USTL — Math 202 B Parcours SPI
El´ements de calcul diff´erentiel 2008-2009
Examen
7 Janvier 2009 `a 14h,Dur´ee : 2h Documents, calculatrices et t´el´ephones interdits Exercice I. (5 points)
1. Donner la d´efinition de la diff´erentiabilit´e en (0,0) d’une fonction g:R2 →R. 2. On consid`ere la fonction f d´efinie surR2 par
f(x, y) = x3+xy−y3
|x|+ 2|y| pour (x, y)6= (0,0); etf(0,0) = 0.
(a) Montrer quef est continue surR2.
(b) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres de f en (0,0).
(c) Montrer quef n’est pas diff´erentiable en (0,0).
(d) La fonctionf est-elle de classeC1dans un voisinage de (0,0) ? Justifier votre r´eponse.
Exercice II. (5 points) Soit V = {(u, v) ∈ R2|v > 0} et φ : R2 → V d´efinie par φ(x, y) = (xey, ey).
1. Montrer queφ est unC1-diff´eomorphisme deR2 surV.
2. On cherche les solutions f de classeC1 surR2 de l’´equation aux d´eriv´ees partielles x∂f
∂x −∂f
∂y =−ey. (E)
On posef =g◦φ, c’est `a dire quef(x, y) =g(u, v) o`u (u, v) = (xey, ey).
(a) Trouver l’´equation aux d´eriv´ees partielles (E′) que v´erifie g, quandf est solution de l’´equation (E).
(b) R´esoudre l’´equation (E′), et en d´eduire les solutions f de l’´equation (E) . Exercice III. (3 points) Calculer
ZZ
D
x2ydxdy o`uD={(x, y)∈R2|y≥0, x2+y2−2x≤0}. Exercice IV. (7 points) Soit D ={(x, y)∈ R2 |x2+ (y−1)2 ≤3, y ≥x2}. Le bord orient´e Γ+de Dest compos´e de deux parties que l’on note par Γ+1 la partie sur la courbey=x2 et Γ+2 la partie sur la courbe x2+ (y−1)2 = 3.
1. (a) Calculer les coordonn´ees cart´esiennes des points d’intersection des deux courbesy=x2 etx2+ (y−1)2 = 3. Faire un dessin repr´esentant D, Γ+1 et Γ+2 (pour le dessin on pourra utiliser les valeurs approch´ees : √
2≈1,4 et √
3≈1,7).
(b) Calculer ZZ
D
(y−1)dxdy.
2. Soit ω=ydx+xydy une forme diff´erentielle surR2.
(a) Est-ce queω est ferm´ee surR2 ? Justifier votre r´eponse.
(b) Calculer Z
Γ+1
ω.
3. (a) Justifier une relation entre les trois int´egrales ZZ
D
(y−1)dxdy, Z
Γ+1
ω et Z
Γ+2
ω.
(b) En d´eduire Z
Γ+2
ω.
