Ainsi S2n(b)=2Sn(a)⇐⇒2n2+(4b−2a+1)n+2(b−a)(b+a+1)=0 Il est clair que sia>bl’équation d’inconnuenn’a pas de solution dansN∗, doncb<a

A4931. L’entier et son double mime ***

Déterminer le plus petit entierMtel qu’il existe une première suite denentiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal àM et une deuxième suite de 2n entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égal à 2M.

Solution de Claude Felloneau

On aM=4250

Poura∈Netn∈N^∗, on poseSn(a)=

n

X

i=1

(a+i)ⁿ.

6Sn(a)=(n+a)(n+a+1)(2n+2a+1)−a(a+1)(2a+1)=2n³+3(2a+1)n²+(6a²+6a+1)n.

Pourb∈N,

6S2n(b)=16n³+12(2b+1)n²+2(6a²+6a+1)n.

Donc

6¡

S2n(b)−2Sn(a)¢

=12n³+6(4b−2a+1)n²+12(b−a)(b+a+1)n Soit

S2n(b)−2Sn(a)=n¡

2n²+(4b−2a+1)n+2(b−a)(b+a+1)¢ . Ainsi

S2n(b)=2Sn(a)⇐⇒2n²+(4b−2a+1)n+2(b−a)(b+a+1)=0 Il est clair que sia>^bl’équation d’inconnuenn’a pas de solution dansN^∗, doncb<a.

Le discriminant est

∆=(4b−2a+1)²−16(b−a)(b+a+1)=20a²−16ab+12a−8b+1=(2a+1)(10a−8b+1) qui doit être un carré parfait. Pour cela il suffit que 2a+1 et 10a−8b+1 soient des carrés parfaits. De plus, 2a+1 étant impair, on doit avoir 2a+1≡1 [8] donca≡0 [4].

• Poura=4, 2a+1=9=3²et l’unique entier inférieur à 4 tel que 10a−8b+1=41−8best un carré parfait estb=2. On alors∆=15²et les solutions de l’équation sont 7/2 et−4 qui ne sont pas dansN^∗.

• Poura=8 on a 2a+1=17 qui n’est pas un carré parfait.

• Poura=12, on a 2a+1=25=5²et 10a−8b+1=121−8bqui est un carré parfait pourb=9 ou b=5.

Sib=9,∆=35²et les solutions de l’équation sont 11/2 et−12 qui ne sont pas dansN^∗. Sib=5, on a∆=45²et les solutions de l’équation sont−21/2 et 12.

On vérifie que le triplet (a,b,n)=(12, 5, 12) convient.

On aS12(12)=4250 etS24(5)=8500=2S12(12). On a doncM6^4250.

SiM<4250, soit (a,b,n) le triplet d’entiers tels queS_n(a)=MetS_2n(b)=2M, on a 2n(2n+1)(4n+1)

6 =

2n

X

i=1

i²<8500 donc8n³

3 <8500 d’oùn<3187, 5^1/3d’oùn614.

De plus, (a,b,n) est solution de l’équation 2n²+(4b−2a+1)n+2(b−a)(b+a+1)=0.

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Comme le premier terme et le troisième terme sont pairs, le deuxième l’est également doncnest pair car 4b−2a+1 est impair. Le premier terme et le troisième terme sont des multiple de 4 donc le deuxième l’est également etnest donc un multiple de 4 soitn=4moùmest un entier inférieur ou égal à 3.

L’équation s’écrit

4b²+4(8m+1)b−4a²−4a(4m+1)+64m²+8m=0 ou encore

(2b+1+8m)²+16m²=(2a+4m+1)² soit

(2b+1+8m)²=(2a+1)(2a+1+8m)

PGCD(2a+1, 2a+1+8m)=PGCD(2a+1, 8m)=1 lorsquem=1 ou 2, donc 2a+1 et 2a+1+8msont des carrés parfaits. Il existe deux entiers strictement positifsxetytels que

2a+1=x² et 2a+1+8m=y² et 2b+1+8m=x y

Pourm=1 ou 2, on obtient (y−x)(y+x)=8met comme y−x<y+x, y−x=2 et y+x=4mdonc x=2m−1 ety=2m+1 d’oùx y=4m²−1<8m<2a+1+8m. Il est donc impossible d’avoirm=1 ou 2, on a doncm=3 soitn=12.

Les sommesS12(a) de 12 carrés d’entiers consécutifs inférieures à 4250 sont : 650, 818, 1010, 1226, 1466, 1730, 2018, 2330, 2666, 3026, 3410, 3818 et les sommesS24(b) de 24 carrés d’entiers consécutifs inférieures à 8500 sont

4900, 5524, 6196, 7096, 7864.

On a toujoursS24(b)6=2S12(a). Il est donc impossible d’avoirM<4250.

FinalementM=4250.

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