A448 : La bande des huit
Trouver tous les entiers naturels strictement positifs, pas nécessairement distincts, a,b,c et d d’une part et w,x,y et z d’autre part tels que la somme des quatre premiers est égal au produit des quatre derniers et la somme des quatre derniers est égale au produit des quatre premiers.
Donc a+b+c+d=wxyz, et abcd=w+x+y+z. On peut toujours supposer, quitte à intervertir les variables, que abcd≤a+b+c+d, et que a≤b≤c≤d; notons s=a+b+c+d et p=abcd.
Si a=b=c=1, s=d+3, p=d, donc s=p+3.
Si a=b=1, c=2, s=d+4, p=2d, donc pour d=2, s=6, p=4, pour d=3, s=7, p=6, et pour d=4, s=p=8.
Pour toutes autres valeurs de a, b, c, d, s<p.
(1,1,2,4) est donc le seul quatuor dont la somme est égale au produit.
Le seul quatuor de somme 4 est (1,1,1,1) et il n’a pas pour produit 6. De même, aucun quatuor de somme 6 n’a pour produit 7.
Pour les quatuors tels que p=s+3, abcd=a+b+c+d+3≤4d+3: si a≥2 abcd≥8d>4d+3;
donc a=1, et bcd=b+c+d+4 ; si b≥3, bcd≥9d b+c+d≤3d+4, or 6d>4 impossible; si b=2, 2≤c≤d, 2cd=c+d+6, or 2cd≥4d, et c+d+6≤2d+6: la seule possibilité serait d=3; mais (1,2,2,3) et (1,2,3,3) ne conviennent pas.
Donc b=1, et cd=c+d+5 : d=(c+5)/(c-1) il n’y a pas de solution pour c≥4 car d≥c et (c+5)/(c-1)<c pour c>1+√6 ; c=1 est impossible ; restent donc pour c=2, d=7, et pour c=3, d=4.
En résumé, les solutions sont (1,1,2,4) double ; (1,1,1,11) (1,1,2,7); (1,1,1,9) (1,1,3,4)