pour S > 0. Dans le cas particulier ^ de l'étain 119, les deux raies du spectre ne sont pas résolues si û^O.5 mra/s; elles sont faiblement résolues si .5 mm/s <A < 1.1 mm/s. Nous avons calculé

les valeurs de ûz pour lesquelles p>= 2. A la figure 3.14., ûz( /3= 2) est représenté en fonction de T pour S « 1 et ût= 0, et «>0 ( = 0, 1 et

^ 1,"/J/Z

oo ). Ces valeurs de ûz déterminent le pouvoir de résolution. Les figures 3.15. et 3.16. montrent que ûz( ^=2) est peu sensible à la valeur de S pour S < 1. A titre d'exenple, nous avons représenté, à la figure 3.17., la varia­

3.1.’,

Fig. 3.16 Pouvoir de résolution en fonction de c et S pour

AT 2

- 3.14.

La figure 3.18. montre que l'écart apparent entre les deux raies ( a z )

At Azf/3= 2') ^PP

varie rapidement avec tr. Pour 7^^ = 1 et <0, le rapport —---^ , où r est la largeur d'une raie du spectre (cf. § 3), reste approximativement cons­ tant et vaut 1 .5. Pour /'2'>2, on peut considérer que le spectre est la somme de deux spectres à une raie d'absorption et les amplitudes des raies peuvent être calculées à partir des résultats du § 3. La conclusion de cette étude est qu'il est toujours possible d'obtenir un spectre de raies bien résolues. L'amélioration de la résolution s'accoiipagne d'une diminution de l'amplitude des raies et le bruit statistique, présent dans tous les spectres expérimentaux, perturbe la mesure précise des positions des raies.

Au premier ordre en S, la transmission pour z^ = riodique de C :

Z2+Z-,

est une fonction

pé-T- e. ^{+ Z.} 4 -ZV = e (a - hs A Z. Ai -

)

Z'ti A

La période, P “ > ®st égale à la demi-vie pour ^ -2^18 et l'anplitude des oscillations est très faible. Par conséquent, la mesure de p à partir des oscillations tenporelles de la transmission est difficile.

5. INFLUENCE DU TEMPS DE RESOLUriQN

Le tenps de résolution caractérise la réponse d'une installation de coïncidence à deux évènements simultanés. Cette réponse est appelée la distribution des coïncidences pronptes. En général, elle est bien représentée par une distribu­ tion gaussienne et le résultat de la mesure de l'intervalle de tenps t entre deux évènements est égal à t' avec une probabilité :

- 3.15.

G-(t; t) =

]j-tTr <r ^

et -t'/

(3.5.1. )

La demi largeur à mi-hauteur de cette distribution est souvent prise comme définition du temps de résolution :

i ^ JL Z <r LL:- yi.'fS

<r-Le résultat de la mesure de la transmission T(v, t) à l'aide d'une installation dont le temps de résolution est égal à est donné par

T (

T (/tr t; dt (3.5.2.)

Il est possible d'obtenir une approximaticn de T(v, t', Cj^) en développant T(v, t) en série de puissances de t :

(o.5.o.)

h.! c)tJ

L'expression (3.5.2.) de la transmission se présente alors sous la forme d'une série :

•' 3.16. -t ' r T ( fr 'j + £. J<_kJ,,t!L ^....I±^il2 fe.-^ Vs4tl* C3.5.4. ) ou

ou b et'; =

^{i Z <r^)} Klz fn o3 _ t' -X £. cix Pour t' » (T , on obtient ou C t'} ^ O

!

fc

!

(3.5.5.) et <X> y ik-i^.:^ t^! ^ dl - t/rg

Si T(v, t') est une décroissance exponentielle e , T(v, t', l'est asyiipto^iqueinent, mais l'anplitude est multipliée par

2r;

2

Nous avons calculé, au premier ordre en <r , la transmission en fonction du temps pour un écran infiniment mince. Dans ce cas, T(v, t) est donné par l'expression

(3.3.5.) • Le tenps de résolution introduit une erreur relative sur l'amplitude réduite égale à

6 O — ^ O _{£s (3.s.6.)} t.

si t » cr .

Pour t/r >1, l'erreur est inférieure à 5 % si cr <, 0.23

On peut définir la largeur d'un intervalle de temps équivalent au tenps de réso­ lution par la relation

et - y t + ( fc, q)

• i Z. '

C3.5.7.)

Cela revient à censidérer que l'effet du temps de résoluticn est d'élargir l'intervalle de tenps de mesure de dt à At. A partir des expressions (3.3.5.) et (3.3.7.) de et de l'expression (3.5.6.), on trouve :

^ cJcL ^ )= -Z [

IV. iZs. ^

4- 1(I5

ff- f) (3.5.8.)

Pour relation entre At et <r est approximativement linéaire :

At 2; 3.r <r Ü 5tp^ (3.5.9.)

La largeur de raie est également affectée par le temps de résolution. En suppo­ sant que la correspondance (3.5.9.) entre At et <r reste valable pour estimer la largeur de raie, on constate que

- 3.18.

r r ( t _ ^ t

-i-X ' Z '

C3.5.10.)

pour ‘’T'c'g 0.3 et t/Cg > 1. Ce îésultat a été obtenu pour ^ = 0.3 à partir des graphiques (3.2.) et (3.11.). Par conséquent, la largeur le raie n'est que faiblement influencée par le temps de résolution.

Nous avons vérifié la validité dè la correspondance (3.5.9.) entre r et At en calculant des spectres à l'aide du programme SCTEMPS (chap. III, appendice B). Pour t >2<r, les relations (3.5.7.) et (3.5.10.) vérifiées avec une précision

inférieure à 2 I si l'épaisseur réduite est inférieure à 3. Si t > 2ff-, la largeur de l'inter\'-alle de temps équivalent est plus faible. Cette propriété ixiut être déduite des résultats précédents. En effet, pour t - ^ < 0, ].a

limite inférieure de l'intervalle de tenps doit être renplacée par zéro (l'ab­ sorption résonnante est nulle pour des tenps négatifs) et on déduit des rela­ tions (3.5.7.) et (3.5.10.) :

c t; û) ^ t +

- r ( O, t t

(3.5.11.)

avec Afc a J. r <r~

Pour G-/r <.0.3ett>4cr , la précision de ces approximations est inférieure

S ^

- 3.19.

Nous avons fait les mêmes calaals pour la trmis’iiission mesurée dans un intervalle de tenps et nous avons obtenu des résultats analogues. L'effet du tenps de réso­ lution est de modifier la largeur de l'intervalle de temps t.j 3 :

[ fco ; -1.

[

t - éÈ.

- ~T

(3.5.12.)

où 4t 3.5 (T ^ ^ *

Nous avons représenté, à la figure (3.19.), à titre d'exemple, l'erreur relative sur l'amplitude réduite et sur la largeur de raie pour t^-t^ = ^ i/t

= 0.35 = 0.5 en fonction de L'erreur relative sur la largeur de raie change de signe lorsque la diminution de la largeur de raie,due à l'ex­ tension de l'intervalle vers les terips élevés, compense exactement l'élargisse­ ment dû à l'extension vers les tenps faibles.

Ainsi que nous le verrons au chapitre V, nous avons obtenu une bonne résolution : O* 0.1 T • Dans ce cas la déformation des spectres reste inférieure à. 2 %.

Il n'est donc pas nécessaire de tenir conpte de l'influence du temps de résolu­ tion.

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