Interrogation de cours n˚19

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Interrogation de cours n˚19

Nom : Pr´enom :

Dans toute cette feuille, le symboleKd´esigneRouC. Question 1 (2 points)

Soitn∈N^∗. Donner la d´efinition de la l.c.i. + et de la l.c.e..`a domaine d’op´erateurs dansKd´efinies surKⁿ en compl´etant les diagrammes suivants.

+ : Kⁿ×Kⁿ → Kⁿ

((x1, x2, . . . , xn),(y1, y2, . . . , yn)) 7→

. : K×Kⁿ → Kⁿ

(λ,(x¹, x², . . . , xn)) 7→

Question 2 (2,5 points)

SoitI un intervalle r´eel non vide. Donner la d´efinition de la l.c.i. + et de la l.c.e..`a domaine d’op´erateurs dans Kd´efinies sur l’espace de fonctionsF(I,K) en compl´etant les diagrammes suivants.

+ : F(I,K)× F(I,K) → F(I,K) (f¹, f²) 7→

. : K× F(I,K) → F(I,K) (λ, f) 7→

Question 3 (2,5 points)

Donner la d´efinition de la l.c.i. + et de la l.c.e. .`a domaine d’op´erateurs dansKd´efinies sur l’espace de suites F(N,K) en compl´etant les diagrammes suivants.

+ : F(N,K)× F(N,K) → F(N,K) ((un)^n∈N,(vn)^n∈N) 7→

. : K× F(N,K) → F(N,K) (λ,(un)n∈N) 7→

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Question 4 (3 points)

Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel. SoitF une partie deE. Donner lad´efinitionde l’assertion :F est un sous- espace vectoriel de (E,+, .). On donnera les noms des diff´erentes propri´et´es ainsi que leurs d´efinitions formelles.

Question 5 (3 points)

Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel. SoitF une partie deE. Donner lecrit`ere´enonc´e en cours pour queF soit un sous-espace vectoriel de (E,+, .). On donnera les noms des diff´erentes propri´et´es ainsi que leurs d´efinitions formelles.

Question 6 (3 points) La partieF deR⁵ d´efinie par :

F =

(x¹, x2, x3, x4, x5)∈R⁵ :

x1 + 2x2 − x3 + 7x4 − x5 = 0

2x1 − x2 + x3 − 13x4 + 4x5 = 0

est-elle un sous-espace vectoriel de (R⁵,+, .) ? On justifiera la r´eponse.

Question 7 (4 points)

La partieF de l’espace de fonctionsF(R,R) d´efinie par :

F ={f: R→R : f(0) = 1}

est-elle un sous-espace vectoriel de (F(R,R),+, .) ? On justifiera la r´eponse.

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