ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 5 6 janvier 2014
Problème.
Soit la fonctionf dénie surR∗+ par f(x) =x ln(x)2
−1.
1. a. Calculer f(1)etf(e).
b. Justier la continuité def surR∗+. c. En déduire que f s'annule surR∗+.
2. a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de dénition.
b. Peut-on prolonger f par continuité en0? Préciser.
3. a. Montrer que ∀x >0, f0(x) = ln(x) ln(x) + 2 . b. Etudier alors les variations de f.
c. Donner les extrema de f.
4. Combien l'équation f(x) = 1 admet-elle de solution surR∗+? Justier.
5. Calculer lim
x→0+f0(x). (On admettra que ceci implique que la tangente à l'origine est verticale.) 6. En s'aidant de l'étude précédente, tracer l'allure de Cf.
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