A448. La bande des huit
Trouver tous les entiers naturels strictement positifs, pas nécessairement distincts, a, b, c et d d’une part et w, x, y et z d’autre part tels que la somme des quatre premiers est égal au produit des quatre derniers et la somme des quatre derniers est égale au produit des quatre premiers.
Solution de Claude Felloneau
Réponse : Les solutions sont :
- {a, b, c, d} = {1, 1, 1, 11} et {w, x, y, z}= {1, 1, 2, 7}
- {a, b, c, d} = {1, 1, 2, 7} et {w, x, y, z}= {1, 1, 1, 11}
- {a, b, c, d} = {1, 1, 1, 9} et {w, x, y, z}= {1, 1, 3, 4}
- {a, b, c, d} = {1, 1, 3, 4} et {w, x, y, z}= {1, 1, 1, 9}
- {a, b, c, d} = {w, x, y, z}= {1, 1, 2, 4}
Les conditions s’écrivent : (1) a+ + + =b c d wxyz et (2) w+ + + =x y z abcd. On peut supposer que a≤ ≤ ≤b c d et w≤ ≤ ≤x y z.
En posant X =(w−1)(x−1), Y =(wx−1)(y−1)et Z=(wxy−1)(z−1), on a : 0≤X ≤ ≤Y Zet X + + =Y Z xyzw− − − − +x y z w 3
- Si wxyz≤ + + +x y z w alors X + + ≤Y Z 3. o On a alors w= =x 1.
En effet, si x≥2 alors wx≥2 etz≥ ≥ ≥y x 2 d’où 3≥ ≥Z 3(z− ≥1) 3. D’où 2
z= puis x= =y 2 et wxy− = =1 Z 3 donc w=1. Et on a alors
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wxyz= > = + + +x y z w. o On a alors y=1 ou ( , )y z =
( )
2, 4 .En effet, si y≥2 alors X + + =Y Z (y−1)(z− ≤1) 3, donc ( , )y z =
( )
2, 2 ou( )
( , )y z = 2,3 ou ( , )y z =
( )
2, 4 .• ( , )y z =
( )
2, 2 est impossible car on aurait abcd =6 donc un seul exactement des entiers a, b, c, d serait pair et la somme a+ + +b c d serait impaire et donc différente de wxyz qui est pair.• ( , )y z =
( )
2,3 est impossible car on aurait abcd=7 donc a= = =b c 1 et d=7 et wxyz= ≠ + + +6 a b c d.o Si y=1, on a donc (1) a+ + + =b c d z et (2) 3+ =z abcd, d’où (a−1)(b− +1) (ab−1)(c− +1) (abc−1)(d− =1) 6
On a alors a = b = 1. En effet, si b≥2alors ab≥2, c≥2 et abc≥4 donc (c− +1) 3(d− ≤1) 6.
On en déduit 4(c− ≤1) 6, d’où c≤2 puis finalement c = 2. Ce qui donne 3(d− ≤1) 5 d’où d≤2 puis d = 2.
On en déduit (a− +1) (2a− +1) (4a− =1) 6 soit 7a = 9 , ce qui est impossible.
On a alors (c−1)(d− =1) 6, ce qui donne les triplets (2, 7, 11) et (3, 4, 9) pour (c, d, w).
Ainsi : (w, x, y, z, a, b, c, d) = (1, 1, 1, 11, 1, 1, 2,7) ou (1, 1, 1, 9, 1, 1, 3, 4).
On vérifie que ces 8-uplets conviennent.
Remarque pour chacun de ces triplets wxyz< + + +x y z w
o Pour (w, x, y, z) = (1, 1, 2, 4), on a wxyz= + + +x y z w donc a b c+ + + ≥d abcd et on peut appliquer tout ce qui est ci-dessus en remplaçant (w, x, y, z) par (a, b, c, d).
Compte tenu de la remarque précédente, on obtient (a, b, c, d) = (1, 1, 2, 4) et on vérifie facilement que (w, x, y, z, a, b, c, d) = (1, 1, 2, 4, 1, 1, 2,4) convient.
- Si wxyz≥ + + +x y z w alors abcd≤ + + +a b c d. Le raisonnement précédent donne alors (1, 1, 1, 11, 1, 1, 2,7) ou (1, 1, 1, 9, 1, 1, 3, 4) ou (1, 1, 2, 4, 1, 1, 2,4)
pour (a, b, c, d, w, x, y, z).
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