Solution proposée par Gaston Parrour

D265. Une propriété biséculaire

Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.

Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.

Solution proposée par Gaston Parrour

Sur la figure ci-contre sont représentés les sommets d'un polygone régulier à 2m sommets (ici 2m = 10)

→ Puisque le nombre de sommets est pair, les sommets A

et A

sont diamétralement opposés (par exemple A

et A

)

→ chaque côté sous-tend un arc 2a Ici 2a = 2PI/2m

( ang A1OH1 = a = PI/2m)

1 - Triangulation On peut faire une triangulation de la façon suivante ( polygone régulier de n = 2m côtés) → A partir d'un seul sommet - par exemple A2 -, on définit (en traits pleins rouges sur la figure)

un premier triangle A2 A2m A1 un second triangle A2A2m-1A2m

…....

un (i+1) ième triangle A2A2m-iA2m-(i-1)

…...

Cela produit des triangles adjacents et distincts jusqu'à ce que A2m-i → A2m-k tel que A2m-k = Am+2 car alors A2m-k et A2 sont diamétralement opposés Autrement dit 2m-k = m + 2 → k = m – 2

L'indice i varie donc de 0 à (m-2) → il y a (m-1) triangles distincts adjacents dans le demi cercle ainsi divisé.

En poursuivant, toujours à partir du sommet A2, on reproduit au delà du diamètre A2Am+2, l'ensemble de ces (m-1) triangles (en ordre inverse).

→ Cette triangulation est constituée d'un ensemble de 2(m – 1) triangles (soit ici 2014 triangles) se correspondant par paires

N.B. Dans ce qui suit cette triangulation à partir d'un unique sommet sera la ''triangulation de référence''

→ Montrons que, quelle que soit la façon de procéder pour la triangulation, on obtient au final le même ensemble de triangles élémentaires.

Ci-dessus le point pivot à partir duquel s'est faite la triangulation est A2.

Tout d'abord il est clair que tout autre point, s'il est l'unique point choisi, joue le même rôle pour cette opération Changement de ''point pivot'' au cours de la triangulation

Si on commence avec un pivot, que se passe-t-il, si à une certaine étape de la triangulation, on change de point pivot ? Par exemple ci-dessus, partant de A2, et arrivé au point A2m-1, celui-ci est choisi pour point pivot :

→ alors on produit le triangle A2m-1A3A2 , symétrique de A2A2m-2A2m-1 produit dans la ''triangulation de référence'' avec le pivot A2.

O

A

A

A

A

A

A

H1

(D)

A

[l'axe de symétrie est la médiatrice de la corde A2A2m-1 joignant les deux centres pivots (droite (D) sur la figure)]

→ Clairement cette identification avec un des triangles obtenus dans la ''triangulation de référence'' peut se reconduire à chaque changement de point pivot par une symétrie appropriée.

….

En conclusion

Cela montre que, quel que soit le processus de triangulation (choix de un ou de plusieurs sommets pivots) :

==> Par des symétries éventuelles , l'ensemble des triangles générés dans une triangulation quelconque, se ramène à l'ensemble des triangles de la ''triangulation de référence''.

Autrement dit : l'ensemble des cercles inscrits dans les triangles générés par une triangulation quelconque est le même que celui attaché à la ''triangulation de référence'' : il y a un ensemble unique de cercles inscrits ,

==> La somme des rayons des cercles inscrits est donc indépendante de la triangulation choisie.

2 - Somme des rayons des cercles inscrits pour un polygone régulier à 2016 côtés

Avec ce qui précède, on peut donc calculer cette somme en se référant par exemple à la ''triangulation de référence'' (celle qui utilise un seul point pivot (ici A2) )

Étant donné un triangle acutangle, il existe une relation entre le rayon R de son cercle circonscrit et le rayon r de son cercle inscrit donnée par le théorème de Carnot ''japonais''

→ Triangle acutangle R + r = d1 + d2 + d3 (1)

où d1, d2 et d3 sont les distances du centre O du cercle circonscrit (O,R) aux côtés du triangle considéré.

Ici tous les triangles mis en jeu possèdent un angle obtus. Cela demande une généralisation du théorème précédent.

Dans le cas d'un triangle ABC avec un angle obtus en A, la distance OH du centre O du cercle circonscrit au côté BC est entièrement extérieure au triangle (ce qui n'est pas le cas pour les 2 autres distances à AB et AC)

→ Si on convient de compter négativement la distance ''extérieure'' (celle de O au côté opposé à l'angle obtus), le théorème précédent reste valable

→ Triangle avec un angle obtus R + r = d1 + d2 – d3 (2)

Compte tenu de ce qui précède (avec les notations de la ''triangulation de référence'' de la figure , pivot A2) notons que : Les triangles inscrits résultant de la triangulation se correspondent par paires

→ On peut calculer la demi-somme demandée en se limitant à un demi cercle On a alors affaire à des rayons de cercles inscrits tous différents

→ Tous les triangles A2A2m-iA2m-(i-1) possèdent un angle obtus en A2m-(i-1)

[ Sauf le triangle dont un côté est le diamètre A2Am+2 . Pour ce triangle avec un angle droit, la distances de O à l’hypoténuse est nulle ; les relations (1) ou (2) ne sont plus distinguées]

Avec a = PI/2m, les distances de O aux cordes successives mises en jeu sont d1 = R cos(a)

d2 = R cos(2a) …...

dm-1 = R cos((m-1)a) dm = R cos (ma) = 0

En appliquant la relation (2) à chacun de ces triangles, on obtient successivement les (m-1) égalités suivantes pour les (m-1) triangles inscrits dans le demi-cercle

triangle A2A1A2m → R + r1 = R( cos(a) + cos(a) - cos(2a) ) triangle A2A2mA2m-1 → R + r2 = R( cos(a) + cos(2a) - cos(3a) ) …...

triangle A2Am+3Am+2 → R + rm-1 = R( cos a + cos (m-1)a - cos(ma) ) N.B. Pour ce dernier triangle de diamètre A2Am+2 , on a bien Rcos(ma) = 0

En additionnant membre à membre et après les simplifications à droite, on obtient : (m – 1) R + S(j=1,m-1) r j = m R cos(a)

→ La somme de tous les rayons des cercles inscrits pour un polygone régulier à 2m côtés est S(i=1,2m-2) r i = 2R [m cos(a) – (m-1) ] (3) Application numérique R = 1 et 2m = 2016

d'où cos(a) = cos( PI/2016) = 0,999 998 ...

→ La somme des rayons des cercles inscrits après toute triangulation du polygone régulier à 2016 côtés est ==> S(i=1,2014) r i = 1,9975 par défaut