1. Les lignes de courant seront des cercles :Ð→v =v(r, θ, z).Ðe→θ Si on néglige l’effet de la pesanteur, alors v(r, θ, z) =v(r, θ)
Le liquide étant incompressible, l’écoulement sera incompressible : 1 r
∂(vθ
∂θ =0 soit v(r, θ) =v(r). 2. La dérivation particulaire s’écrit, en régime stationnaire :
⎛⎜⎜
⎜⎜⎜⎜
⎝ RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRR
0 v 0
⋅ RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRR
∂
∂r1 r
∂
∂∂θ
∂z
⎞⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
Ð→v = (v.1 r. ∂
∂θ)(v.Ðe→θ) = v2 r .∂Ðe→θ
∂θ =−v2 r .Ðe→r
L’équation de Navier et stokes donne : RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRR
−ρ.v2 r 0 0
=−
RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRR
∂p
∂r1 r
∂p
∂p∂θ
∂z
+η.
RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRR
0
∂2v
∂r2 + ∂
∂r.(v r) 0
Mais les symétries permettent de dire quep ne dépend que der. Ainsi l’équation se réduit à :
∂2v
∂r2 + ∂
∂r.(v r) =0
Cette équation s’écrit également sous la forme : ∂v
∂r +v r =A
La composante selon Ðe→r de l’équation pourrait nous permettre de connaître l’évolution de p(r), mais ceci n’est pas nécessaire dans cet exercice.
3. EDHA : ∂v
∂r +v
r =0 avec comme solution : vEDHA=−B
Pour la solution particulière, on peut utiliser la méthode de la variation de la constante Solution particulièrer vpart =
−K(r)
r , ce qui en réinjectant dans l’équation donneK′(r) =−A.r doncK(r) =−A.r2
2 amenant à la solution particulière vpart= −A.r2
2 .−1 r = A.r
2
On obtient alors la forme complète de la solution v(r) =−B r +A.r
2
4. On doit vérifier queRRRRRRRRRR RRRRR R
v(a) =0= A.a 2 −B
a v(b) =b.Ω= A.b
2 −B b SoitA= 2.b2.Ω
b2−a2 etB= a2.A 2
5. A l’interface en r=b les forces surfaciques de viscosité ont pour expression En un pointP du cylindre :dΓr= (Ð→OP ∧Ð→σ)⋅Ðe→z.dS
dΓr=±r.η.r. ∂
∂r(v r)dS
Intégré sur toute la surface, cela donne :Γr=±η.4.B.π.H=±η.4.π.H.a2.b2.Ω b2−a2 6. En régime permanent, le couple moteur doit compenser le couple résistif :
Γ=η.4.B.π.H =±η.4.π.H.a2.b2.Ω b2−a2
