Solution proposée par Gaston Parrour

A4919-Une algébrique, deux diophantiennes

Q1 Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8^x – 18^x = 18^x – 27^x.

Q2 Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x² + 26455 = 2^y.

Q3 L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel. Déterminer le quatrième terme de la suite.

Solution proposée par Gaston Parrour

Q1 Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8^x – 18^x = 18^x – 27^x. 8^x – 18^x = 2^x (4^x – 9^x) = 2^x [ (2^x)² – (3^x)² ] = 2^x (2^x – 3^x)(2^x+3^x) 18^x – 27^x = 9^x (2^x – 3^x) = (3^x)² (2^x – 3^x)

si (2^x – 3^x) = 0 l'égalité est satisfaite et cela a lieu pour x = 0

si (2^x – 3^x) ≠ 0 l'égalité est équivalente à 2^x (2^x+3^x) = (3^x)² → (3^x) / 2^x = (2^x+3^x) / (3^x) soit en posant a = 3/2 a^x = 1 + (1/a)^x ce qui peut s'écrire

e ^xlna = 1 + e ^-xlna → 2 sh(xlna) = 1 ==> x = arg (sh(1/2) ) / ln(3/2) x = 1,186 ...

Q2 Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x² + 26455 = 2^y.

La présence de l'exposant 2 de x suggère de poser y = 2r , où r est un entier positif.

On a 26455 = 5 . 11 . 13 . 37 Avec cela l'égalité s'écrit

(2^r)² – x² = 5 . 11 . 13 . 37 = P (1) → A partir de (2^r + x) (2^r – x) = P , plusieurs partitions sont possibles

Pour n'en donner que quelques unes (un seul facteur premier est ''mobile'') (

a) (2^r + x) = 11 . 13 . 37 | b) (2^r + x) = 5 . 13 . 37 | c ) (2^r + x) = 5 . 11 . 37 | d) (2^r + x) = 5 . 11 . 13 (2^r – x) = 5 | (2^r – x) = 11 | (2^r – x) = 13 | (2^r – x) = 37

Chacun d'entre ces 4 systèmes de 2 équations, conduit en particulier à

2^r+1 = P/ai + ai où ai est l'un des 4 facteurs premiers de P

On vérifie directement que seul le cas (c) soit ai = 13 conduit à une puissance de 2 pour (P/ai + ai) ai = 13 → 2^r+1 = (P + 169) / 13 = 2048

d'où r + 1 = 11 r = 10 soit y0 = 20

et 2 x = (P – 169) / 13 = 2022 d'où x0 = 1011

==> Le couple (x0,y0) = (1011 , 20) est solution de l'égalité donnée Remarques :

1) toute autre partition de P à partir de l'égalité (1) ne fournit pas d'autre solution

2) il reste à vérifier si, d'une façon plus générale, d'autres solutions existent ; jusqu'ici il est supposé y = 2r Supposons un autre couple (x1,y1) solution de l'équation donnée

Alors on a 2^y1 – x1² = 2^y0 – x0² , soit en posant y1 = y0 + dy0 et x1 = x0 + dx0 : → dx0 et dy0 sont des entiers de même signe qui vérifient

2^y0(2^dy0 – 1) = dx0(2x0 + dx0) (2)

Pour discuter cette égalité (2) , on peut noter que dx0 impair est impossible , donc dx0 est de la forme → dx0 = 2^a(dx0)' où a est entier et (dx0)' est impair

Avec cette expression pour dx0, la discussion consiste à examiner les cas a < y0 , a = y0 et a > y0 → En tenant compte de (dx0)' impair et de la valeur x0 = 1011 , on vérifie directement :

==> il n'existe pas solution à (2) ci-dessus , donc

Le doublet (x0 , y0) = (1011, 20) déterminé ci-dessus est la solution unique

Q3 L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel.

Déterminer le quatrième terme de la suite.

Cette suite géométrique à termes positifs est croissante

La raison est un rationnel, ici donc r = p/q > 1 → q < p

Le premier terme est (10 + x) → le septième est 4000 + x = (10+x) r6 (1) L'égalité (1) avec r = p/q s'écrit, après avoir ordonné en x :

x [ (p³)² – (q³)² ] = 10 [ (20q³)² – (p³)² ] (2) Puisque x > 0 → p³ < 20q³ soit p < 2,7 … q

Ainsi 1 < q < p < 2,7 … q (3)

Résolution de l'équation (2) → détermination de x

On a { x [ (p³)² – (q³)² ] } / 10 = [ (20q³)² – (p³)² ] Le membre de gauche est donc un entier. On peut le considérer de 4 façons

(x/10) [ (p³)² – (q³)² ] ou (x/5) {[ (p³)² – (q³)² ] /2} (a) ou (b) (x/2) {[ (p³)² – (q³)² ] /5} ou x {[ (p³)² – (q³)² ] /10} (c) ou (d)

Remarque L'égalité (3) est homogène : si p devient p1 = m p et q devient q1 = m q, la valeur de x est inchangée.

Avec cela il est clair que les formes (a) et (b) sont équivalentes les formes (c) et (d) sont équivalentes

→ forme (a) : puisque le membre de gauche est un entier , cela implique que x est un multiple entier de 10 x = K 10 avec K >1 entier

En posant X = p³ Y = q³ , l'égalité (2) avec cette forme (a) s'écrit K(X² – Y²) = [(20Y)² – X²] soit X² (K+1) = Y² (400+ K)

Cela exige (400+K) / (K+1) = A² un carré entier → K = (400-A²) / (A²-1) La seule solution entière est K = 132 avec A² = 4 ; mais p/q n'est alors pas rationnel ! ==> Pas de solution pour, la forme (a) (et pour la forme (b) qui lui est semblable) → forme (c)

On doit résoudre

(x/2) {[ (p³)² – (q³)² ] /5} = [ (20q³)² – (p³)² ] (4)

l'expression de droite étant un entier → x est pair et [ (p³)² – (q³)² ] = 0 modulo 5 A partir des inégalités (3), on peut faire un balayage sur q > 1

Avec q= 2 et donc q³ = 8 (q³)² = 64

les inégalités (3) → p = 3 ou p = 4 ou p = 5 avec p = 3

p³ = 27 (p³)² = 729 → (p³)² – (q³)² = 133x5 l'égalité (4) à vérifier est alors

(x/2) 133 = (20x8)² – (27)² d'où (x /2) = 187

==> l'entier x = 374 est solution de légalité (4) avec p = 3 et q = 2 (q = 2 p = 4 est équivalent à q = 1 p = 2 , et q= 2 p = 5 ne donne pas une solution x entière) N.B. Comme noté dans la remarque ci-dessus : à partir de ce triplet solution (x , p, q) = (374 , 3 , 2)

tout triplet de la forme (374 , p1=3m , q1= 2m) , - m entier positif - , est aussi solution de (4) Cela ne change pas la raison r = ''p/q'' = 3/2

En conclusion → Le quatrième terme de la suite Avec x = 374, on obtient :

premier terme 10 + x = 10 + 374 = 384

==> terme de rang 4 → 384 (3/2)³ = 1296 N.B. Le terme de rang 7 est 384 (3/2)⁶ = 4374 = 4000 + x

Avec x = 374 et r = 3/2 on vérifie que tous les 7 termes de cette progression géométrique sont des entiers