A448. La bande des huit
Trouver tous les entiers naturels strictement positifs, pas nécessairement distincts, a,b,c et d d’une part et w,x,y et z d’autre part tels que la somme des quatre premiers est égal au produit des quatre derniers et la somme des quatre derniers est égale au produit des quatre premiers.
On commence par casser la belle symétrie, et on pose : = + , = , = + + , = + + =
+ = ⇒ = −
− − − + = 0 La deuxième équation est une équation diophantienne, que l'on peut transformer ainsi :
En multipliant par − − = +
En ajoutant 1 − − + 1 = 1 + + En factorisant − 1 − 1 = 1 + +
Le second membre n'étant pas nul, ses diviseurs divisent − 1 et/ou − 1.
Soit un diviseur de 1 + + . On a :
− 1 = ⇒ − 1 = 1 + + = + 1
et =
1 + +
+ 1
et, bien sur, on a toujours ∶ = − Dans la mesure où et sont des entiers strictement positifs.
On pourrait maintenant discourir sur les diviseurs de 1 + + , mais je suis comme sœur Anne, je ne vois rien venir. Alors, heureux de n'avoir plus que 5 inconnues sur les 8 du départ, on soumet à la calculatrice, qui, péniblement, ne trouve, dans les délais impartis, que trois solutions :
b c d w x y z + + + + + +
1 1 1 9 1 1 3 4 12 12 9 9
1 1 2 4 1 1 2 4 8 8 8 8
1 1 2 7 1 1 1 11 11 11 14 14
