Ci-contre quatre cercles B, N, R,V, de même rayon, passent par un même point O ; on trace les cercles : b passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles N, R, V ;
n passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles R, V, B ; r passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles V, B, N ; v passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles B, N, R .
Q1 Que peut-on dire de la figure obtenue ?
Q2 Démontrer que les quatre droites joignant les centres des cercles: (B,b), (N,n), (R,r) (V,v) et les quatre axes radicaux de ces mêmes cercles pris deux à deux sont concourantes en un point.
Les centres des cercles B, N, R, V sont situés sur le cercle de centre O de même rayon.
Considérons trois points A, B, C sur un cercle de centre O ; les cercles de centres A, B, C passants par O se recoupent en trois points A’, B’, C’ définis par les égalités vectorielles OA’=OB+OC, OB’=OC+OA, OC’=OA+OB ; le triangle A’B’C’ est le double du triangle médian de ABC ; il est donc égal au triangle ABC : plus précisément les égalités vectorielles sont : B’C’=OC’-OB’=OA+OB-(OC+OA)=OB-OC=CB, etc...
Le cercle circonscrit à A’B’C’ a donc même rayon que les cercles précédents, et son centre I est tel que A’I=OA.
Soit un point D sur le cercle circonscrit à ABC, et E le milieu de ID. Nous avons alors 2OE=OD+OI et comme OI=OA’+A’I=OB+OC+OA, 2OE=OA+OB+OC+OD.
Le point E ne change pas si l’on permute les points A, B, C, D : ce sera donc le point de concours des droites telles DI qui joignent le centre d’un cercle à celui du cercle
circonscrit aux intersections des trois autres ; comme c’est de plus le milieu de DI, il appartient à l’axe radical des cercles égaux de centres D et I, et aux axes similaires.
