Interrogation de cours n˚18

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Interrogation de cours n˚18

Nom : Pr´enom :

Question 1 (2 points)

SoitGun ensemble muni d’une loi de composition interne∗. Donner la d´efinition de l’assertion : (G,∗) est un groupe. On donnera le nom des diff´erentes propri´et´es ainsi que leurs d´efinitions formelles.

Question 2 (2 points)

Soit (G,∗) un groupe. Soit H une partie de G. Donner la d´efinition de l’assertion : H est un sous-groupe de (G,∗).

Question 3 (2 points)

Soit (G,∗) un groupe. SoitH une partie deG. Donner lecrit`ere´enonc´e en cours pour queH soit un sous-groupe de (G,∗).

Question 4 (1 point)

Justifier que la partieH ={−1,0,1}deRn’est pas un sous-groupe de (R,+).

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Question 5 (3 points)

Enoncer le th´eor`eme donnant la description des sous-groupes de (Z´ ,+).

Question 6 (2 points)

Soient (G,∗) et (G^′,⊥) deux groupes. Soitϕ:G→G^′ une application. Donner la d´efinition de l’assertion :ϕ est un morphisme de groupes.

Question 7 (1 point)

Montrer que l’applicationϕ:Z→R^∗; n7→2ⁿ est un morphisme de groupes de (Z,+) dans (R^∗,×).

Question 8 (1 point)

Soient (G,∗) et (G^′,⊥) deux groupes. Soitϕ:G→G^′ un morphisme de groupes. Alors : ϕ(eG) =. . . et pour tout g∈G, ϕ(g⁻¹) =. . . .

Question 9 (4 points)

Soient (G,∗) et (G^′,⊥) deux groupes. Soitϕ:G→G^′ un morphisme de groupes.

1. Donner la d´efinition du noyau deϕ.

Ker(ϕ) =

2. Donner une propri´et´e remarquable du noyau de ϕ.

3. Donner la d´efinition de l’image de ϕ.

Im(ϕ) =

4. Donner une propri´et´e remarquable de l’image deϕ.

Question 10 (2 points)

Enoncer le crit`ere d’injectivit´e pour un morphisme de groupes.´

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