L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Interrogation de cours n˚5
Nom : Pr´enom :
1 pt Question 1 :Soit (un)n∈N∗ la suite g´eom´etrique de raison 1
3 et de premier terme 6. Exprimer le terme un en fonction den, pour toutn∈N∗.
∀n∈N∗, un =
2 pts Question 2 :Soitq un nombre r´eel diff´erent de 1 et soitn∈N. Donner la valeur de la somme
n
X
k=0
qk.
n
X
k=0
qk=
2 pts Question 3 :Soitqun nombre r´eel. Donner le r´esultat du cours sur le comportement asymptotique de la suite (qn)n∈N. On distinguera (bien sˆur) plusieurs cas.
• 1ercas :
• 2`emecas :
• 3`emecas :
• 4`emecas :
1 pt Question 4 :Soit (Ω, P) un espace de probabilit´es fini. SoitA un ´ev´enement. Exprimer P(A) en fonction de P(A).
P(A) =
2 pts Question 5 :Soit (Ω, P) un espace de probabilit´es fini. SoientAetB deux ´ev´enements. ´Enoncer la formule de Poincar´e donnant une expression deP(A∪B).
P(A∪B) =
1 pt Question 6 :Soit (Ω, P) un espace de probabilit´es fini. Soient A1, A2, . . . , An des ´ev´enements deux `a deux disjoints. Comment peut-on aussi ´ecrireP(A1∪A2∪. . .∪An) ?
P(A1∪A2∪. . .∪An) =
2 pts Question 7 : Soit (Ω, P) un espace de probabilit´es fini. Soient A et B deux ´ev´enements. On suppose que B n’est pas n´egligeable. Quelle est la d´efinition deP(A/B) ?
P(A/B) =
3 pts Question 8 :Soit (Ω, P) un espace de probabilit´es fini. SoientA1, A2, A3, A4 des ´ev´enements. On suppose que A1∩A2∩A3 n’est pas n´egligeable. Exprimer P(A1∩A2∩A3∩A4) au moyen de la formule des probabilit´es compos´ees.
P(A1∩A2∩A3∩A4) =
3 pts Question 9 :Soit (Ω, P) un espace de probabilit´es fini. Soit (A1, A2, . . . , An) un syst`eme complet d’´ev´enements.
On suppose qu’aucun des ´ev´enements Ai n’est n´egligeable (i ∈ J1, nK). Soit B un ´ev´enement. Exprimer P(B) au moyen des deux formules des probabilit´es totales, relativement au syst`eme complet d’´ev´enements (A1, A2, . . . , An).
P(B) =
=
3 pts Question 10 : Soit (Ω, P) un espace de probabilit´es fini. Soient A et B deux ´ev´enements, tous deux non n´egligeables. Une version de la formule de Bayes affirme que :
P(A/B) = P(A)
P(B)P(B/A).
D´emontrer cette formule.
