A1735. Écriture universelle
Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers.
Solution proposée par Gaston Parrour
Soit N = Pi (piai) où Pi désigne le produit sur les nombres premiers pi présents dans l'expression de N cas N pair N = 2a1 B où 2 ne divise pas B
On peut utiliser la conjecture ''il existe une infinité de nombre premiers jumeaux''
Alors si pr est le plus grand nombre premier figurant dans N, on peut toujours trouver une paire de nombres premiers (pm,pn) telle que pm – pn = 2 avec pn > pr
Et ainsi N = (pm – pn) 2a1-1 B = N2 – N1 ,
N1 et N2 ont le même nombre de nombres premiers ; ils tous les 2 pairs où tous les 2 impairs Remarques
Pour ne pas reposer ce qui précède, uniquement sur la conjecture des nombres premiers jumeaux, 1 - on peut utiliser le résultat récent suivant :
→ Conjecture de Chen revisitée par Tao :
Étant donné un entier quelconque K ''grand'', il existe une infinité de paires de nombres premiers (pm,pn) telles que → pm – pn = K
La limite inférieure de K récemment établie par Tao est K = 246 Avec cela, si 2 > 246a1 ( a1 > 7) ,
il existe une infinité de paires de nombres premiers (pm,pn) telles que pm – pn = 2a1 Parmi ces paires on peut en choisir une (au moins) telle que pn > pr [pr = sup(pi dans N)]
Alors N = N2 – N1 où N1 = pn x B et N2 = pm x B (N1 et N2 impairs ici)
2 - Pour tous les N avec 2a1 < 246 , un examen d'une table de nombres premiers montre qu'il est toujours possible (dans les limites de la table dont on dispose) de trouver au moins une paire de nombres premiers (pm,pn) telle que pm – pn = 2a'1 avec pn > pr (notation précédente) et a'1 ≤ a1 Ceci alors est suffisant pour écrire N = N2 – N1 où N1 et N2 ont le même nombre de nombre premiers En conclusion:
==> Tout entier naturel N pair est la différence de deux entiers N1 et N2 de même parité qui contiennent le même nombre de nombres premiers distincts
cas N impair
On peut noter que 3-2 = 1 donc N = (3-2)xN , donc
→ si N ne contient pas 3 , N2 = 3N et N1 = 2N ont le même nombre de nombres premiers si N contient 3 N = 3a N' on peut poursuivre avec la table des nombres premiers : 3 = 5 – 2 → si N ne contient pas 5 N = 3a-1(5-2)N' N = N2 – N1
où clairement N2 = 3a-1 5 N' et N1 = 3a-1 2 N' ont le même nombre de nombres premiers si N contient le nombre premier 5 (autrement dit N contient 3 et contient 5) on poursuit avec le nombre premier suivant
5 = 7 – 2 Et comme précédemment
→ si N ne contient pas 7 , N est la différence de 2 nombre N1 et N2 contenant la même nombre de nombres premiers distincts
Si N contient le nombre premier 7 on poursuit ainsi avec le nombre premier suivant dans la table en écrivant 7 = 11 – 2.2 etc …
On peut noter que de cette façon
→ tout nombre premier pm de rang m s'exprime à l'aide du nombre premier de rang m+1 pm = pm+1 – 2.C
où C est en général un nombre composé C = Pj(pjaj)
N.B. 1 -Les nombres premiers ''pj'' qui figurent dans C sont nécessairement inférieurs à pm
En effet avec un seul pj vérifiant pj = pm, on aurait pm+1 = pm + 2pm or il y a toujours un nombre premier compris strictement entre ''n et 2n'' donc p de rang m+1 est strictement inférieur à pm + 2pm 2 – selon la démarche suivie ci-dessus :
lorsqu'on arrive à un rang m des nombres premiers cela signifie que TOUS les nombres premiers inférieurs à pm figurent dans N
En conséquence avec pm = pm+1 – 2.C (où tout pj de C vérifie pj < pm) :
→ Si pm+1 ne figure pas dans N et puisque C n'introduit pas de nouveaux nombre premiers dans N la décomposition de pm est acceptable conduisant ainsi à N = N2 – N1 avec un même nombre de premiers distincts dans N1 et dans N2
→ Si pm+1 figure dans N , on poursuit le processus.
Quoi qu'il en soit, si pr désigne le plus grand nombre premier figurant dans N, et selon ce qui précède : le plus grand nombre premier ''pm'' qui éventuellement nécessite un passage au nombre premier suivant sera pm = pr → pm = pr = pm+1 – 2. C
N.B. Avec ce processus itératif sur les nombres premiers croissants :
→ Quels que soient les nombres premiers figurant dans C, ils figurent déjà dans N (cf. ci-dessus) En conclusion :
==> Tout entier naturel N impair est la différence de deux entiers N1 et N2 qui contiennent le même nombre de nombres premiers distincts
