A4931. L'entier et son double mime
Commençons par rechercher l’entiernqui pourrait correspondre.
Pournimpair, 2nentiers consécutifs comportentnnombres impairs, dont les carrés valent 1 modulo 4, etnnombres pairs dons les carrés valent 0 modulo 4.
Total :nmodulo 4, qui est impair (comme l’estn), mais supposé être égal à2M, un nombre pair.
Conclusion :nest pair.
Considérons donc la somme denentiers consécutifs, à partir dea.
𝑀 =
𝑖=0 𝑛−1
∑ (𝑎 + 𝑖)2 = 𝑛𝑎2 + 𝑛(𝑛 − 1)𝑎 + (𝑛 − 1)𝑛(2𝑛 − 1)/6
(à partir des formules des sommes d’entiers consécutifs et de carrés consécutifs) Idem pour 2M, à partir d’un entierb:
2𝑀 =
𝑖=0 2𝑛−1
∑ (𝑏 + 𝑖)2= 2𝑛𝑏2 + 2𝑛(2𝑛 − 1)𝑏 + (2𝑛 − 1)2𝑛(4𝑛 − 1)/6 𝑀 = 𝑛𝑏2 + 𝑛(2𝑛 − 1)𝑏 + 𝑛(2𝑛 − 1)(4𝑛 − 1)/6
On arrive à l’équation suivante, par soustraction
𝑛𝑎2+ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎 + (𝑛 − 1)𝑛(2𝑛 − 1)/6 − 𝑛𝑏2− 𝑛(2𝑛 − 1)𝑏 − 𝑛(2𝑛 − 1)(4𝑛 − 1)/6 = 0 Après simplification / division par n on arrive à
𝑎2 + (𝑛 − 1)𝑎 − 𝑏2− (2𝑛 − 1)𝑏 − 𝑛(2𝑛 − 1)/2 = 0 Et pour faire joli, on remplacenpar2k- puisqu’on le sait pair.
𝑎2 + (2𝑘 − 1)𝑎 − 𝑏2− (4𝑘 − 1)𝑏 − 𝑘(4𝑘 − 1) = 0 C’est un polynôme en de discriminant (après réduction)𝑎
∆𝑎= 20𝑘2 − 8𝑘 + 1 + 4𝑏2+ 16𝑘𝑏 − 4𝑏 = 𝑞2
permet de trouver un discriminant qui soit un carré parfait.
𝑞2
Ce discriminant est un polynôme en , de discriminant (après reduction…)𝑏
∆𝑏= 16𝑞2− 64𝑛2 = 16(𝑞2− 4𝑘2) = 16𝑝2
doit donc être la différence entre les 2 carrés des entierspetq, et et
4𝑘2 𝑎 = (1−2𝑘)+𝑞2
𝑏 = (1−4𝑘)+𝑝2
● k= 1 : on aurait q=2, p=0, mais ensuite une solution rationnelle non entière poura
● k= 2 : on a q=4, p=0 ou q=5, p=3, qui donne comme seule solution entière positive a=1. Par contrebest négatif…
● k=3 : on aurait q=10, p=8, maisanon entier
● k=4: on trouve enfin une solution, pas avec q=10 et p=6 mais avec q=17 et p=15 ⇒ b=0 et a=5
On vérifie, déjà : M = 25+36+49+64+81+100+121+144 = 620
2M = 0+1+4+9+16+25+36+49+64+81+100+121+144+169+196+225 = 1240 = 2*620 ✅ Reste à valider que ce M est le plus petit.
Pour une autre valeur dekplus grande, on aurait forcément une valeur 2M plus grande (puisque b=0, et on ne peut faire moins) ⇒ donc M sera forcément plus grand que 620 avec une valeur de k > 4.
La réponse est donc 620
Pour le cas où b=0 ne serait pas accepté dans la notion “d’entier positif” on peut toujours continuer à chercher un autre résultat en cherchant d’autres (q-p)(q+p)=4k^2
● k=5 : aucune solution qui ne soit valable jusqu’au bout
● k=6 : la solution a=13 et b=6 est possible On trouve alors M = 4250
C’est le minimum : pour k = 7 il n’y a aucune solution, et pour k=8 en admettant que b=1 (le plus petit possible), on a déjà M=32.33.65/12 = 5720 soit plus que celui qu’on a déjà.
Conclusion : suivant la définition que l’on donne de “positif”, la réponse est au choix 620 ou 4250
