A448. La bande des huit
Solution proposée par Philippe Bertran Par hypothèse,
a + b + c + d = wxyz et abcd = w + x + y + z On peut en outre faire les hypothèses suivantes : a ≥ b ≥ c ≥ d (1)
w ≥ x ≥ y ≥ z (2) a ≥ w (3)
(2) et (3) entraînent 4a ≥ w + x + y + z donc 4a ≥ abcd
Il en résulte 4 ≥ bcd . Or b ≥ c ≥ d , donc 4 ≥ d3 et par conséquent 41/3 ≥ d , d’où d = 1.
L’inégalité 4 ≥ bcd devient 4 ≥ bc .
Les seuls valeurs possibles pour le couple (b, c), sachant que b ≥ c ≥ 1 , sont : (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1) et (2, 2).
Les possibilités, pour le quadruplet (a, b, c, d), son produit et sa somme sont donc données par le tableau T1 ci-dessous :
(a, b, c, d) abcd a + b + c + d (a, 1, 1, 1) a a + 3 (a, 2, 1, 1) 2a a + 4 (a, 3, 1, 1) 3a a + 5 (a, 4, 1, 1) 4a a + 6 (a, 2, 2, 1) 4a a + 5
On va chercher de même les différentes formes possibles de (w, x, y, z).
Remarquons d’abord que w ≥ 2 car si w était égal à 1, l’inégalité (2) entraînerait que x, y et z sont aussi égaux à 1, doù wxyz = 1 , ce qui n’est compatible avec aucune des valeurs de a + b + c + d ci-dessus.
Puisque d = 1 , on a :
abc = w + x + y + z et a + b + c + 1 = wxyz
En tirant a de la première équation et en reportant dans la seconde, il vient : wxyz = (w + x + y + z)/bc + b + c + 1
Or w + x + y + z ≤ 4w , donc : wxyz ≤ 4w/bc + b + c + 1 (4)
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Appliquée successivement aux 5 valeurs possibles du couple (b,c) déterminées ci-dessus, cette inégalité s’écrit respectivement :
wxyz ≤ 4w + 3 d’où xyz ≤ 4 + 3/w wxyz ≤ 2w + 4 d’où xyz ≤ 2 + 4/w wxyz ≤ (4/3)w + 5 d’où xyz ≤ 4/3 + 5/w wxyz ≤ w + 6 d’où xyz ≤ 1 + 6/w wxyz ≤ w + 5 d’où xyz ≤ 1 + 5/w
En tenant compte du fait que w ≥ 2 donc que 1/w ≤ 1/2 et que xyz est entier, ces 5 inégalités impliquent respectivement :
xyz ≤ 5 xyz ≤ 4 xyz ≤ 3 xyz ≤ 4 xyz ≤ 3
On a donc toujours xyz ≤ 5 .
Puisque x ≥ y ≥ z , on a xyz ≥ z3 d’où z3 ≤ 5 et donc z = 1 . L’inégalité xyz ≤ 5 devient xy ≤ 5.
Les couples (x, y) possibles sont donc (5, 1), (4, 1), (3, 1), (2, 2), (2, 1) et (1, 1).
Les possibilités, pour le quadruplet (w, x, y, z), son produit et sa somme sont donc données par le tableau T2 ci-dessous :
(w, x, y, z) w + x + y + z wxyz
(w, 5, 1, 1) w + 7 5w
(w, 4, 1, 1) w + 6 4w
(w, 3, 1, 1) w + 5 3w
(w, 2, 2, 1) w + 5 4w
(w, 2, 1, 1) w + 4 2w
(w, 1, 1, 1) w + 3 w
Les tableaux T1 et T2 donnent les valeurs possibles de abcd et a + b + c + d d’une part, et de w + x + y + z et wxyz d’autre part.
Etant donné que abcd = w + x + y + z et que a + b + c + d = wxyz
il suffit trouver les lignes des deux tableaux compatibles entre elles, c'est-à-dire celles pour lesquelles le système de deux équations aux deux inconnues a et w qu’elles forment donne des valeurs de a et w entières et telles que a ≥ w .
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On constate que la résolution de ces systèmes est possible dans trois cas qui correspondent aux quadruplets :
(9, 1, 1, 1) et (4, 3, 1, 1) (11, 1, 1, 1) et (7, 2, 1, 1) (4, 2, 1, 1) et (4, 2, 1, 1)
