A4931. L’entier et son double mime
La somme des carr´es des entiers de1`a n(inclus) est n(n+ 1) (2n+ 1)
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Par diff´erence, on a la somme des carr´es den1`an1+n−1. S’il existe une suite den2`a n2+ 2n−1dont la somme des carr´es est le double de la pr´ec´edente, on peut seulement affirmer que n2 < n1. Donc la recherche est `a faire par informatique.
Pour n1 ≤100et n <1000, on trouve les cas suivants : n1 n M n2 2n 2M
13 12 4250 6 24 8500
25 16 17240 16 32 34480
25 36 68910 3 72 137820
38 36 114774 17 72 229548
41 20 51670 30 40 103340
41 44 178970 15 88 357940 61 24 127300 48 48 254600 61 52 400790 31 104 801580 61 84 931910 10 168 1863820 63 60 531370 28 120 1062740 74 48 465512 47 96 931024 74 108 1860642 8 216 3721284 85 28 273490 70 56 546980 85 60 804610 51 120 1609220 85 96 1759120 28 192 3518240 85 136 3372460 1 272 6744920 88 84 1458086 39 168 2916172
On remarque que toutes les valeurs de nsont congrues `a 0, 4, 8, 12 ou 16, modulo20. Comme les congruences de la suite des sommes de carr´es modulo 10 forment la suite de p´eriode 20 : 15405104556095065900, avec2impairs suivis par2pairs, cela explique queM est toujours pair.
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