1. Comme A ∩ A = A , on a f (A) = (A, A ∪ B) . Comme A ⊂ A ∪ B , on a A ∩ (A ∪ B) = A . En ce qui concerne l'union, B ∪ (A ∪ B) = A ∪ B .

MPSI B Année 2017-2018. Corrigé DM 3 le 06/10/17 29 juin 2019

Exercice 1

1. Comme A ∩ A = A , on a f (A) = (A, A ∪ B) . Comme A ⊂ A ∪ B , on a A ∩ (A ∪ B) = A . En ce qui concerne l'union, B ∪ (A ∪ B) = A ∪ B .

On en déduit f (A) = f(A ∪B) = (A, A∪B ) . On trouve aussi f (∅) = f (B ∩A) = (∅, B) . Si f est injective, on en déduit A = A ∪ B ce qui est équivalent à B ⊂ A . On peut aussi en déduire B ∩ A = ∅ ce qui veut dire qu'un élément quelconque b de B n'est pas dans A donc il est dans A c'est à dire encore B ⊂ A .

2. On peut utiliser les distributivités démontrées en cours

(X ∪ B) ∩ B = (X ∩ B) ∪ (B ∩ B) = X ∩ B

⇒ (X ∩ B) ∪ (X ∪ B) ∩ B

= (X ∩ B) ∪ (X ∩ B) = X ∩ (B ∪ B) = X 3. Dans cette question, on suppose B ⊂ A .

a. Supposons que A ∩ X = A ∩ Y . Alors,

B ∩ X = B ∩ (A ∩ X ) = B ∩ (A ∩ Y ) = B ∩ Y

b. On veut montrer que f est injective lorsque B ⊂ A . Considérons deux parties quelconques X et Y de E et supposons que f (X) = f (Y ) c'est à dire que

X ∩ A = Y ∩ A et X ∪ B = Y ∪ B D'après 3.a. : B ∩ X = B ∩ Y . Utilisons alors la question 2.

X = (X ∩ B ) ∪ (X ∪ B) ∩ B

= (Y ∩ B) ∪ (Y ∪ B) ∩ B

= Y

Exercice 2

1. Pour passer de (S) à (S

) , on eectue les opérations élémentaires suivantes : échanger les lignes 1 et 2

échanger les lignes 2 et 3

échanger les colonnes 2 et 3 (inconnues y et z ) L

← L

− L

L

← L

− aL

Le système obtenu est alors



 

 

x+ z+ aby = b

(a − 1)z+ b(1 − a)y = 1 − b (1 − a)z+ b(1 − a

)y = 1 − ab

La dernière opération L

← L

+ L

conduit au système annoncé (S

)



 

 

x+z+ aby = b

(a − 1)z+ b(1 − a)y = 1 − b b(1 − a)(2 + a)y = 2 − ab − b 2. La forme triangulaire du système permet la discussion

Si a / ∈ {1, −2} et b 6= 0 , le système admet un unique triplet solution.

Si a = 1 , le système devient



 

 

x+z+ by = 1 0 = 1 − b 0 = 2 − 2b On en déduit

Si a = 1 et b 6= 1 , le système n'admet pas de solutions.

Si a = 1 et b = 1 , l'ensemble des solutions est

(1 − λ − µ, λ, µ), (λ, µ) ∈ R

Si a = −2 , le système devient



 

 

x+z− 2by = b

−3z+ 3by = 1 − b 0 = 2 + b On en déduit

Si a = −2 et b 6= −2 , le système n'admet pas de solution.

Si a = −2 et b = −2 , le système devient

( x+z+ 4y = −2

−3z− 6y = 3 L'ensemble des solutions est

{(−1 − 2λ, λ, −1 − 2λ), λ ∈ R } Si b = 0 , le système devient



 

 

x+z = 0

(a − 1)z = 1 0 = 2 Le système n'admet donc pas de solutions.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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