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6 Convolution
6.1 Convolution des fonctions r´ eguli` eres
Soitf, g∈L1loc(R). Alors la convolution def et gest d´efinie par la relation (f∗g)(x) =
Z
R
g(y)f(x−y)dy.
C’est une fonction int´egrable surR: Z
R
|(f∗g)(x)|dx≤ Z Z
R2
|g(y)f(x−y)|dydx=kfkL1kgkL1, o`u on a utilis´e le th´eor`eme de Fubini. De plus, si ϕ∈ D(R), alors
(f∗g, ϕ) = Z
R
ϕ(x) Z
R
g(y)f(x−y)dy
dx
= Z
R
g(y) Z
R
f(x−y)ϕ(x)dx
dy
= Z Z
R2
f(x)g(y)ϕ(x+y)dydx.
Si suppg (ou suppf) est compact etχ∈ D(R) v´erifieχg =g, alors (f∗g, ϕ) =
Z Z
R2
f(x)g(y)χ(y)ϕ(x+y)dydx.
C’est la d´efinition de convolution pour les distributions.
6.2 D´ efinition et propri´ et´ es de la convolution des distri- butions
D´efinition 6.1. Soit f, g ∈ D′(R) et suppg ⋐ R. On d´efinit la convolution def etg par la relation
(f∗g, ϕ) = f(x)⊗g(y), χ(y)ϕ(x+y)
pourϕ∈ D(R), (6.1) o`u χ ∈ D(R) est une fonction ´egale `a 1 sur suppg. De mˆeme, si suppf ⋐R, alors
(f ∗g, ϕ) = f(x)⊗g(y), χ(x)ϕ(x+y)
pourϕ∈ D(R), (6.2) o`uχ∈ D(R) est une fonction ´egale `a 1 sur suppf.
Proposition 6.2. La convolution est bien d´efinie. De plus, si f, g∈ D′(R)et suppg⋐R(ousuppf ⋐R), alors
f∗g=g∗f. (6.3)
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D´emonstration. Si χ, ϕ ∈ D(R), alors χ(y)ϕ(x+y) ∈ D(R2), et on peut con- sid´erer (f(x)⊗g(y), χ(y)ϕ(x+y)). De plus, si ϕn → ϕ dans D(R), alors la suiteχ(y)ϕn(x+y) converge vers χ(y)ϕ(x+y) dans l’espace D(R2). Donc, la formule (6.1) d´efinit une distribution surR. Siχ1, χ2 ∈ D(R) sont deux fonc- tions testes ´egales `a 1 dans un voisinage de suppg, alors (χ1−χ2)g= 0, et on voit que la valeur du membre de droite dans (6.1) ne d´epend pas de χ. ceci montre que la convolution est bien d´efinie. Les mˆemes argument prouvent que si suppf ⋐R, alors le membre de droite dans (6.2) d´efinit une distribution qui ne d´epend pas du choix deχ.
Montrons maintenant la relation (6.3). Supposons que suppg ⋐R. Alors pour toutϕ∈ D(R), on a
(f∗g, ϕ) = f(x)⊗g(y), χ(y)ϕ(x+y)
= g(y)⊗f(x), χ(y)ϕ(x+y)
= (g∗f, ϕ).
Proposition 6.3. (a) Continuit´e : si f, g ∈ D′(R), suppg ⋐ R et la suite {fk} ⊂ D′(R)converge versf dans D′(R), alors
fk∗g→f ∗g dansD′(R).
De mˆeme, si f, g∈ D′(R), la suite{gk} ⊂ D′(R)converge versg dansD′(R)et suppgk ⊂BR pour une constanteR, alors
f∗gk →f∗g dansD′(R).
(b) D´erivation :sif, g∈ D′(R),suppg⋐R, alors
∂xj(f∗g) = (∂xjf)∗g) =f∗(∂xjg).
Ce r´esultat est une cons´equence simple de la d´efinition et du th´eor`eme 5.4.
Exemples 6.4. (a) Pour tout distributionf ∈ D′(R), on aδ∗f =f∗δ=f. (b) Soitθla fonction de Heaviside. Alors
(∂xθ)∗1 =δ∗1 = 1, θ∗(∂x1) =θ∗0 = 0.
On voit que (∂xθ)∗16=θ∗(∂x1). Mais il n’y a pas de contradiction, parce que la convolutionθ∗1 n’est pas d´efinie.
6.3 R´ egularisation des distributions
Proposition 6.5. Soit f ∈ D′(R)etψ∈ D(R). Alorsf∗ψ∈C∞ et (f∗ψ)(x) = f(y), ψ(x−y)
.
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D´emonstration. En utilisant la d´efinition de la convolution et la relation (5.7), pour toutϕ∈ D(R) on obtient
(f ∗ψ, ϕ) = f(x)⊗ψ(y), χ(y)ϕ(x+y)
= f(x),(ψ(y), χ(y)ϕ(x+y))
= f(x),
Z
R
ψ(y)ϕ(x+y)dy
= f(x),
Z
R
ϕ(y)ψ(y−x)dy
= Z
R
ϕ(y)(f(x), ψ(y−x))dy, d’o`u le r´esultat.
Exemple 6.6. Soitω∈ D(R) une fonction v´erifiant les conditions ω≥0,
Z
R
ω(x)dx= 1.
On poseωn(x) =nω(nx). Alors, d’apr`es la proposition 6.5, la fonctionf ∗ωn
appartient `a l’espace C∞(R). D’autre part, selon l’exemple 2.8 (i), on a ωn→δ dans l’espaceD′(R).
La continuit´e de la convolution (voir la proposition 6.3) entraˆıne que
f ∗ωn→f∗δ=f. (6.4)
Donc, toute distribution peut ˆetre approch´ee par une suite des fonction r´egili`eres.
Th´eor`eme 6.7. Toute distribution f ∈ D′(R) est la limite dans D′(R) de fonctions r´eguli`eresfn∈ D(R).
D´emonstration. Soitηn∈ D(R) une suite telle queηn(x) = 1 pour|x| ≤n. On pose
gn(x) =ηn(x)(f ∗ωn)(x).
En utilisant la convergence (6.4), il est facile `a montrer quegn→f dansD′(R).
