A448. La bande des huit
Trouver tous les entiers naturels strictement positifs, pas nécessairement distincts, a,b,c et d d’une part et w,x,y et z d’autre part tels que la somme des quatre premiers est égale au produit des quatre derniers et la somme des quatre derniers est égale au produit des quatre premiers.
Solution proposée par Patrick Gordon
Si l'on note S et P la somme et le produit de a,b,c,d et S' et P' la somme et le produit de
w,x,y,z, on veut que S = P' et S' = P. Ainsi, si S < P, on doit avoir P' < S'. Exceptionnellement, on peut avoir S = P = S' = P' (les deux quatuors sont alors identiques).
Or, que la somme de 4 nombres soit inférieure à leur produit est banal; que leur produit soit inférieur à leur somme est plus rare. Il nous faut donc commencer par chercher dans quels cas cela est possible.
Nous proposons à cette fin un lemme. Il concerne le cas de deux entiers naturels strictement positifs mais nous allons voir ses implications au cas de quatre.
Lemme
Le produit AB de deux entiers naturels strictement positifs A et B est :
(1) inférieur de 1 à leur somme (A+B) si A ou B = 1 (2) égal à leur somme si A = B = 2
(3) supérieur à leur somme dans tous les autres cas.
Cela résulte simplement de la mise en facteurs : AB – (A+B) = (A – 1) (B – 1) – 1
Application au cas de quatre entiers naturels strictement positifs a, b, c, d Posons A = ab et B = cd.
Le produit abcd = AB est :
= ab + cd – 1, si ab ou cd = 1, c’est-à-dire s'il y a deux "1" parmi abcd (on les nommera alors a et b)
= ab + cd, si ab = cd = 2, c’est-à-dire s'il y a deux "1" et deux "2" parmi abcd (on les nommera en conséquence)
> ab + cd, si ab et cd ≥ 2 et ab ou cd > 2, c’est-à-dire s'il y a zéro ou un "1" parmi abcd Détaillons ce dernier cas (où il y a zéro ou un "1" parmi abcd).
S'il n'y a pas de "1"
On vient de voir que abcd > ab + cd, mais à leur tour, ab et cd satisfont, d'après le lemme :
ab > a+b cd > c+d On a donc :
abcd > a+b+c+d (soit P > S).
S'il y a un seul "1"
Soit a = 1 et b,c,d ≥ 2. On a : bcd = b cd
Mais, d'après le lemme :
b cd – (b + cd) = (b – 1) (cd – 1) – 1 Or b ≥ 2 et cd ≥ 4, donc :
b cd – (b + cd) ≥ 2
Mais, par ailleurs (toujours d'après le lemme) : cd ≥ c+d
Donc bcd ≥ b+c+d +2
Et, en réintroduisant a qui vaut 1 : abcd ≥ a+ b+c+d +1 Donc, là encore :
abcd > a+b+c+d (soit P > S).
Ainsi, s'il y a zéro ou un "1" parmi abcd, l'inégalité stricte P > S est vérifiée.
En d'autres termes, pour qu'un quatuor abcd satisfasse P ≤ S, il faut qu'il comporte au moins deux "1".
S'il n'en comporte que deux, soit 1, 1, a, b ses termes.
On a : S = a+b+2 et P = ab.
Donc P – S = ab – (a+b+2) = (a – 1) (b – 1) – 3.
Et l'on n'a donc P ≤ S que si (a – 1) (b – 1) ≤ 3, ce qui ne laisse comme possibilité (puisque a et b ≥2 par hypothèse) que (à l'ordre a b près) : a = 2, b = 2, 3 ou 4.
En théorie donc, trois possibilités :
1122 S = 6, P = 4 1123 S = 7, P = 6 1124 S = 8, P = 8
Les deux premières sont sans "contreparties" wxyz. En effet, la première exigerait S' = 4, soit 1111 et le P' correspondant n'est pas égal à 6. Pour la seconde, S' = 6, d'où les quatuors 1113 et 1122, dont les P' ne sont pas égaux à 7.
Reste le cas 1124, qui fournit l'unique solution avec S =P = S' = P' (deux quatuors
"jumeaux").
Il nous faut donc examiner maintenant le cas où :
le quatuor abcd comporte trois "1"
Il s'écrit alors 111a, avec S = a + 3 et P = a.
La "contrepartie" wxyz doit donc satisfaire : S' = a; P' = a + 3.
On trouve aisément que les deux seules solutions sont :
abcd = 1, 1, 1, 9 et wxyz = 1, 1, 3, 4 abcd = 1, 1, 1, 11 et wxyz = 1, 1, 2, 7.
Le problème a donc en tout trois solutions.
