D 1898 Les huit cercles et les huit droites Solution proposée par Pierre Renfer
Il semble, d’après la figure, que les cercles b, n, r, v soient concourants en un point U et que leurs rayons soient égaux à celui des cercles B, N, R, V.
La démonstration de ces propriétés sera l’objet de la question 1.
QUESTION 1
On choisit le rayon des quatre cercles B, N, R, V comme unité de longueur.
On utilise un repère orthonormé d’origine O.
Soient e , e , e , ei i i i les affixes complexes des centres des cercles B, N, R, V.
On va chercher les coordonnées du point d’intersection, autre que O, des cercles B et N.
Les deux cercles ont pour équations :
2 2
2 2
x y 2x cos 2y sin 0 x y 2x cos 2y sin 0
Par somme et différence des lignes, on obtient le système équivalent:
2 2
x sin y cos 0
2 2
x y 2 cos x cos y sin 0
2 2 2
En résolvant le système, on obtient l’affixe du point d‘intersection : 2 cos ei 2 2
Les coordonnées du point sont :
2 cos cos cos cos
2 2
2 cos sin sin sin
2 2
On va chercher l‘équation du cercle b, de la forme : x2y2 a x b y c 0
On obtient les coefficients a, b, c en écrivant que l’équation est satisfaite par les coordonnées des points d’affixes : 2 cos ei 2 , 2 cos ei 2 , 2 cos ei 2
2 2 2
La résolution du système donne :
a 2(cos cos cos ) b 2(sin sin sin )
c 2(1 cos cos cos cos cos cos )
Le centre du cercle b a donc pour coordonnées :
a cos cos cos 2b sin sin sin 2
Le rayon du cercle b est donc :
2 2
a b c 1
2 2
Les cercles b et n se coupent au point I d’affixe 2 cos ei 2 2
et en un autre point U dont on va chercher les coordonnées en résolvant le système formé de l’équation du cercle b et de l’axe radical des deux cercles b et n :
L’équation de b est :
2 2
x y 2(cos cos cos )x 2(sin sin sin )y 2(1 cos cos cos cos cos cos ) 0
L’équation de l’axe radical est :
( cos cos )x (sin sin )y
cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 0
On obtient pour U les coordonnées : cos cos cos cos U sin sin sin sin
Comme ces coordonnées sont symétriques en , ce point appartient aussi aux cercles r et v.
QUESTION 2
Comme les cercles B et b ont même rayon, le milieu W de leurs centres est à la fois sur la ligne des centres et sur l’axe radical.
Les centres de B et b ont pour coordonnées : cos cos cos cos et
sin sin sin sin
Le milieu W a donc pour coordonnées :
cos cos cos cos sin sin 2sin sin
2
Comme ces coordonnées sont symétriques en , ce point est aussi le milieu des centres des cercles N et n ou des centres des cercles R et r ou des centres des cercles V et v.
Le point W est aussi le milieu de O et U et la figure admet W comme centre de symétrie.
