D1898-Les huit cercles
Problème proposé par Pierre JULLIEN
Ci-dessous quatre cercles B, N, R,V, de même rayon, passent par un même point O. On trace les cercles :
b passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles N, R, V ; n passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles R, V, B ; r passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles V, B, N ; v passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles B, N, R .
Que peut-on dire de la figure obtenue ?
Solution
En une phrase : La figure obtenue admet un centre de symétrie.
De manière plus explicite, il apparaît que les nouveaux cercles ont tous le même rayon que les cercles de départ.
Ces nouveaux cercles ont un point commun.
En faisant abstraction du caractère majuscule ou minuscule des étiquettes, par chacun des huit points d'intersection il passe quatre cercles B, N, R et V.
En quelque sorte, ces huit points jouent le même rôle, en deux lots de quatre.
Tout s'explique en vérifiant que les points d'intersections et huit centres des cercles sont les sommets d'un 4-cube construit à partir de O pris pour origine (noté 0)
et les sommets des cercles B,N,R,V (notés 1,2,4,8).
Le centre de symétrie de la figure est le milieu du segment [0,15]. Deux points sont symétriques l'un de l'autre si leur somme vaut 15.
Un point est centre de cercle ou d'intersection selon que le nombre de 1 dans son écriture binaire est pair ou impair.
