Interrogation de cours n˚14

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Interrogation de cours n˚14

Nom : Pr´enom :

Question 1 (1+1+1+1 points) Soit∗une l.c.i. sur un ensembleE.

1. Donner la d´efinition de l’assertion : la l.c.i.∗ est associative.

2. Donner la d´efinition de l’assertion : la l.c.i.∗ est commutative.

3. Donner la d´efinition de l’assertion : la l.c.i.∗ poss`ede un ´el´ement neutre.

4. On suppose ici que ∗ poss`ede un ´el´ement neutree. Soitx∈E. Donner la d´efinition de l’assertion :xest inversible pour la l.c.i. ∗.

Question 2 (1+1+1 points)

SoitRune relation sur E. Donner la d´efinition de l’assertion : la relationRest une relation d’ordre surE. On nommera chacune des trois propri´et´es et on en donnera la d´efinition formelle.

Question 3 (4 points)

SoitR une relation d’ordre sur un ensembleE. Soit A une partie deE poss´edant un plus grand ´el´ement (ou un maximum). Montrer que le plus grand ´el´ement deAest unique.

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Question 4 (2 points)

Enoncer la propri´et´e du bon ordre pour´ Nmuni de sa relation d’ordre usuelle.

Question 5 (7 points)

Soit (u_n)^n∈N la suite d´efinie paru₀= 1 ,u₁= 0 et la relation de r´ecurrence (⋆) u_n+2= 4u_n+1−4u_n valable pour toutn∈N. Montrer que pour toutn∈N:u_n= 2ⁿ(1−n).

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