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L’écoulement de l’air pour une tornade est supposé incompressible à symértie cylindrique autour d’un axe vertical noté Oz. On repère un point M (r, θ, z) de ce écoulement avec une vitesse Ð→v (M ) = v(r).Ð→eθ

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Academic year: 2022

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(1)

L’écoulement de l’air pour une tornade est supposé incompressible à symértie cylindrique autour d’un axe vertical noté Oz.

On repère un point M(r, θ, z) de ce écoulement avec une vitesseÐ→v(M)=v(r).Ðe→θ. Cet écoulement peut être caractérisé par un vecteur tourbillon Ð→

Ω = RRRRRRR RRRRRRR R

r⩽a∶ Ω0.Ðe→z

r>a∶ 0 .

1. Par une étude analogue à celle d’une distribution de courant par le Théorème d’Ampère, déterminer l’expression v(r) en tout pointM.

2. On appelle Vortex le cas limite pour lequel a→0 et Ω0→∞avec Ω0.a2= Γ

2.π où Γ est une constante finie.

Montrer que la vitesse dérive alors d’un potentiel Φ tel queÐ→v =ÐÐ→

gradΦ pourr≠0

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Où peut-on prévoir l’existante d’un phénomène

(Ð→v .Ðu→θ)(∀rθ=0)= (Ð→v .Ðu→θ)(∀r,θ=α)=0

Car l’écoulement est irrotationnel.. Ce résultat

On donne le champ (Eulérien) des vitesses Ð→v (M, t) = r.Ω.Ð→eθ

[r]

r Aufinal: = − Ω .r. e 2 Ð→ D vdt Ð→ r∂∂θ∂∂z θ =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ r. Ω . e   Ð→ D vdt Ð→ 1 = v ⋅ ,soitici: Ð→ D vdt ÐÐ→ Ð→ grad  v + Ð→ Ils’agitdel’accélérationparticulaire,quiserapurementconvectiveicicarlechampdesvitesseseststationnaire.Onappliquedonclarela

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Le régime est permanent donc ∂Ð→v ∂t =Ð→0 ✓ (Ð→v .ÐÐ→ grad)Ð→v = (v ∂ ∂x)v.Ðu→x=Ð→0 ✓ On en déduit que Ð→a = DÐ→v Dt =Ð→0 3

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